时频分析

时频分析（1/24）时频分析天津市智能信号与图像处理重点实验室时频分析(2/24)传统傅里叶变换的局限性1.传统傅里叶变换是一种全局变化，要么完全在频域，要么完全在时域，无法同时表示时频局部性质2.传统傅里叶变换能准确的反应信号所含频率分量及范围，但不能反应频率分量所在的时间段及随时间的变化规律3.传统傅里叶变换基于信号平稳的假设。在许多场合，信号是不平稳的。如音乐信号，地震信号等天津市智能信号与图像处理重点实验室时频分析(3/24)天津市智能信号与图像处理重点实验室两个线性调频信号之和的时域与频域图22ysin[2(175)]sin[2(350175)]tt(0,1)t时频分析(4/24)天津市智能信号与图像处理重点实验室分析非平稳信号的理论(1)短时傅里叶变换（STFT）(2)Gabor变换(3)积分小波变换（IWT）时频分析(5/24)短时傅里叶变换（STFT）式中，是一个窗函数，其作用是取出在在某时刻附近的一小段信号进行傅里叶变换，当变化时，窗函数随移动，从而得到信号频谱随时间变化的规律。天津市智能信号与图像处理重点实验室(,)()()jwtfGwbftgtbedt()gt()ftbbb时频分析(6/24)天津市智能信号与图像处理重点实验室STFT变换时间-频率图时频分析(7/24)频率分辨率、取样周期T、加窗宽度N三者关系：可见：窗宽度↑→频率分辨率↑时间分辨率↓。窗口宽度↓→频率分辨率↓时间分辨率↑因而二者是矛盾的。天津市智能信号与图像处理重点实验室1fNTf时频分析(8/24)窗口宽度与短时傅里叶变换特性之间的关系用窄窗可得到好的时间分辨率用宽窗可以得到好的频率分辨率。但由于采用窗的目的是要限制分析的时间以使其中波形的特性没有显著变化，因而要折衷考虑。天津市智能信号与图像处理重点实验室时频分析(9/24)天津市智能信号与图像处理重点实验室123sin(2)(u(t)u(sin(2)(u(t-0.1)u(sin(2)(u(t-0.6)u(yftftft-t-1))+-t-0.4))-t-0.9))123400200100fHzfHzfHz信号模型时频分析(10/24)天津市智能信号与图像处理重点实验室不同窗口宽度对于STFT分析的影响时频分析(11/24)窗形状对短时傅立叶变换的影响－矩形窗——主瓣窄，衰减慢；（窗口每一点在计算中的贡献是等同的）－汉明窗——主瓣宽，衰减快；（突出窗口中的中间点在计算中的贡献）窗宽对短时频谱的影响－窗宽长——频率分辨率高，能看到频谱快变化；－窗宽短——频率分辨率低，看不到频谱的快变化；天津市智能信号与图像处理重点实验室时频分析(12/24)天津市智能信号与图像处理重点实验室不同窗函数对于STFT分析的影响时频分析(13/24)天津市智能信号与图像处理重点实验室不同窗口宽度及窗函数对于STFT分析的影响时频分析(14/24)天津市智能信号与图像处理重点实验室2021|()|||()||ttgtdtgt2021|()|ˆ||()||wwgwdwgw1/22021()|()|||()||wttgtdtgt1/22021()|()|||()||12wwˆ()[()]gwFgtHeisenberg测不准原则2002g()()t()(),()tLRgtLRgt如果并且为窗函窗口中心点定义为（t，,w数）窗口大小窗口中心时频分析(15/24)窗口面积必须大于一个常数窗口大小不受中心点位置的影响天津市智能信号与图像处理重点实验室Heisenberg测不准原则12wwHeisenberg测不准原则限制了窗函数不可能同时具有很高的时间分辨率和频率分辨率。常用的窗函数有矩形窗，Hamming窗，Gaussian窗和Blackman窗。由窗函数的选取可引入Gabor变换。时频分析(16/24)Gabor变换Heisenberg测不准原则也证明了只有当g(t)为Gaussian函数时，中“=”才成立，即具有最高的时频联合分辨率。Gabor变换是具有最小时间-频率窗的短时傅里叶变换。其窗函数是高斯函数，高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数。Gabor变换定义为:天津市智能信号与图像处理重点实验室(,)()()itRGfbegtbftdt241()(),(0)2taagtgteaa12ww时频分析(17/24)Gabor变换时间-频率图天津市智能信号与图像处理重点实验室时频分析(18/24)天津市智能信号与图像处理重点实验室不同窗口宽度对于Gabor分析的影响时频分析(19/24)Gabor的局限性STFT和Gabor一旦窗口的函数选定，则窗口的形状和大小保持不变。如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优，我们对时间分辨率和频率分辨率只能取一个折中，一个提高了，另一个就必然要降低，反之亦然。天津市智能信号与图像处理重点实验室时频分析(20/24)天津市智能信号与图像处理重点实验室12,()abtbtaa2ˆCd（）积分小波变换（IWT）母函数伸缩平移得,()abt()t时频分析(21/24)天津市智能信号与图像处理重点实验室12()(,)()(),tbWfabaftdtaa,bR,a0对L²(R)空间内任意函数f(t)的积分小波变换可定义为22()cos(5)ttCetMorlet小波时频分析(22/24)天津市智能信号与图像处理重点实验室tfa1a1a=1不同尺度小波函数的时频网格图a1，频率分辨率较高，时间分辨率较低，可以看见信号的细节IWT提供了一个可调的时间-频率窗a1，频率分辨率较低，时间分辨率较高，可以看见信号的轮廓时频分析(23/24)Gabor变换与小波变换分析的效果对比图天津市智能信号与图像处理重点实验室复变Morlet小波Fc=3Fb=3时频分析(24/24)STFT或Gabor变换，在利用长窗口时，频率分辨率较高，但时间分辨率低；利用短窗口是，时间分辨率高，但频率分辨率低。因此如何选用合理的窗口长度是应用的关键积分小波变换对非平稳信号，有很强的自适应能力，在高频段有较高的时间分辨率，在低频段有较高的频率分辨率天津市智能信号与图像处理重点实验室