抽样分布与估计式

第7章抽樣分佈與估計式前言•抽樣的目的並不意味著我們關心的焦點是在樣本的資料上。樣本背後的母體才是關心的重點。•以樣本的統計量（statistic），如樣本平均數、樣本變異數等，來推論母體的參數（parameter），如母體平均數、母體變異數等。•要達到此目的，必須知道樣本的統計量的機率分佈，以及如何在眾多的統計量中，選擇最恰當的，以便估計母體參數。第一節抽樣誤差(1)•不針對母體進行普查的主要原因有：•1.母體太大，客觀條件限制。•2.無法確知母體的範圍。•3.破壞性檢測。•4.從樣本的結果已經可以有效推知母體。第一節抽樣誤差(2)•估計誤差•抽樣誤差（samplingerror）：任何因為抽樣中的機遇（chance）所產生的變動。增加樣本數，可以降低抽樣誤差。使用恰當的樣本統計量來估計母體參數，也是降低抽樣誤差的方法之一。適當的抽樣方法，可以降低抽樣誤差。•非抽樣誤差（nonsamplingerror）：一切不是因為抽樣所產生的誤差。例如樣本沒有代表性，在資料的蒐集、整理、分析時也可能產生誤差。第二節抽樣方法(1)•抽樣方法•隨機抽樣（randomsampling）：依照隨機的方式，使母群體中的每一個份子都有可能被抽到。•非隨機抽樣（nonrandomsampling）：取決於研究者主觀的想法或是參照客觀環境的限制，所設計出來的抽樣方法，因此母群體的某些份子完全沒有被抽到的機會。第二節抽樣方法(2)•隨機抽樣•1.簡單隨機抽樣（simplerandomsampling）•2.間隔抽樣（intervalsampling）•3.分層抽樣（stratifiedsampling）•4.集群抽樣（clustersampling）•5.分段抽樣（stagedsampling）•非隨機抽樣•1.配額抽樣（quotasampling）•2.判斷抽樣（judgmentsampling）第二節抽樣方法(3)•簡單隨機抽樣•先將母體加以編號，然後如抽籤般的抽出200位即可。也可以利用均勻分佈所產生的數值來代替抽籤。•如果母群體很大，將母體加以編號恐怕不切實際。有時研究者並不確知母群體的大小，簡單隨機抽樣並不見得可行。第二節抽樣方法(4)•間隔抽樣•每隔幾個就抽取一個。在工商界中，常用此方法進行抽樣，如每隔幾個上門的顧客就訪問一位，每隔幾個產品就抽樣一個。使用間隔抽樣時，必須確保樣本的資料並無規律性變化才可。第二節抽樣方法(5)•分層抽樣•先決定有哪幾個重要的層（strata），接著就依照母體分佈的比率，隨機抽樣。這樣一來可以保證樣本與母群體的分佈情形非常相近，因此所得到的調查結果比簡單隨機抽樣更能夠推論到母群體。•如果選擇一些不相干的層，就會一點效果都沒有。因此在實務上，通常只選取少數幾個最為重要的層而已。第二節抽樣方法(6)•集群抽樣•先將母群體分為數個相似的集群，然後隨機抽取數個集群，加以調查。•在集群抽樣裡，集群與集群間要非常相似，集群內則差異要大（越接近母群體的分佈越好）。在分層抽樣裡，層與層之間的差異要大，但層之內要非常相似。第二節抽樣方法(7)•分段抽樣•採用多種抽樣的方法。例如先集群抽樣，然後再簡單隨機抽樣。或先集群再分層抽樣。實務上，仍以兩階段和三階段的抽樣最為普遍。第二節抽樣方法(8)•配額抽樣•它和分層抽樣的概念非常類似，只不過在分層抽樣裡，研究者確知母群體中各層的比率，但在配額抽樣裡，事先並不完全知道母群體的分佈，但依照研究者的學識和判斷，研擬出配額的依據。第二節抽樣方法(9)•判斷抽樣•它必須仰賴研究者主觀的判斷來進行抽樣。判斷抽樣又比配額抽樣更為主觀。因為在配額抽樣中，研究者只是去估計母體的比例而已。但在判斷抽樣裡，研究者甚至判斷哪些份子較具代表性，以決定是否要對它進行調查。第三節抽樣分佈(1)•推論統計學就是利用樣本統計量來估計母體參數的一門學問。統計量的機率分佈稱為抽樣分佈理論（samplingdistributiontheory）。•基本上我們關心該分佈是何種機率分佈，平均數和變異數各為多少，藉以估計母體參數。第三節抽樣分佈(2)•定理7.1•令X1,…,Xn為獨立隨機變項，其平均數分別為m1,…,mn，其變異數分別為,…,。若令•Y的平均數和變異數分別為212niniiXaY1niiiYaYE1mm2122iniiYa第三節抽樣分佈(3)•例子1•令X1表示丟公平硬幣出現的點數，X2表示丟公平骰子出現的點數，則3X1–2X2的平均數和變異數分別是多少？•作法•公平硬幣出現的點數的平均數和變異數分別為0.5以及0.25。丟骰子出現的點數為間斷均勻分佈，平均數和變異數分別為3.5以及2.92。•X1和X2互為獨立，得3X1–2X2的平均數為3×0.5–2×3.5=-5.5，變異數為32×0.25+22×2.92=13.93。第三節抽樣分佈(4)•例子2•X和Y變項互為獨立，X變項的變異數為，Y變項的變異數為，aX+bY的變異數是多少？•作法•aX+bY的變異數為a2+b2。2X2Y2X2Y第三節抽樣分佈(5)•推論1•X1，…，Xn的平均數均為m，變異數均為，且ai都等於1/n：•的平均數會等於母體平均數m，變異數會等於母體變異數除以n，即2/n。即：2nXXnii/1XmmXnX22第三節抽樣分佈(6)•定理7.2•令X1,…,Xn為來自常態分佈的獨立隨機變項，其平均數分別為m1,…,mn，變異數分別為•,…,。若令•則Y為常態分佈，平均數為和變異數分別為212niniiXaY1niiiYaYE1mm2122iniiYa第三節抽樣分佈(7)•推論1•令X1,…,Xn為來自常態分佈N(m,2)的獨立隨機變項，則樣本平均數•推論2•令X1,…,Xn為來自常態分佈N(m,2)的獨立隨機變項，則),(~/21nNnXXniim),(~21mnnNXYnii第三節抽樣分佈(8)•推論3•令X1,…,Xn為來自標準常態分佈N(0,1)的獨立隨機變項，則ZnXYnii~/1第三節抽樣分佈(9)•例子3•假設智商的分佈為N(100,225)。隨機抽樣25人調查其智商，並計算智商的樣本平均數。如果重複抽樣無數次，每次抽樣25人，並計算樣本平均數，則樣本平均數會成何分佈？其平均數和變異數各為多少？•作法•令這25人的智商分別為X1,…,X25。已知它們均服從常態分佈N(100,225)，根據定理7.2得知，樣本平均數的抽樣分佈為N(100,225/25)。第三節抽樣分佈(10)•定理7.3•令Z1,…,Zn為標準常態分佈的獨立隨機變項，則•定理7.4•令X1,…,Xn為來自常態分佈N(m,2)的獨立隨機變項，且其樣本平均數為，樣本變異數為S2，則(1)和S2互相獨立，(2)2221~nnZZYX2122~1nSnX第三節抽樣分佈(11)•例子4•假設智商的分佈為常態分佈，平均數和變異數分別為100和225。如果隨機抽樣25人調查其智商，並計算智商的樣本變異數S2。如果重複抽樣無數次，每次抽樣25人，並計算樣本變異數，則樣本變異數S2會成何分佈？其平均數和變異數各為多少？第三節抽樣分佈(12)•作法•令這25人的智商分別為X1,…,X25，均服從常態分佈N(100,225)，因此•由於卡方分佈的平均數是其自由度，變異數為2倍的自由度，因此的平均數是24，變異數是48。所以S2的平均數是225，變異數是4218.7(=48/(24/225)2)。2242~22524S225242S第三節抽樣分佈(13)•定理7.5中央極限定理•令X1,…,Xn為來自某平均數為m，變異數為2的母體的獨立隨機變項，當n趨近無限大時，其樣本平均數會趨近於N(m,2/n)。•在實用上，只要樣本數n夠大（如n25），樣本平均數就會很接近常態分佈。其實即使n小於25，只要母體分佈與常態分佈相去不遠，如類似單峰和左右對稱形狀，樣本平均數會近似常態分佈。第三節抽樣分佈(14)•例子5•已知丟骰子出現點數為間斷均勻分佈，平均數和變異數分別為3.5和2.92。現丟骰子25次，計算骰子點數的平均數。如果這樣無數次，每次均丟骰子25次，並計算骰子點數的平均數，則骰子點數的平均數會成何分佈？其平均數和變異數各為多少？•作法•根據中央極限定理，樣本平均數接近常態分佈，其平均數為母體平均數3.5，變異數為0.12(=2.92/25)。第三節抽樣分佈(15)•定理7.6•若由平均數為m1和m2，變異數為和的常態分佈母體抽隨機抽出樣本數為n1和n2的獨立樣本，則•如果母體並非常態分佈，只要樣本數n1和n2夠大（如均大於25），就可放心使用常態分佈了。2122),(~2221212121nnNXXmm第三節抽樣分佈(16)•例子6•丟硬幣25次，計算出現點數的平均數（正面一點，反正零點），也丟骰子25次，計算出現點數的平均數。然後將硬幣的平均數減骰子的平均數，得到兩平均數差異。如果重複這樣無數多次，這些無數多次的平均數差異成何分佈？平均數和變異數各式多少？第三節抽樣分佈(17)•作法•丟硬幣出現的點數的平均數和變異數分別為0.5以及0.25。丟骰子出現的點數的平均數和變異數分別為3.5以及2.92。•令為硬幣的平均數，為骰子的平均數，則的平均數為0.5–3.5=-3，變異數為根據中央極限定理，近似常態分佈。1X2X21XX13.02592.22525.021XX第四節估計式(1)•推論統計包括兩大部份：估計和假設檢定。估計分為點估計和區間估計。•母體參數的點估計：利用統計量的某一個值加以估計。例如用樣本平均數這個統計量的（大寫表示變項，小寫表示特定的數值）估計母體平均數m。•統計量又稱為估計式（estimator），以表明其估計母體參數的功用。同一個參數可以有好多個估計式。第四節估計式(2)•不偏性•令q為所欲估計的參數，（唸做thetahat）為其估計式。如果E()=q，那麼就具有不偏性。或謂是q的不偏估計式（unbiasedestimator）。•樣本平均數的期望值為母體平均數，因此樣本平均數是母體平均數的不偏估計式。qˆqˆqˆqˆmmmmnnnEXEXnnXEXEnnii111/1第四節估計式(3)•例子7•令X1,X2,X3,X4為隨機從母體抽出的4個值，樣本平均數是母體平均數m的不偏估計式，已如上述。但X1、、、是否也是母體平均數的不偏估計式？32211XXY2122XXY213XXY第四節估計式(3)•作法E(X1)=mmmm32332313221211XEXEXXEYEmmm22221212XEXEXXEYEmmm221213XEXEXXEYE第四節估計式(4)•例子8•樣本變異數S2是母體變異數2的不偏估計式嗎？•作法2122~1nSn222222222111111nnSnEnSnnESE第四節估計式(5)•有效性•假設q是所欲估計的參數，是眾多估計式中的一種。若E(-q)2在所有的估計式中最小，就是最有效的估計式。•在所有的估計式中，具有最小的均方誤，就是最有效的估計式。如果只限於從不偏估計式中挑選最有效的，那麼該估計式就是不偏的最小變異估計式。qˆqˆqˆ第四節估計式(6)•例子9•在例子7中，、X1、Y1、Y2都是母體平均數的不偏估計式。何者較為有效？•作法•X2222322959491211XXY22222254212XXY4//222nX221X第四節估計式(7)•一致性•如果樣本數n越大，估計式與母體參數q的誤差量越小。如果樣本數趨近於無限大，與q的差量小於微