抽样定理

60191抽样定理空间-带宽积60192抽样定理的由来和意义实际的宏观物理过程都是连续变化的，物理量的空间分布也是连续变化的。在今天的数字时代，连续变化的物理量要用它的一些离散分布的采样值来表示，而且这些采样值的表达方式也是离散的这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量与原先的连续变化的物理量是否相同？是否可以由这些抽样值准确恢复一个连续的原函数？本书用的是惠特克—香农（Whittaker-Shannon）抽样定理的二维形式60193函数的抽样最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘如果被抽样的函数为，抽样函数可表示为梳状函数是函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布在平面上在，两方向上间距为和的函数与该函数的乘积任何函数与函数相乘的结果仍然是函数，只是函数的“大小”要被该函数在函数位置上的函数值所调制。换句话说，每个函数下的体积正比于该点函数的数值yxg,yxgs,yxgYycombXxcombyxgs,,yx,xyXY60194抽样函数60195抽样函数的频谱利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可计算抽样函数的频谱,,,,,,sxyxyxyxyxyxynmxynmxyGffFcombcombGffXYXYcombXfcombYfGffnmffGffXYnmGffXY60196抽样函数的原函数的复原图60197奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔假如函数是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上一个有限区域内不为零若包围该区域的最小矩形在和方向上的宽度分别为和欲使图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠，必须使或者说抽样间隔必须满足式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔),(yxgxfyfxByBx2BX1y2BY1x2BXy2BY60198原函数频谱的复原要原函数的复原首先要恢复其频谱在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度和,位于原点的矩形函数去乘抽样函数的频谱就可得到原来函数的频谱。在频率域进行的这种操作去掉了部分频谱成份，常常称作“滤波”用频域中宽度和的位于原点的矩形函数为滤波过程可写作xByBxByB,22yxxyxyffHffrectrectBB,,22yxsxyxyxyffGffrectrectGffBB60199原函数的复原(1)做反变换就可直接得到原函数根据卷积定理，在空间域得到对上式左边两个因子分别进行化简有结果得到无数函数与sinc函数的卷积和yxgyxhyxgs,,,mYynXxmYnXgXYyxgYycombXxcombyxgnms,,,,,4sinc2sinc222yxxyxyxyffhxyrectrectBBBxByBBF601910原函数的复原(2)最后卷积的结果,原函数为若取最大允许的抽样间隔，即，并且，则可见用sinc函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要满足必要的条件)g,4,sinc2sinc2xyxynmxyBBXYgnXmYBxnXBymYx2BXy2BY,,sinc2sinc22222xynmxyxynmnmgxygBxByBBBB601911抽样定理的意义抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知道的非抽样点函数值，在数学上就是插值公式抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。也就是说，由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信息——因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么讲也不过分601912抽样定理证明图解（1）601913抽样定理证明图解（2）601914抽样频率为奈奎斯特频率一半时坐标点值和斜率抽样：既要取其抽样点上的数值，由要取其导数值；交叉抽样：在抽样点左右取两个抽样值。601915空间带宽积若限带函数在频域中,以外恒为零，根据抽样定理，函数在空域中的范围内抽样数至少为式中表示函数在空域覆盖的面积,表示函数在频域中覆盖的面积。在该区域的函数可由数目为的抽样值来近似表示。问题：为什么是近似？抽样定理不是准确的吗？空间带宽积就定义为函数在空域和频域中所占有的面积之积：),(yxgxxBfyyBf22(4)(4)161(2)1(2)xyxyxyXYXYBBXYBBBBXYyxBByxBXYByxBXYBSWSW601916空间带宽积的意义空间带宽积描述空间信号（如图象，场分布）的信息量，也可用来描述成象系统、光信息处理系统的信息容量，即传递与处理信息的能力。空间带宽积决定了图象最低必须分辨的象素数，如数码相机的技术指标空间带宽积表达图象的自由度或自由参数数图象是实函数，每一个抽样值为一个实数，自由度为当图象是复函数，每一个抽样值为一个复数，要由两个实数表示。自由度增大一倍，yxBXYBSWNyxBXYBSWN601917抽样定理例题（1.7）若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”，系统对线脉冲的输出响应称为线响应。如果系统的传递函数为，求证：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿轴的截面分布。xyxf,xLyxffH,xf,xfH601918抽样定理例题（1）解证明：线脉冲实质上也是二维的函数，只是沿方向函数值不变，是常数1。系统对线脉冲的输出响应，即线响应也是二维的函数，可表示为线响应的一维傅里叶变换则为这就是系统传递函数沿轴的截面分布证毕。()δ()(,)()(,)(,0)yxyxLxxhxyfHffHfFFy1,xyxfxf,LxLxxhxy601919抽样定理例题（1）解续这里要注意的一点是这是二维傅里叶变换的特点，另一个变量是隐含着的。yxfF601920抽样定理例题（1.8）如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间，之外恒为零，系统输入为非限带函数，输出为。证明，存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函数，它作为等效输入，可产生相同的输出，并请确定。这一个习题也有重要的实际意义，因为通常的光学成象系统都是空间不变线性系统的限带低通成象系统。无论输入函数是否是空间限带函数，其输出总是限带函数。那么在对非限带函数的图象进行成象操作时，是否可以用原图象的抽样来替代就是一个具有实际意义的问题。抽样定理并没有给出回答，本题的结果却给出了肯定的答案，这使我们可以在输入图象是非限带函数空间图象时，也可以进行抽样操作，不影响成象的结果。xxBfyyBfyxg,yxg,'yxg,'yxg,'yxg,'601921抽样定理例题（1.8）解法一本题给出了一个传递函数为限带函数的系统，需要证明两个不同的输入和具有相等的输出和，即要证明这里提供一种逆向的思维，我们可以从与输入函数对应的输出函数的频谱中制造出一个具有相同输出频谱的输入限带函数，这并不困难，进一步再对这样一个函数进行抽样就一定能够得到需要的等效输入。yxffH,yxU,0yxU,0yxUi,yxUi,yxUyxUi,,0601922抽样定理例题（1.8）解设系统的传递函数为，因为它在频率域的区间，之外恒为零，故有输入函数的空间频谱为，输出函数的空间频谱则可化为新的函数的空间频谱可以定义为yxffH,xxBfyyBfyyxxyxyxBfBfffHffH2rect2rect,,yxffA,0yyxxyxyyxxyxyyxxyxyxyxyxyxiBfBfffHBfBfffABfBfffHffAffHffAffA2rect2rect,2rect2rect,2rect2rect,,,,,000yyxxyxyxBfBfffAffA2rect2rect,,00601923抽样定理例题（1.8）解续1新的函数显然是限带输入函数，且它通过同样系统会得到同样的输出，这样一个限带输入函数是可以满足抽样定理的，因此可以抽样得到需要的可作为等效输入的由脉冲的方形阵列构成的抽样函数但是上面只得出了其频谱，我们可以用反变换的方法得到原函数ddyBxBBBUyBxBBByxUBfBfFffAFffAFyxUyxyxyxyxyyxxyxyx2sinc2sinc4*,2sinc2sinc4*,2rect2rect*,,,00101010601924抽样定理例题（1.8）解续2对上式用二维梳状函数进行抽样就得到本题要求的点阵等效输入函数：yxmnyxymnxyxyxBnyBnxddBmBnUBnyBnxBByxUyBxByxUyxU2,22sinc2sinc,2241,2comb2comb,,0000601925习题教科书P22习题1.5，1.6601926课堂习题线性系统有哪些特点？其输入和输出的关系如何？如何理解抽样定理？