恒定流动量方程

第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程1第十三节恒定流动量方程动量定律：作用于物体的冲量，等于物体的动量增量。vmddtF即：恒定流动量方程主要作用是解决作用力问题，特别是流体与固体之间的总作用力。第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程2vmddtF222111FdtdmvQdtvQdtv222111FQvQv现以恒定总流的一段为例，取1和2两个渐变流断面间的流体为研究对象，两断面间流段1-2在dt时间后移动到1’-2’。1.动量方程的推导A111'v1dtA222'v2dt第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程32202AAudAudAaQvAv（3-13-1）方程是以断面平均流速模型建立的，实际的流速是不均匀分布的，以动量修正系数a0修正。a0定义为实际动量和按照平均流速计算的动量的比值。即：工程计算中取a0=1。动量方程式改写为：1110122202vQavQavmdF（3-13-2）这就是恒定流动量方程式。a0取决于断面流速分布的不均匀性。不均匀性越大，a0越大，一般取a0=1.05第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程4将物质系统的动量定理应用于流体时，动量定理的表述形式是：对于恒定流动，所取流体段（简称流段，它是由流体构成的）的动量在单位时间内的变化，等于单位时间内流出该流段所占空间的流体动量与流进的流体动量之差；该变化率等于流段受到的表面力与质量力之和，即外力之和。0222201111FaQvaQv（3-13-2）2.公式说明：第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程5控制体：是空间的一个固定不变的区域，是根据问题的需要所选择的固定的空间体积。它的边界面称为控制面系统与控制体系统：是一团确定不变的流体质点的集合。系统外的一切称为外界。第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程6将物质系统的动量定理应用于流体时，动量定理的表述形式是：对于恒定流动，所取流体段（简称流段，它是由流体构成的）的动量在单位时间内的变化，等于单位时间内流出该流段所占空间的流体动量与流进的流体动量之差；该变化率等于流段受到的表面力与质量力之和，即外力之和。动量定理本身的描述是针对特定的物质系统（拉格朗日法）而言的，是拉格朗日的描述方法，而公式中“流进”和“流出”的流体不属于同一系统，这种表述是欧拉法的。在流体力学中，控制体是在对流动规律的拉格朗日描述转换到欧拉描述时所出现的概念，是欧拉法所采用的概念。1110122202vQavQavmdF（3-13-2）2.公式说明：第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程73.适用条件：恒定流过水断面为均匀流或渐变流过水断面无支流的汇入与分出。022220333301111FQvQvQv如图所示的一分叉管路，动量方程式应为：v3112233ρQ3ρQ1ρQ2v1v20222201111FaQvaQv（3-13-2）第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程8对于不可压缩流体，ρ1=ρ2=ρ和连续性方程Q1=Q2，其恒定流动能量方程为：101202vQavQaF（3-13-3）在直角坐标系中的分量式为：zzzyyyxxxvQavQaFvQavQaFvQavQaF101202101202101202（3-13-4）工程计算中，通常取a01=a02=1第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程9动量方程是一个矢量方程。应首先选择和在图上标明坐标系。注意外力、速度的方向问题，它们与坐标方向一致时为正，反之为负。全面分析作用于控制体的所有外力。动量方程式中的动量差是指流出控制体的动量减去流入控制体的动量，两者不能颠倒。动量修正系数在计算要求精度不高时，常取1。动量方程中的各项物理量的单位要一致。统一采用国际单位制中的m、kg、N(kN)和s。若力的单位为kN，ρ取1，若力的单位为N，则ρ取1000。4.应用动量方程应注意的问题：0222201111FaQvaQv（3-13-2）第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程10两端断面上的水总压力P1、P2。边界的摩擦力T（可忽略）。控制体的重力G。固体边界给控制体水流的总作用力R’。GRPPF'21xxxxxGRPPF'21yyyyyGRPPF'21yyyyyGRPPF'21在各轴的投影作用于控制体的所有外力第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程11根据动量方程可求出固体边界给控制体液流（即壁面对流体）的总作用力R’，而求解问题中往往需要确定流体作用在壁面上的力R，这两个力按牛顿第三定理R’=R。222''''zyxRRRR222''''zyxRRRRR21FQvQv第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程125.应用动量方程式解决问题的步骤：（１）取控制体；（3）正确分析受力，未知力设定方向；（2）建立坐标系•以计算简便为原则（４）流出和流进控制体的动量差：•(下游断面的动量)－(上游断面的动量)1122FP1FP2FRFG•动量方程解决的是固体壁面和流体之间相互作用的整体作用力，应使控制体既包含待求作用力的固壁，又不含其他的未知作用力的固壁（5）联立动量方程求解。21()xxQvv第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程136.动量方程式在实际工程中的应用•弯管内水流对管壁的作用力管轴水平放置管轴竖直放置第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程14[例3-15]水在直径为10cm的60°水平弯管中，以5m/s的流速流动。弯管前端的压强为0.1at(9807Pa)。如不计水头损失，也不考虑重力作用，求水流对弯管1-2的作用力。（弯管水平放置）[解]（1）确定控制体。取控制体为1-2断面间弯管占有的空间；（2）选择坐标系。如图所示；xyz60°A1A2v12p1p1122x轴为弯管进口前管道的轴线x－y平面为水平面第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程15（3）控制体内流体受力分析。由于不考虑重力，质量力为零，表面力包括：断面1上：P1=p1A1；断面2上：P2=p2A2；其余表面：弯管内表面的作用力设为，其投影与x轴成α角。未知压强p2应用能量方程：由于Z1=Z2，v1=v2=v，可得：R2211221222pvpvZZgggg129807pppPaxyzRα60°A1A2v12p1p1122可求出在x、y轴上的分力第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程16（4）流出和流进控制体的动量差：xyzRα60°A1A2v12p1p1122由于断面面积不变v1=v2=5m/s（5）联立动量方程得：11222111212cos60cos1cos60coscos60cos601xxxVFpApARpARQvvvAvvAv21()xxQvv第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程1722212221sin60sinsin60sinsin600sin60yVyyzzvzzFpARpARQvvvAvAvFRQvv22211cos60coscos601sin60sinsin60zvzzpARAvpARAvRQvv29807(0.1)77.14pAPamN也即：xyzRα60°A1A2v2v12p1p1122xyzRα60°A1A2v2v12p1p1122第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程1823223277.11cos60cos1000/(0.1)5/cos601477.1sin60sin1000/(0.1)5/sin6040NRkgmmmsNRkgmmmsRz272,60,0zRNR联立求解，得：（6）由于水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力大小相等方向相反。因此水流对弯管的作用力F为：F=272N，方向与R相反。FRxyzRα60°A1A2v2v12p1p1122xyzRα60°A1A2v2v12p1p1122第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程19【例】一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角，直径由dA＝200mm变为dB＝150mm，在流量时，压强，求水流对AB段弯管的作用力。不计弯管段的水头损失。（弯管水平放置）o60sQ/m1.032KN/m18Ap解：22222143.18m/s45.66m/s2()7.03KN/m22ABAABBBABBAvvQvdQvdpvvppgg（）用连续性方程计算和（）用能量方程计算BAyxoQxRyRB第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程202223()()cos(cos)44sin4xyxBxAxyByAyAABBxBABBABRRxyFQvvFQvvpdpdRQvvpd（）将流段作为隔离体取出，规定坐标正方向，假定弯管反力和的方向，写和两个坐标方向的动量方程：代入题中的外力和流速，注意力和流速的正负性221(sin0)0.538KN,0.598KN,tanyBxyyxyxRQvRRRRRRR代入已知数据可求得。相反，即方向弯管的反力大小相等，流体对弯管的作用力与结论：）（4RRBAyxoQxRyRB第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程21【例】如图所示，夹角呈60º的分岔管水流射入大气，干管及管的轴线处于同一水平面上。已知v2=v3=10m/s，d1＝200mm，d2＝120mm，d3＝100mm，忽略水头损失，试求水流对分岔管的作用力分量Fx、Fy。[解]（1）确定控制体。取过流断面1-1、2-2、3-3及管壁所围成的空间为控制体；（2）选择坐标系，如图所示；第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程22（3）控制体内流体受力分析。过流断面1-1上的压力P1；过流断面2-2和3-3上的压力P2＝P3＝0；分岔管对水流的作用力Fx′、Fy′；（4）列动量方程x，y轴方向的投影式1223311vcos30vcos30vxPFQQQ2233vsin30vsin300yFQQ第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程23以分岔管轴心线为基准线，列1、2断面伯努利方程232221dv0.113/4Qms233331dv0.079/4Qms31230.192/QQQms1121v6.115/1d4Qms22112vv00022pgg11223330°30°Q1Q3Q2Fx'Fy'oxy2221131.3032vvpkPa第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程24将各量代入动量方程，得弯管对水流的作用力11223330°30°Q1Q3Q2Fx'Fy'oxy0.49xFkN0.17yFkN水流对分岔管的作用力0.49xFkN0.17yFkN方向与ox轴方向相同方向与oy轴方向相反第三章一元流体动力学基础第十三节恒定流动量方程25【例】有一沿铅垂放置的弯管如图所示，弯头转角为90°，起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长度L为3.14m，两断面中心高差Δz为2m，已知断面1-1中心处压强p1为117.6kPa，两断面之间水头损失为0.1m，管径d为0.2m。试求当管中流量Q为0.06m3/s时，水流对弯头的作用力。[解]（1）确定控制体。取控制体为1-1,2-2