光波场的复振幅描述

第1章现代光学的数学物理基础ScalarAngle-SpectrumTheoryofDiffraction光场随时间的变化关系:由频率n表征.单色光场中某点P(x,y,z)在时刻t的光振动可表为:u(P,t)=a(P)cos[2pnt-j(P)]振幅频率初位相可见光:n~1014Hz严格单色光:n为常数光场随空间的变化关系体现在:(1)空间各点的振幅可能不同(2)空间各点的初位相可能不同,由传播引起.光场变化的空间周期为l.光场变化的时间周期为1/n.由于u(P,t)必须满足波动方程，可以导出a(P)、n、j(P)必须满足的关系§1-1光波场的复振幅描述1、光振动的复振幅和亥姆霍兹方程§1-1光波场的复振幅描述光振动的复振幅表示光场随时间的变化e-j2pnt不重要:u(P,t)=a(P)cos[2pnt-j(P)]}=e{a(P)e-j[2pnt-j(P)]}n~1014Hz,无法探测n为常数,线性运算后亦不变对于携带信息的光波,感兴趣的是其空间变化部分.故引入复振幅U(P):为了导出a(P)、n、j(P)必须满足的关系，将光场用复数表示,以利于简化运算=e{a(P)ejj(P).e-j2pnt}复数表示有利于将时空变量分开U(P)=a(P)ejj(P)则u(P,t)=e{U(P)e-j2pnt}§1-1光波场的复振幅描述亥姆霍兹（Helmholtz)方程可导出复振幅满足的方程为：将U(P)exp(j2pnt)代入波动方程012222utvu0)(22Uk即亥姆霍兹（Helmholtz)方程-—不含时间的波动方程称为波数或传播常数，表示单位长度上产生的相位变化lp2k在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场。§1-1光波场的复振幅描述光振动的复振幅表示:说明•U(P)是空间点的复函数,描写光场的空间分布,与时间无关;U(P)=a(P)ejj(P)•U(P)同时表征了空间各点的振幅|U(P)|=|a(P)|和相对位相arg(U)=j(P)•方便运算,满足叠加原理•实际物理量是实量.要恢复为真实光振动:•光强分布:I=UU*光强是波印廷矢量的时间平均值,正比于电场振幅的平方u(P,t)=e{U(P)exp(-j2pnt)}即可§1-1光波场的复振幅描述2、球面波的复振幅表示点光源或会聚中心球面波:等相面为球面,且所有等相面有共同中心的波k=|k|=2p/l,为波数.表示由于波传播,在单位长度上引起的位相变化,也表明了光场变化的“空间频率”(P(x,y,z))0zyx源点S(rk设观察点P(x,y,z)与发散球面波中心的距离为r,k:传播矢量球面波的等位相面:kr=c为球面jkreraPU0)(则P点处的复振幅:j(P)=k.rk:传播矢量球面波:k//ra0:单位距离处的光振幅§1-1光波场的复振幅描述会聚球面波会聚球面波jkreraPU0)((P(x,y,z))会聚点S(r0zyxk§1-1光波场的复振幅描述球面波:空间分布距离r的表达若球面波中心在原点:222zyxr若球面波中心在S(x0,y0,z0):202020)()()(zzyyxxrjkreraPU0)(P点处的复振幅:取决于k与r是平行还是反平行光波场的复振幅描述球面波:在给定平面的分布以系统的光轴为z轴,光沿z轴正方向传播.所考察的平面垂直于z轴令点光源位于z=0的平面上坐标(x0,y0)处.考察与其距离为z的x-y平面上的光分布2/1220202/122020)()(1])()[(zyyxxzzyyxxr需要作近轴近似z光波场的复振幅描述球面波:近轴近似只考虑x-y平面上对源点S张角不大的范围,即1)()(22020zyyxxzyyxxzr2)()(2020可以作泰勒展开(1+D)1/21+D/2一级近似二级近似对振幅中r的可作一级近似.但因为k很大,对位相中的r须作二级近似§1-1光波场的复振幅描述二、球面波:近轴近似已将球面波中心取在z=0的平面,且光波沿z轴正方向传播.如果z0,上式代表从S发散的球面波.如果z0,上式代表向S会聚的球面波.20200)()(2exp)exp(),()(yyxxzkjjkzzayxUPU对给定平面是常量随x,y变化的二次位相因子球面波特征位相)(2exp)exp(),(220yxzkjjkzzayxU球面波中心在原点:Cyyxxx-y平面上等位相线方程为:光波场的复振幅描述3、平面波的复振幅表示等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量k.等相平面的法线方向k(kcosa,kcosb,kcosg)k的方向余弦均为常量光波场的复振幅描述3、平面波的复振幅表示等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量k.等相平面的法线方向k(kcosa,kcosb,kcosg)k的方向余弦,均为常量以k表示的等相平面方程为k.r=const.故平面波复振幅表达式为:)]coscoscos(exp[)exp(),,(gbazyxjkajazyxUrk线性位相因子常量振幅光波场的复振幅描述3、平面波:在给定平面的分布在x-y平面上的等位相线xcosa+ycosb=const为平行直线族)]coscos(exp[),(bayxjkAyxU在与原点相距为z的平面上考察平面波的复振幅:bag22coscos1cos)]coscos(exp[)coscos1exp(),,(22zyxjkjkzazyxUbaba随x,y线性变化的位相因子常数幅相因子,A光波场的复振幅描述4、平面波的空间频率在与原点相距为z的平面上考察平面波的位相分布.等位相线是平行直线族.为简单计,先看k在x-z平面内:cosb=0等位相面是平行于y轴的一系列平面,间隔为lz等位相面与x-z平面相交形成平行直线等位相面与x-y平面相交形成平行于y轴的直线)cosexp(),(ajkxAyxU复振幅分布:沿x方向的等相线间距:alapcoscos2kX光波场的复振幅描述四、平面波的空间频率)cosexp(),(ajkxAyxU复振幅分布:定义复振幅分布在x方向的空间频率:lacos1Xfx复振幅分布可改写为:)2exp(),(xfjAyxUxpY=∞,fy=0对于在x-z平面内传播的平面波,在y方向上有:光波场的复振幅描述平面波的空间频率:一般情形定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率平面波在x和y方向的空间频率分别为:lblacos1;cos1YfXfyxcosa,cosb为波矢的方向余弦若波矢在x-z平面或y-z平面中,ab又常用它们的余角qx(qy)表示,故:lqlqyyxxYfXfsin1;sin1)]coscos(exp[),(bayxjkAyxU引入空间频率概念后,单色平面波在xy平面的复振幅分布可以表示为)](2exp[),(yfxfjAyxUyxp光波场的复振幅描述平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念单位振幅的单色平面波,波矢量k与x轴夹角为30,与y轴夹角为60.(1)画出z=z1平面上间隔为2p的等相线族,并求出Tx、Ty、T和fx、fy和f。(2)画出y=y1平面上间隔为2p的等相线族,并求出Tx、Tz和fx、fz.练习1光波场的复振幅描述平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念如果平面波传播方向在xz平面(或yz平面),与z轴夹角为q,则此平面波复振幅沿x方向(或y方向)的空间频率为:lqsin光波场的复振幅描述平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念对于传播方向与z轴夹角为-30的情况,再解上题.练习3lqsin振幅为1,波长为l5nm的单色平面波,传播方向在xz平面内,并与z轴夹角为30.写出其复振幅表达式,并求出z=z1平面上复振幅在x方向和y方向的空间周期Tx和Ty,以及相应的空间频率fx和fy.练习2光波场的复振幅描述平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念空间频率的单位:cm-1,mm-1,周/mm,条数/mm等空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90在给定的座标系,任意单色平面波有一组对应的fx和fy,它仅决定于光波的波长和传播方向.反之,给定一组fx和fy,对于给定波长的单色平面波就能确定其传播方向cosa=l,fx,cosb=l,fy要与光的时间频率严格区分开空间比时间更具体,更直观,是有形的如果在xy平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期分布,则复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.二维F.T.在光学上的意义:yxyxyxdfdfyfxfjffGyxg)](2exp[)(),(,p光波场的复振幅描述平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为:三个空间频率不能相互独立：1222222zyxffflll因此lll)1(2222yxzfff)exp(),,()exp()](exp[),,(yxyxyxffzjyxUffzjyfxfjazyxUlllplllpp在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在z=0平面上的复振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决了最基础的平面波衍射问题作业P41:3