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平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳平面直线型几何专题吴哲孙雪艳2016年3月平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳目录第1讲等积变形第2讲一半模型第3讲等高(等底)模型第4讲鸟头模型第5讲风筝模型第6讲蝴蝶模型第7讲沙漏模型和金字塔模型第8讲燕尾模型平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳第1讲等积变形【知识点分析】1、定义：图形形状发生变化，面积保持不变。比如：对称、平移、旋转等都是保持图形面积。2、常见类型：（1）同底等高——两平行线间的等积变形（平行线间距离处处相等）平行线“拉点“法（A1可以在L1上随便拉到任何地方）112ABCABCL//LS=S△△若，则技巧：平行线的来源A、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形B、已知平行C、并排摆放的正方形的同方向对角线（2）等底同高ABDACDDBCS=S△△若为中点，则A1CBAL2L1DABC平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳（3）等高等底12ABCEFGBC=FGhhS=S△△若、=，则3、本质：将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系【典型例题】例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点h1h2ABCEFG平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳例2：如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，梯形上下两个底平行以MP为底：△MPN=△MPO以NO为底：△NOM=△NOP等量减等量，差相等：△MNQ=△POQ例3：正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。如图，连接CF，则BD//CF,以CF为底，△CFD与△CFB面积相等，同时减去△CFH，得到△BCH与△DFH面积相等，所以阴影部分面积就等于△BCD的面积，等于20×20÷2=200平方厘米QMPNOHEFBCADGHEFBCADG平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳本题直接求阴影面积比较麻烦，利用等积变形巧妙转化方便解题。例4：在梯形ABCD中，OE平行于AD。如果三角形AOB的面积是7平方厘米，则三角形DEC的面积是______平方厘米。【解题点拨】题中有多条平行线，注意使用平行线间的等积变形。∵AD//EO//BC∴S△EOA=S△EOD，S△EOB=S△EOC，S△AOB=S△COD∴S△DEC=S△COD+S△EOD+S△EOC=S△AOB+S△EOA+S△EOB=7+7=14例5：如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF的面积。【解题点拨】题中有多个中点、三等分点，如图连接：EOBDACFDAEBCFDAEBC2221111FDAEBC平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳∵S△ABC=1，AB=BD∴S△DBC=S△ABC=1又BC=CE∴S△ACE=S△ABC=1，S△DBC=S△EDC=1又AF=2AC∴S△AFE=2S△ACE=2，S△AFB=2S△ACB=2又AB=DB∴S△AFB=S△DFB=2所以三角形DEF的面积为=1+1+1+1+2+2+2=10例6：如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和120，则三角形BDE的面积是多少？【解题点拨】题中已知阴影部分的面积，要求面积，想办法转化。∵D为AC中点∴S△ADB=S△CDB又ED和EB分别将两个长方形平分面积所以阴影部分差的面积就是三角形BDE的2倍（解题关键）所以三角形BDE的面积为（120-100）÷2=10DBAEC平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳第2讲一半模型【知识点分析】1、平行四边形的一半模型（适用于长方形和正方形）基础模型：12S=S阴平行四边形证明：12S=S=S=S阴阴平行四边形平行四边形底高2，底高，所以拓展1：图（1）中为平行四边形内部的一条平行线，12S=S阴平行四边形图（2）为内部任意一点，相等于把图（1）中两个点变为一个点，12S+S=S+S=S下下上左平行四边形图（3）中为平行四边形内部一平行线，12S=S阴平行四边形（3）（2）（1）或平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳拓展2：图（1）为平行四边形到长方形的变化图（2）2S=S=S正阴长图（3）2S=S=S正阴长,图（3）是图（2）的变形2、梯形的一半模型：12S=S阴梯形（取梯形腰上中点连接三角形）证明：延长DE交CB的延长线于F，得到ADEFBECDFS=SS=S△△△梯形，,因为E为AB的中点，显然E也为DF的中点，容易得到1122CDFS=S=S△阴梯形拓展：在梯形中位线上任意选择一点，12S=S阴梯形（3）（1）（2）FEBCDA平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳证明：如图，将K点移动到L点GJKGJLS=S△△，HIKHILS=S△△，由梯形的一半模型得证：12S=S阴梯形3、任意四边形的一半模型：基础模型:任意四边形，取上下两个边的中点连接，则12S=S阴四边形证明：连按照如图连接，则根据中点可以知道，1234S=SS=S，，所以12S=S阴四边形拓展1：将中点变为三等分点LJIHGKS4S3S2S1证明平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳23S=S阴四边形，证明方法同上，连接对角线即可（略）拓展2：取三等分点连接13S=S阴四边形,证明方法如图，根据拓展1的结论可得：23ABCDS=S四四边形，根据基础模型知道：12ABCDS=S阴四，所以13S=S阴四边形拓展3：上面一条边三段长度比例为3:2:1，下面一条边三段长度比例为1:2:3，则13S=S阴四边形证明：如图连接，证法同拓展2，根据基础模型结论可得：12ABCDS=S四四边形，根据拓展1的结论可得23ABCDS=S阴四，所以13S=S阴四边形证明ABDC①②③③②①①②③①②③证明CADB平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳拓展4：取各边三等分点，连接得中心阴影，则19S=S阴四边形证明：如图，由拓展2知13GHKLS=S四四边形，只需要证明K1、N1和L1、M1、分别是GL和KH的三等分点就可以。如图连接，（需要用到相似），根据三等分点容易得到EL//BD//GJ,而且1112113322EL=BDGJ=BDEL=GJLK=KG，，所以，所以，得到K1是GL的三等分点，同理可以证明另外三个点也是三等分点，所以13GHKLS=S阴四，所以19S=S阴四边形【典型例题】例1：（1）平行四边形草场分成了A、B、C、D四个三角形，草匀速生长，A草场的草可供40头牛吃，B草场的草可供30头牛吃，C草场的草可供100头牛吃，那么D草场呢？【解题点拨】由平行四边形一半模型可以知道：A+C=B+D，所以，D=40+100-30=110头注意：草地面积和牛数使一一对应的。K证明M1N1K1L1IJFEAGHLDBCDBAC平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳（2）（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）已知EF为梯形的中位线，三角形ADG的面积为15平方厘米，三角形BCG的面积占梯形总面积的720，求梯形ABCD的面积？【解题点拨】由梯形的一半模型知道，12ADGBCGABCDS+S=S△△梯，所以梯形ABCD的面积=21715)100220-cm（例2：（三帆中学2006年考题）如图，P为平行四边形ABCD外一点，已知三角形PAB的面积等于7平方厘米，三角形PCD的面积是3平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。【解题点拨】过P做平行线构造平行四边形，利用一半模型解题222273ABEFPABDCEFPCDABCDABEFDCEFS=SS=SS=S-S=-=cm△，△，（）8FCBEAG15DDBACPDBEFAPC平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳例3：O为长方形ABCD内一点，5OBCOABOBDS=S=2S=△△△，，求？【解题点拨】考察任意一点的一半模型和对角线的一半模型12OBCOADOABOADOBDABCDS+S=S+S+S=S△△△△△，得523OBDOBCOABS=SS=-=△△△例4：O为平行四边形ABCD内一点，过点O做边的平行线，已知8OBDS=△，求OHCFAEOGSS=？【解题点拨】如图，连接OA与OC，根据例3中的结论可以知道：OBDOBCOABS=SS=8△△△，又22BCFEOBCABHGAOBS=SS=S△△，，所以，216OHCFAEOGBCFEABHGOBCOABSS=SS=SS=△△（）APCBODFEHGBDCAOFEHGBACDO平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳例5：（1）（2008仁华考题）正方形边长为10，四边形EFGH的面积为5，求阴影部分的面积是多少？【解题点拨】一半模型的变形，正方形中的两个三角形有重叠部分，如果没有重叠，两个三角形面积和应为10×10÷2=50，重叠部分面积是5，所以阴影部分的面积为50-5×2=40（2）四边形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，求阴影部分面积与四边形PQRS的面积之比是多少？12BGDEAFCHABCDS=S=S四四四【解题点拨】由任意四边形一半模型可知：所以BGDEAFCHABCDS+S=S四四四，根据重叠等于未覆盖，可以知道1:1PQRSPQRSS=SSS=四阴四阴，所以：HGEBCADFPQRSHEFGADBC平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳例6：（2008走美六年级初赛）长方形ABCD中，阴影部分面积为70，AB=8，AD=15，求四边形EFGO的面积？【解题点拨】解法一：一半模型三角形BDF和三角形ACF如果没有重叠的话，面积和应该是长方形面积的一半：8×15÷2=60，实际面积是50，所以四边形EFGO的面积是60-50=10解法二：梯形蝴蝶模型（学习过蝴蝶模型的同学可以理解下）在梯形ABFD中，根据蝴蝶模型可以知道：,70158210ABEDEFEFGOSSS==△△四所以AGEOBCDF平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳第3讲等高（等底）模型【知识点分析】1、基础知识：三角形面积底高2所以：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．若底不变，高越大(小)，面积越大(小)；若高不变，底越大(小)，面积越大(小)；2、模型结论：①两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；如图12::SSab②两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；特殊：等底等高的两个三角形面积相等；（注意平行线）其他常用结论：（1）夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS△△；反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．（2）等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；（3）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；（4）两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．baS2S1DCBA平面直线型几何专题by吴哲孙雪艳3、拓展结论：拓展1：图（1）：四边形ABCD为正方形，E、F、G是各边中点，H是是AD上任意一点，则12S=S正阴证明：连接BH、CH，根据等高等底知：S=SS=SS=S①②③④⑤⑥，，，所以12S=S正阴图（2）：四边形ABCD为正方形，E、F、G是各边三等分点，H是是AD上任意一点，则13S=S正阴（证明方法同上）图（3）：四边形ABCD为长方形，E、F、G是各边中点，H是是AD上任意一点，则12S=S阴长（证明方法同上）拓展2：图（1）：12S=S阴小正，证明：根据平行，A可以移动到D，12BCDS=S=S△阴小正图（2）：12S=S阴小正，证明同上（辅助线如图）图（3）：12S=S阴大正，证明同上（辅助线如图）B⑥④⑤③②①（3）（2）（1）GFEGFEGFEACBCADDABCDHHH（4）（1）（2）（3）