2010年高考试题与答案(全国卷2数学文).doc

12010年普通高等学校招生全国统一考试试卷题文科数学（全国卷II）本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率()(1)(01,2)kknknnPkCPPkn，，，一．选择题1.设全集U{x*N|6}x集合A={1，3}，B={3，5}，则Cu(AB)=A.{1，4}B.{1，5}C.{2.4}D.{2，5}2.不等式的302xx解集为A.{x|-23}xB.{|2}xxC.{|2}xx或x3D.{|3}xx3.已知2sin,3则cos(2)A.53B.19C.19D.534.函数1(1)(1)ylnxx的反函数是A.11(0)xyexB.11(0)xyexC.11()xyexRD.11()xyexR5.若变量,xy满足约束条件1..325.xyxxy,则2zxy的最大值为A.1B.2C.3D.46.如果等差数列{}na中,34512,aaa那么127aaaA.14B.21C.28D.357.若曲线2yxaxb在点(0,)b处的切线方程是10xy,则A.1,1abB.1,1abC.1,1abD.1,1ab8.已知三棱锥SABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,3,SA那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值是A.34B.54C.74D.349.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入个3不同的信封中，若每个信封放2张，其中，标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同放法共有A.12种B.18种C.36种D.54种10．ABC中，点D的边AB上，CD平分ACB，若,CBa,||1,||2,CAbab2则CDA.1233abB.2133abC.3455abD.4355ab11．与正方体1111ABCDABCD的三条棱AB、CC1、11AD所在直线的距离相等的点A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个12．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)kk的直线与C相交于A、B两点，若3AFFB，则kA.1B.2C.3D.2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知是第二象限的角,1tan,2则cos__________.14.91()xx的展开式中3x的系数是__________.15.已知抛物线2:2(0)Cypxp的准线为l,过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若AMMB,则p_______.16.已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆,AB为圆M与圆N的公共弦,AB=4,若OM=ON=3,则两圆圆心的距离MN=_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分。17(本小题满分10分)ABC中，D为BC边上一点,BD=33,5sin,13B3cos,5ADC求AD.18(本小题满分12分)已知{na}是各项均为正数的等比数列，且1212112()aaaa,34534511164()aaaaaa(I)求{na}的通项公式;(II)设21()nnnbaa,求数列{nb}的前n项和nT.19(本小题满分12分)如图，直棱柱111ABCABC中，AC=BC，1AAAB，D为1BB的中点，E为1AB上的一点，13AEEB.(I)证明：DE为异面直线1AB与CD的公垂线；(II)设异面直线1AB与CD的夹角为45,求二面角111AACB的大小.20(本小题满分12分)如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为1234,,,rrrr,电流能通过123,,rrr的概率都是p,电流能通过4r的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立,已知123,,rrr中至少有一个能通过电流的概率为0.999(I)求p；(II)求电流能在M与N之间通过的概率.ABCABCDE111321(本小题满分12分)已知函数32()331.fxxaxx(I)设2a,求()fx的单调区间；(II)设()fx在区间(2,3)上有一个极值点,求a的取值范围.22.(本小题满分12分)已知斜率为1的直线l与双曲线2222:1(0,0)xyCabab交于,BD两点，BD的中点为(1,3)M.(I)求C的离心率；(II)设C的右顶点为A,右焦点为F,||||17DFBF,过,,ABD的圆与x轴相切.rrrrMN123442010年高考试文科数学试题参考答案和评分参考一、选择题1.C2.A3.B4.D5.C6.C7.A8.D9.B10.B11.D12.B二、填空题13.25514.8415.216.3三、解答题（17）解：由3cos052ADCB知由已知得124cos,sin135BADC，从而sinsin()BADADCB=sincoscossinADCBADCB412355135133365.由正弦定理得ADsinsinBDBBAD,所以sinADsinBDBBAD53313==253365.（18）解：（Ⅰ）设公比为q，则11nnaaq.由已知有1111234111234111112,11164.aaqaaqaqaqaqaqaqaq化简得21261264.aqaq，又10a，故12,1qa所以12nna（Ⅱ）由（Ⅰ）知221211112424nnnnnnnbaaaa5因此1111111411414...41...22442114441314nnnnnnnTnnn（19）解法一：（Ⅰ）连结1AB,记1AB与1AB的交点为F.因为面11AABB为正方形，故11ABAB，且1AF=FB.又1AE=3EB，所以1FE=EB，又D为1BB的中点，故1DEBFDEAB∥，.作CGAB,G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.又由底面ABC面11AABB，得CG11AABB.连结DG，则1DGAB∥，故DEDG,由三垂线定理，得DECD.所以DE为异面直线1AB与CD的公垂线.（Ⅱ）因为1DGAB∥，故CDG为异面直线1AB与CD的夹角，CDG=45.设AB=2，则1AB22，DG=2，CG=2,AC=3.作111BHAC,H为垂足，因为底面11111ABCAACC面,故111BHAACC面，又作1HKAC，K为垂足，连结1BK,由三垂线定理，得11BKAC，因此1BKH为二面角111AACB的平面角2211111111112223ABACABBHAC22111133HCBCBH221111232(3)7,37AAHCACHKAC11tan14BHBKHHK6所以二面角111AACB的大小为arctan14解法二：（Ⅰ）以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设AB=2，则A（2,0,0,），1B(0,2,0)，D（0,1,0），13E(,,0)22，又设C（1,0,c）,则111DE0BA=2,-2,0,DC=1,-1,c22，，，.于是1DEBA=0,DEDC=0.故1DEBADEDC，,所以DE为异面直线1AB与CD的公垂线.（Ⅱ）因为1,BADC等于异面直线1AB与CD的夹角，故11cos45BADCBADC，即2222242c，解得2c，故AC(,22)-1，，又11AA=BB=(0,2,0)，所以11AC=AC+AA=(1,22)，，设平面11AAC的法向量为(,,)mxyz，则110,0mACmAA即22020xyzy且令2x，则1,0zy，故(2,0,1)m令平面11ABC的法向量为(,,)npqr则110,0nACnBA，即220,220pqrpq令2p，则2,1qr，故(2,21)n所以1cos,15mnmnmn.由于,mn等于二面角111A-AC-B的平面角，所以二面角111A-AC-B的大小为15arccos15.（20）解：记1A表示事件：电流能通过T,1,2,3,4,ii7A表示事件：123TTT，，中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M与N之间通过，（Ⅰ）123123AAAAAAA，，，相互独立，3123123P()()()()()(1)APAAAPAPAPAp,又P()1P(A)=10.9990.001A，故3(1)0.0010.9pp，，（Ⅱ）44134123BA+AAA+AAAA，44134123P(B)P(A+AAA+AAAA)44134123P(A)+P(AAA)+P(AAAA)44134123P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)P(A)=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891（21）解：（Ⅰ）当a=2时，32()631,()3(23)(23)fxxxxfxxx当(,23)x时()0,()fxfx在(,23)单调增加；当(23,23)x时()0,()fxfx在(23,23)单调减少；当(23,)x时()0,()fxfx在(23,)单调增加；综上所述，()fx的单调递增区间是(,23)和(23,)，()fx的单调递减区间是(23,23)（Ⅱ）22()3[()1]fxxaa，当210a时，()0,()fxfx为增函数，故()fx无极值点；当210a时，()0fx有两个根22121,1xaaxaa由题意知，22213,213aaaa或8①式无解，②式的解为5543a，因此a的取值范围是5543，.（22）解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：2yx，代入C的方程，并化简，得2222222()440baxaxaab，设1122B(,)(,)xyDxy、，则22221212222244,aaabxxxxbaba①由(1,3)M为BD的中点知1212xx，故2221412aba即223ba，②故222caba所以C的离心率2cea（Ⅱ）由①②知，C的方程为：22233xya，2121243(,0),(2,0),2,02aAaFaxxxx故不妨设12,xaxa，2222211111BF=(2)(2)332xayxaxaax，2222222222FD=(2)(2)332xayxaxaxa，22121212BFFD(2)(2)=42()548axxaxxaxxaaa.又BFFD17，故254817aa，解得1a，或95a（舍去），故2121212BD=22()46xxxxxx，连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知MA3，从而MA=MB=MD,且MAx轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过