第13讲――波形信道的容量

信道容量—波形信道第十三讲时间离散的无记忆连续信道功率受限的可加高斯噪声信道容量功率受限的可加噪声信道容量平行可加高斯噪声信道容量)log(21)1log(21222SCS)1log(212SCBnnNnnnnBSC2:212log21)1log(21Review波形信道若信道的输入和输出都是随机过程和时，这个信道称之为波形信道或时间连续信道。若信道输出)(tx)(ty)()()(tztxty,且若和均为平方可积的函数，那么它们就可以通过一组完备的正交函数集展开成)(tx)(ty),(),(21ttnnntxtx)()(nnntyty)()(Tt0dtttxxTnn0*)()(dtttyyTnn0*)()()(txxn)(tyyn),,,(21Nxxxx),,,(21NyyyyN)()(txtz和)(tx)(tyTt0相互独立，就称可加波形信道。常见的正交函数集复正弦函数采样函数,2,1,0,21)(nettjnn11)(21dtetxxtjnnnnntxtx)()(,2,1,0,22sin2)(nWntWcWtnnnntxtx)()(WnxWdtWntWcWtxxn22122sin2)(W为信号带宽信道)(tx)(ty)(21N,x,,xx),,,(21Nyyy)|(xyp输入输出函数)(tx和)(ty在Tt0上的互信息量为];[lim)]();([yxItytxINTdxpQpNNNN)()()(loglimxyxxy因此时间段上输入和输出之间的平均互信息量为))]();(([))();((tytxIEtYtXITTdydxdxpQppQNNNNNN)()()(log)()(limxyxxyxyx);(limNNNYXI当下述极限存在时，波形信道单位时间的容量为()11limlimlimsup(;)NNTTTNQCCIXYTTx上确界Tt0高斯白噪声加性波形信道容量若信道干扰为加性高斯白噪声时，在内也可以通过正交函数集表示为Tt0),(),(21ttnnntztz)()(dtttzzTnn0*)()(对于双边功率谱密度为的高斯白噪声，其各分量是彼此独立的。2/0NNzzz,,,21nnTnnzxdtttyy0)()(此时，输出y(t)的正交展开分量为波形信道)(tx)(tz)()()(tztxty白高斯过程+1x1z111zxy高斯随机变量+2x2z222zxy高斯随机变量)1log(210WNSCn)1log(20WNSNC则若信号时间限制在[0,T]，频带限制在[0,W]内)1log(0WNSTWCT)1log(0WNSWC由正交展开定理知，在[0,T]时限及[-W,W]频限条件下的随机输入x(t)正交展开时，可用N=2TW个系数近似限定。Shannon公式Shannon公式输入平均功率≤S，干扰双边功率谱密度为N0/2的可加高斯白噪声，若输入限制在，则)(txTt0)1log(0WNSWC当信源信号为高斯分布时达到信道容量。对非高斯噪声波形信道。此时的信道容量是以高斯加性信道的容量为下限值。注：Shannon公式理解)1log()1log(0SNRWWNSWC当带宽W一定时，信道容量与信噪比成对数关系，即若SNR增大，C就增大，但增大到一定程度后会趋于缓慢。这说明增加输入信号功率有助于容量的增大，但是当输入功率大到一定程度，即使功率再增加，C增长的幅度却有限。Shannon公式理解C一定时，带宽增大，信噪比SNR可降低，即两者之间是可以互换的。)1log()1log(0SNRWWNSWC该结论提示：可以采用纠错编码等扩展频谱方法，来降低发射功率，或提高传输可靠性。Shannon公式理解增大信道带宽（也即信号的带宽）W，并不能无限制地使信道容量增加。令WNSx0，得)1log(lim)1log(lim0000WNSSWNNSWNSWCWWexNSxxlog)1ln(lim1000x1)1ln(1xx，所以0044.1logNSNSeCbit/s因为)1log(1lim00xxNSx在开始阶段，C随W增长较快；当W超过S/N0点后，W的增长速度下降；在W时，C趋近于它的渐044.1NSC比特/秒C随着频带W的变化曲线近值WC例题彩色电视显像管的屏幕上有5*105个象元，设每个象元有64种彩色度，有16种不同的亮度层次，如果所有的彩色品种和亮度层次的组合均以等概率出现，并且各个组合之间相互独立。(1)计算每秒传送25帧图像所需要的信道容量。(2)如果高斯白噪声信道上信号与噪声的平均功率比值为63，为实时传送彩色电视的图像，信道的通频带应为多大？频率选择性信道的信道容量000)(xxxx当当平行可加高斯噪声信道容量BnnNnnnnBSC2:212log21)1log(21注水方法在频域也有对应的注水法对于噪声为平稳随机过程的信道，输入信号应选一个高斯过程使得它的频谱在噪声频谱小的频率上大。dffNfNvC))())((1log(21PdffNv))(()(fN可以证明：噪声功率谱为的可加高斯信道的容量为其中，对v的选取满足例：其它0||1)(WffH设信号功率为S，信道带宽为W，噪声功率谱密度（单边谱）N0，信道特性为试求：(a)信道容量。(b)若时又如何?其它02||1)(0WfffH解：(a)其它0||2/)(0WfNfN其它02||2/)(00WffNfN)1log()2/2/1(log2122/)2/(0000WNSWdfNWSCWSNvSdfNv(b))1log()2/2/1log(21)2/2/1log(2122/)2/()2/(0022022022220000000000WNSWdfNWSdfNWSCWSNvSdfNvdfNvWfWfWfWfWfWfWfWf结果分析：带通高斯白噪声加性波形信道等效复低频限带高斯白噪声加性波形信道的频带（-W/2,W/2),信道容量为)1log()1log()/1log(21*2000WNSWCWNSNWSCC通信原理：BPSK、QPSK、8PSK、16QAM如何评价调制方式？可实现性：发射，接收复杂度Pb=10-5BPSK，Eb/N0=9.5dB，SNR=9.5dBQPSK，Eb/N0=9.5dB，SNR=12.5dB16QAM，Eb/N0=12.5dB，SNR=18.5dB64QAM，Eb/N0=16.8dB，SNR=24.5dB频谱效率：单位Hz每秒传输比特数，bps/Hz功率有效性:满足可靠性保证要求的比特信噪比三个指标要有所折中！由Shannon公式：)1log(0WNSWCmax00121212maxmaxmaxWRNEWNREbbbbdBNEb59.12ln12limmaxmax00max问题：频谱效率一定时，需要最小比特SNR（Shannon界）？得，)1log(0WNSWC)1log(0maxWNSBits/s/HzBits/sShannonboundWRNEWNREWNSbbbb000Shannonlimit频谱效率dBNEdBNEdBNEdBNEdBNEbbbbb9.757.546.337.120100000，，，，，dBNEb59.1/,00maxmax012maxNEb由Shannonbound可知：dBNEb100dBNEb010，而BPSK调制方式，要求比Shannonbound高了10dB！如何接近Shannonbound？高效编码调制高效编码：Turbo，LDPC组合编码调制：TCM，多维TCM目前，针对高斯信道，已经取得重大进展，已经接近Shannonbound二进制扩频BPSK调制AWGN信道，二元扩频增大信号带宽，但并不节省发射信号功率理由：处理增益、信号带宽、噪声有哪些优点？•多址,CDMA•抗窄带干扰和同频干扰•隐蔽通信•多径信道下可以克服多径影响，获得分集增益•……本节小结（本节内容见课本131-134页）波形信道的容量定义香农公式)1log()1log(0SNRWWNSWC()11limlimlimsup(;)NNTTTNQCCIXYTTx作业4.104.12