信号与系统第8章(陈后金)1

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年系统的状态变量分析状态方程的普遍形式连续时间系统状态方程的建立离散时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的求解离散时间系统状态方程的求解输入输出描述法：着眼于研究输入和输出信号之间的关系状态变量描述法：研究系统内部的一些变量的变化规律状态变量：系统内部变量中，N个彼此线性无关的变量状态向量：由一组状态变量构成的向量状态空间：状态向量所在的空间名词术语：状态方程的一般形式连续时间系统状态方程的一般形式离散时间系统状态方程的一般形式一、连续时间系统状态方程的一般形式对一个具有m个输入p个输出的n阶连续时间系统，可用一阶微分方程组表示：mmnnxbxbxbqaqaqaq121211112121111mmnnxbxbxbqaqaqaq222212122221212mnmnnnnnnnnxbxbxbqaqaqaq22112211一、连续时间系统状态方程的一般形式输出方程mmnnxdxdxdqcqcqcy121211112121111mmnnxdxdxdqcqcqcy222212122221212mpmppnpnpppxdxdxdqcqcqcy22112211一、连续时间系统状态方程的一般形式状态方程的矩阵形式)()()()()()(ttttttDxCqyBxAqq连续时间系统的状态可用矩阵形式表示为：一、连续时间系统状态方程的一般形式状态方程的矩阵形式nqqq21nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nqqq21nmnnmmbbbbbbbbb212222111211mxxx21=+(n维)(n*n阶)(n维)(n*m阶)(m维)AB)()()()()()(ttttttDxCqyBxAqq一、连续时间系统状态方程的一般形式状态方程的矩阵形式pyyy21pnppnnccccccccc212222111211pmppmmddddddddd212222111211nqqq21mxxx21=+(n维)(p*n阶)(n维)(p*m阶)(m维)CD)()()()()()(ttttttDxCqyBxAqq二、离散时间系统状态方程的一般形式离散时间系统的状态变量方程为一阶差分方程组，有与连续时间系统相同的形式，可写成：][][][][][]1[kkkkkkDxCqyBxAqq二、离散时间系统状态方程的一般形式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211Anmnnmmbbbbbbbbb212222111211Bpnppnnccccccccc212222111211Cpmppmmddddddddd212222111211D][][][][][]1[kkkkkkDxCqyBxAqq连续时间系统状态方程的建立由电路建立状态方程由模拟框图建立状态方程由微分方程或系统函数建立状态方程状态方程的规范型实现（1）选择电感电流和电容电压作为状态变量；（2）应用KCL写出电容的电流与其它状态变量和输入量的关系式；（3）应用KVL写出电感的电压与其它状态变量和输入量的关系式；（4）对步骤（2）（3）所建立方程，两边分别除以C或L就得到状态方程；（5）由KCL、KVL写出用状态变量和输入量表示的输出，即得输出方程。一、由电路建立状态方程tvCcddtiLLdd二、由模拟框图建立状态方程(1)选取积分器的输出作为状态变量；(2)围绕加法器列写状态方程和输出方程。三、由微分方程或系统函数建立状态方程(1)由微分方程或系统函数，画出相应的模拟框图。(2)再由模拟框图建立系统的状态方程。例1写出图示电路的状态方程和输出方程。x(t)+LCR1R2q1(t)+q2(t)i1(t)i2(t)y(t)+解：选择电容的电压q1(t)和电感的电流q2(t)作为系统的状态变量。回路电流和状态变量的关系为)()(22titq)()()(211tititqC回路方程为)()()(111txtqtiR0)()()(1222tqtiRtiL例1写出图示电路的状态方程和输出方程。解：)(1)(1)(1)(12111txCRtqCtqCRtq)()(1)(2212tqLRtqLtq由上面四式可求出状态方程为x(t)+LCR1R2q1(t)+q2(t)i1(t)i2(t)y(t)+)()(22tqRty系统的输出方程为例1写出图示电路的状态方程和输出方程。f(t)+LCR1R2x1(t)+x2(t)i1(t)i2(t)y(t)+解：系统的状态方程和输出方程用矩阵来表示)()(21tqtqLRLCCR21111)()(21tqtq011CR)(tx)()(]0[)(212tqtqRty例2已知一个LTI系统的系统函数为解：2426952)(23sssssH写出系统直接型、级联型和并联型结构的状态方程。s1s1s1592624y(t)2q1q2q3x(t)1)直接型3213224269152)(ssssssH例2已知一个LTI系统的系统函数为解：2426952)(23sssssH写出系统直接型、级联型和并联型结构的状态方程。1)直接型选三个积分器输出为系统的状态变量q1，q2和q3，有)()(21tqtq)()(32tqtq)()(9)(26)(24)(3213txtqtqtqtq)(2)(5)(21tqtqtys1s1s1592624y(t)2q1q2q3x(t)例2已知一个LTI系统的系统函数为解：2426952)(23sssssH写出系统直接型、级联型和并联型结构的状态方程。1)直接型状态方程的矩阵表示式为)()()(321tqtqtq92624100010)()()(321tqtqtq)(100tx025)(tys1s1s1592624y(t)2q1q2q3x(t))()()(321tqtqtq例2已知一个LTI系统的系统函数为解：2426952)(23sssssH写出系统直接型、级联型和并联型结构的状态方程。2)级联型4135.222)(sssssHs122q1s132.5q2s14q3x(t)y(t)11111141315.21212ssssss例2已知一个LTI系统的系统函数为解：2426952)(23sssssH写出系统直接型、级联型和并联型结构的状态方程。2)级联型)()(2)(11txtqtq)(3)(2212tqtqq322345.2)(qqqtq)(4)(5.0)(2321tqtqtq)()(3tqtys122q1s132.5q2s14q3x(t)y(t)例2已知一个LTI系统的系统函数为解：2426952)(23sssssH写出系统直接型、级联型和并联型结构的状态方程。2)级联型状态方程的矩阵表示式为45.02032002)()()(321tqtqtq)()()(321txtxtx)()()(321txtxtx)(100tx100)(tys122q1s132.5q2s14q3x(t)y(t)例2已知一个LTI系统的系统函数为解：2426952)(23sssssH写出系统直接型、级联型和并联型结构的状态方程。3)并联型45.13125.0)(ssssHs120.5q1s13q2s141.5q3x(t)y(t)111111415.131215.0ssssss例2已知一个LTI系统的系统函数为解：2426952)(23sssssH写出系统直接型、级联型和并联型结构的状态方程。3)并联型)()(2)(11txtqtq)()(3)(22txtqtq)()(4)(33txtqtq)(5.1)()(5.0)(321tqtqtqtys120.5q1s13q2s141.5q3x(t)y(t)例2已知一个LTI系统的系统函数为解：2426952)(23sssssH写出系统直接型、级联型和并联型结构的状态方程。3)并联型状态方程的矩阵表示式为400030002321qqq321qqq321qqqx1115.115.0ys120.5q1s13q2s141.5q3x(t)y(t)四、N阶系统的规范型实现（可控型）01110111)(asasasbsbsbsbsHnnnmmmms1s1s1an-1qn-1qnx(t)s1s1an-2ama1a0b0b1bmqm+1q1q2q3y(t)四、N阶系统的规范型实现（可控型）m=n1)(][)()(100)(100001000010)(1101210tbbbtytxtaaaatnnqqqABCD=0四、N阶系统的规范型实现（对角阵）)()()()(2211nnsksksksH1s1s1s1q2qnq)(tx12n1k2knk)(1ty)(2ty)(tyn四、N阶系统的规范型实现（对角阵）)()(000000)(2121txkkkttnnqq)(111)(ttyqABCD=0离散时间系统状态方程的建立由模拟框图建立状态方程由差分方程或系统函数建立状态方程一、由模拟框图建立状态方程(1)选取延时器的输出作为状态变量；(2)围绕加法器列写状态方程和输出方程。二、由差分方程或系统函数建立状态方程(1)由差分方程或系统函数，画出相应的模拟框图。(2)再由模拟框图建立系统的状态方程。例1试列写出图示二输入二输出离散系统的状态方程和输出方程。解：z1