无穷小和无穷大和极限的关系

二无穷小与无穷大和极限的关系三无穷小的运算性质第四节无穷小与无穷大一无穷小与无穷大的概念一、无穷小与无穷大的概念定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数(或正数X),使得对于适合不等式00xx(或xX)的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式)(xf,那末称函数)(xf当0xx(或x)时为无穷小,记作).0)(lim(0)(lim0xfxfxxx或极限为零的变量称为无穷小.1.无穷小例如,,0sinlim0xx时的无穷小.是当函数0sinxx,01limxx时的无穷小.是当函数xx1,0)1(limnnn时的无穷小.是当数列nnn})1({注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷大定义2如果对于任意给定的正数M(不论它多么小),总存在正数(或正数X),使得对于适合不等式00xx(或xX)的一切x,所对应的函数值)(xf都满足不等式Mxf)(,则称函数)(xf当0xx(或x)时为无穷小,记作).)(()(xfxf或绝对值无限增大的变量称为无穷大.0xxlimxlim特殊情形：正无穷大，负无穷大．))(lim()(lim)()(00xfxfxxxxxx或注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.认为极限存在.2.切勿将)(lim0xfxxxxy1sin1但不是无穷大.是一个无界变量,当例如,xxyx1sin10时,),3,2,1,0(221kLkkxpp取(1),22)(kppkxy.)(,kMxy充分大时当k),3,2,1,0(21kLkkxp取(2),kxk充分大时,当ppkkxyk2sin2)(但.0M不是无穷大．无界，.11lim1xx证明例证.0M,11Mx要使,11Mx只要,1M取时,Mx110当.11Mx就有.11lim1xx的图形的铅直渐近线.是函数则直线,如果:定义)()(lim00xfyxxxfxx11xy1.无穷小与函数极限的关系:证必要性,)(lim0Axfxx设,)()(Axfx令,0)(lim0xxx则有).()(xAxf充分性),()(xAxf设,)(0时的无穷小是当其中xxx))((lim)(lim00xAxfxxxx则)(lim0xAxx.A定理1),()()(lim0xAxfAxfxx其中)(x是当0xx时的无穷小.二、无穷小与无穷大和极限的关系x0xx是时无穷小.2.无穷小与无穷大的关系.0)(1lim,)(lim.)(1lim),0)((,0)(limxfxfxfxfxfxxxx则(2)若则(1)若定理2即：无穷大的倒数为无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大..)(1xf即证(2),1)(0,0,00xfxx恒有时使得当.)(lim0xfxx设.为无穷小时当)(1,0xfxx注关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,1)(0,0,00MxfxxM恒有时使得当为无穷大.时,当)(10xfxx,0)(xf由于.)(1Mxf从而.0)(,0)()1(xfxf且设0xxlim意义1.将一般的极限问题转化为特殊的极限问题(无穷小）；2.给出了函数在附近的近似表达式)(xfox).()(xAxf误差为,三、无穷小的运算性质定理3同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证：时的两个无穷小,是当及设x使得,0,0,021XX注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小.例如，不是无穷小.个之和为1,但是无穷小.时nnn1，;22时恒有当Xx22,},,max{21XXX取恒有时当,Xx.0)lim(;21时恒有当Xx定理4有界函数与无穷小量的积仍是无穷小.证内有界,在设函数),(10oxUu使得当则,0,01M时10||0xx,||Mu恒有恒有又设是当时的无穷小，0xx,0,02使得当20||0xx.||M取},,min{21则当||00xx时恒有时,||||||MMuu为无穷小.时，当uxx0推论1在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxx1arctan,1sin2例如，当0x时，都是无穷小.