苏教版2.3数学归纳法1

1对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法.归纳法｛完全归纳法不完全归纳法由特殊一般特点:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3d……an=a1+(n-1)d2111a212a313a解:猜想数列的通项公式为验证:同理得717=a515=a616=a818=a啊,有完没完啊?919=a•••正整数无数个!414=a对于数列｛｝，已知，na11=annnaaa+=+11)∈(*Nn（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？)(*Nnnan1情境3第一个人倒下，是否所有人都倒下？4第k+1个人是如何倒下？5第一，第一个人必须倒下；第二，任意相邻的两个人，前一个人倒下一定撞到后一个.要保证每个人都倒下，必需满足什么条件？6条件2给出了一个递推关系：当第k个人倒下时，相邻的第k+1个人也倒下.条件2的作用时什么？7“对于数列｛an｝，已知a1＝1，（n＝1，2，…），通过对n=1，2,3,4前4项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为”.怎样类比人的多米诺骨牌游戏原理，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？探究任务一：一个数学问题新的证明方法nnnaaa11nan18多米诺骨牌游戏原理证明数列的通项公式是的步骤（1）第一个人倒下.（1）当n=1时猜想成立.（2）若第k个人倒下时，则相邻的第k+1个人也倒下.根据（1）和（2），可知不论有多少个人都能全部倒下.根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立.——（2）若当n=k时猜想成立，则当n=k+1时猜想也成立nan19一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：（2）假设n=k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.（1）证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.（归纳奠基）(归纳递推)探究任务二：提炼原理，得出概念10思考：数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？逐一验证命题对从n0开始的所有正整数n都成立.11用框图表示为：验证n=n0时命题成立.若n=k(k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.命题对所有的自然数n(n≥n0)都成立.归纳奠基归纳递推12理解新知问题1：甲同学猜想用数学归纳法证明步骤如下：1125312nn2135(23)(21)1nnn上述证明是错误的,事实上命题本身是错误的当n=1时,左边=1,右边=0左边右边结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.证明：假设n=k时等式成立，即2135(23)(21)1kkk那么135(21)(21)kk221(21)(1)1kkknN即n=k+1时等式成立.所以等式对一切自然数均成立.上述证法是正确的吗？为什么？13问题:2：乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法，对吗？为什么212531nn右边左边时当证明：1,11n212312kkkn时，等式成立，即假设当时，则1kn21212111231kkkk.1时等式也成立即kn.21都成立，可知等式对任何和根据Nn结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.22135(21)(21)(21)1kkkkk上述证明没有用到n=k命题成立这一归纳假设正解：理解新知14问题3：讨论的大小22nn与结论3：在第一步中的初始值n0不一定从1取起,证明应根据具体情况而定.21122222233224422552266227722882猜想：恒成立？满足什么条件时，22nnn用数学归纳法证明，第一个取值为5.理解新知5n15111证明：1）当n=1式，a=a+(1-1)d=a,结论成立k1k+1kk+1111n12)假设n=k式结论成立，即a=a+(k-1)d∴综合1）、2）知a=a+(n-1)d成立.所以n=k+1时结论也成立那么nn1例：已知数列{a}为等差，公差为d,:通项公式为a=a+(n-1)d求证16例2：用数学归纳法证明121321nnn右边左边时当证明：1,11n121212kkkkn时，等式成立，即假设当时，则1kn1112121211121121kkkkkkkkk.1时等式也成立即kn.21都成立，可知等式对任何和由Nn17例3.用数学归纳法证明6)12)(1(3212222nnnn*.nN其中18如下证明对吗？证明①当n＝1时，左边＝1右边＝1等式成立．②假设n＝k时，有()kk213521＋＋＋＋－＝()[()][()]()()kkkkk2135212111211121＋＋＋＋－＋＋－＋＋－＋＝＝＋即n＝k＋1时，命题成立．根据①②问可知，对n∈N*，等式成立．第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明．191.已知:,则等于()A:B:C:D:131...2111)(nnnnf)1(kf1)1(31)(Kkf231)(Kkf11431331231)(KKKKkf11431)(KKkfC练习：20练习P902、3、4、521小结作业1.数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从n0开始的所有正整数n都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证明.22数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；10nn0n（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．)N(0nkkkn且1kn递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”注意：1、一定要用到归纳假设；2、看清从k到k＋1中间的变化.“写明结论，才算完整”（3）由（1）（2）得出结论232.归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能作用.但在数学归纳法的实施过程中，还有许多细节有待进一步明确和认识.24(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.证明中需要注意的问题(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.25重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.26①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；②数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；④数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．数学归纳法的基本思想：在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题数学归纳法的核心:在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃.课堂小结27用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确首取值n0并验证真假.（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式.③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清左端应增加的项.④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.28作业：P91练习：4，5.29