一种新型滑模控制双幂次趋近律-张合新

第28卷第2期Vol.28No.2控制与决策ControlandDecision2013年2月Feb.2013一种新型滑模控制双幂次趋近律文章编号:1001-0920(2013)02-0289-05张合新,范金锁,孟飞,黄金峰(第二炮兵工程大学301室，西安710025)摘要:针对滑模控制中传统趋近律存在收敛速度慢、时间长和抖振严重等不足,提出一种利用双幂次趋近律提高系统状态收敛速度的设计方案.该双幂次趋近律无论在远离滑动模态还是在接近滑动模态的空间内均具有快速收敛能力.理论分析表明,该双幂次趋近律具有二阶滑模特性,当系统存在不确定性时,系统状态及其导数可以快速收敛到平衡零点的邻域内.仿真结果表明,双幂次趋近律与传统幂次趋近律、指数趋近律、快速幂次趋近律相比,具有更快的收敛速度和更好的运动品质.关键词:滑模控制；双幂次趋近律；二阶滑模；指数趋近律；快速幂次趋近律中图分类号:TP113文献标志码:AAnewdoublepowerreachinglawforslidingmodecontrolZHANGHe-xin,FANJin-suo,MENGFei,HUANGJin-feng(The301Section，TheSecondArtilleryEngineeringUniversity，Xi’an710025，China．Correspondent：ZHANGHe-xin，E-mail：[e-mail])Abstract：：：Adoublepowerreachinglawisproposedwhichcansolvetheproblemsinthetraditionalreachinglawoftheslidingmodecontrolsuchaslowconvergencespeed,longconvergencetimeandseverechattering.Thedoublepowerreachinglawproposedwhichcanreducechatteringhasafastspeedeitherawayfromorapproachtotheslidingsurface.Itisindicatedthroughtheoreticalanalysisthatthereachinglawhasthecharacteristicofsecond-orderslidingmode,andthesystemstateanditsderivativecanconvergetoaneighborhoodoftheoriginquickly.Simulationresultsshowthatthereachinglawproposedisfasterthanotherreachinglawssuchasthetraditionalpowerreachinglaw,theexponentialreachinglawandthefastpowerreachinglaw.Italsoshowsabettermovementqualityoftheproposedreachinglaw.Keywords：：：slidingmodecontrol；doublepowerreachinglaw；second-orderslidingmode；exponentialreachinglaw；fastpowerreachinglaw0引引引言言言滑模控制能够实现系统解耦控制,并对匹配不确定性具有不变性,但是传统的滑模控制方法抖振严重.现阶段解决此不足的主要手段有高阶滑模控制[1-2]和非奇异终端滑模控制[3-4].高阶滑模控制尽管去除抖振效果显著,但往往不适用于一阶系统;非奇异终端滑模控制能够有效去除系统控制量的抖振,而且能够在有限时间内使系统状态收敛于平衡点,但如果考虑趋近滑动模态的能力,即便快速终端滑模控制在靠近滑动模态的空间位置时,其趋近速度相对于指数趋近率也非常慢,所以非奇异终端滑模的无抖振是以控制性能的降低为代价的.滑模控制系统具有其优越鲁棒性的前提条件是系统状态运动在滑动模态上,而在趋近阶段滑模控制系统仍对参数不确定性和外扰敏感,因此如何最小化趋近阶段并在此过程中去除抖振仍是现今研究的热点之一.高为炳教授提出采用等速趋近律、指数趋近律和幂次趋近律等实用的滑模趋近律来消除系统抖振并保证滑动模态的实现[5],通过选取适当参数保证系统在趋近运动阶段的运动特性,保证了滑动模态的实现.然而,等速趋近律趋近速度很慢,而且趋近速度单一;指数趋近律是在等速趋近律基础上增加一指数项,虽然趋近速度快,但在接近滑动模态时系统抖振较大;幂次趋近律采用幂次项技术使得系统接近滑动模态时趋近速度放缓,有利于削弱抖振,不足之处是在状态远离滑动模态的趋近阶段存在速度过小,运动时间过长的问题.文献[6]利用传统幂次趋近律与指数趋近律的线性组合提出一种快速幂次趋近律,解收稿日期:2011-08-10；修回日期:2012-03-29.作者简介:张合新(1965−),男,教授,博士生导师,从事飞行器制导与控制等研究；范金锁(1982−),男,博士生,从事滑模控制系统的研究.290控制与决策第28卷决了传统幂次趋近律存在的问题.李鹏等[7]对此趋近律进行了细致分析并得出其具有二阶滑模特性.文献[8]提出了一种双幂次趋近律用以实现机器人控制中状态快速收敛问题,但没有解决受扰时控制作用抖振问题,而且对该趋近律的特性缺乏定性分析.本文在以上文献的基础上对双幂次趋近律特性进行分析并提出解决系统有界不确定扰动影响的方案.理论分析表明:该趋近律不仅可以有效地去除抖振,而且无论在远离还是接近滑动模态时均具有很快的趋近速度;在有限的收敛时间后具有二阶滑模特性,即𝜎=˙𝜎=0;当存在有界外扰时,𝜎和˙𝜎分别收敛于平衡零点的有界邻域内.仿真算例结果表明,双幂次趋近律较之传统幂次趋近律、指数趋近律、快速幂次趋近律,均具有更快的趋近速度和更好的运动品质.1双双双幂幂幂次次次趋趋趋近近近律律律及及及其其其特特特性性性分分分析析析基于以上分析,双幂次趋近律如下[8]:˙𝜎=−𝑘1∣𝜎∣𝛼sgn(𝜎)−𝑘2∣𝜎∣𝛽sgn(𝜎).(1)其中:𝛼1,0𝛽1,𝑘10,𝑘20.当系统状态远离滑动模态(∣𝜎∣1)时,式(1)中第1项起主导作用;当系统状态接近滑动模态(∣𝜎∣1)时,第2项起主导作用,两项结合可以保证系统状态在趋近滑动模态过程中的运动品质.1.1双双双幂幂幂次次次趋趋趋近近近律律律的的的二二二阶阶阶滑滑滑模模模特特特性性性分分分析析析定定定理理理1对于系统(1),状态𝜎及˙𝜎在有限时间内收敛于平衡零点,即在有限收敛时间后有𝜎=˙𝜎=0.证证证明明明根据滑模可达性,结合式(1)及条件𝛼1,0𝛽1,𝑘10,𝑘20,有𝜎˙𝜎=𝜎[−𝑘1∣𝜎∣𝛼sgn(𝜎)−𝑘2∣𝜎∣𝛽sgn(𝜎)]=−𝑘1∣𝜎∣1+𝛼−𝑘2∣𝜎∣1+𝛽0,(2)因此滑动模态可在有限时间内到达平衡零点.下面假设系统初始状态𝜎(0)1,分2个阶段进行有限时间𝑡的计算.1)𝜎(0)→𝜎=1.此时,因为𝛼1,0𝛽1,所以式(1)中第1项起主导作用,远大于第2项的作用,从而可以忽略第2项的影响.由式(1)可得˙𝜎=−𝑘1∣𝜎∣𝛼sgn(𝜎).(3)对式(3)两边积分,可得𝜎1−𝛼=−(1−𝛼)𝑘1𝑡+𝜎(0)1−𝛼.(4)由此可计算得到𝜎(0)→𝜎=1所需时间为𝑡1=1−𝜎(0)1−𝛼𝑘1(𝛼−1).(5)2)𝜎=1→𝜎=0.同样,因为𝛼1,0𝛽1,所以式(1)中第2项起主导作用,远大于第1项的作用,从而可以忽略第1项的影响.由式(1)可得˙𝜎=−𝑘2∣𝜎∣𝛽sgn(𝜎).(6)对式(6)两边积分,可得𝜎1−𝛽=−(1−𝛽)𝑘2𝑡+1.(7)由此可计算得到𝜎=1→𝜎=0所需时间为𝑡2=1𝑘2(1−𝛽).(8)因此收敛时间为两个趋近阶段各收敛时间的总和,即𝑡=𝑡1+𝑡2=1−𝜎(0)1−𝛼𝑘1(𝛼−1)+1𝑘2(1−𝛽).(9)当𝜎(0)−1时,同样可以分2个阶段进行收敛时间的研究.此时,系统状态收敛时间为𝑡=𝑡1+𝑡2=1+𝜎(0)1−𝛼𝑘1(𝛼−1)+1𝑘2(1−𝛽).(10)进一步,由式(1)可知,当𝜎=0时˙𝜎=0.2注注注1显然收敛时间𝑡是系统初始状态的连续函数;因为在求取收敛时间时忽略了次要因素,所以实际收敛时间小于式(9)和(10).注注注2当𝜎=0时˙𝜎=0,因此当状态达到滑动模态时速度减小为零,与滑动模态实现了光滑过度,大大削弱了系统抖振.适当增大参数𝑘1和𝛼可以加快远离滑动模态时的趋近速度.同理,适当增大参数𝑘2和𝛽可以加快接近滑动模态时的趋近速度.1.2双双双幂幂幂次次次趋趋趋近近近律律律的的的干干干扰扰扰稳稳稳态态态界界界分分分析析析当系统存在不确定性有界外扰时,状态𝜎和˙𝜎不能保证在有限时间内收敛到(0,0),而仅能收敛到(0,0)的一个邻域内.为便于分析,首先引入以下引理[9].引引引理理理1令𝑥∈𝐷⊂𝑅𝑛,˙𝑥=𝑓(𝑥),𝑓:𝑅𝑛→𝑅𝑛为定义在平衡零点邻域𝐷内的连续函数.假设存在连续函数𝑉:𝐷→𝑅满足以下条件:1)𝑉正定;2)˙𝑉除平衡零点外负定;3)存在实数𝑘0,𝛼0和一邻域𝑁⊂𝐷使得˙𝑉+𝑘𝑉𝛼⩽0.则函数˙𝑥=𝑓(𝑥)关于平衡零点有限时间收敛.根据引理1,考虑系统(1)存在不确定性外扰时状态的收敛特性,可得如下定理.定定定理理理2考虑存在不确定性的系统˙𝜎=−𝑘1∣𝜎∣𝛼sgn(𝜎)−𝑘2∣𝜎∣𝛽sgn(𝜎)+𝑑(𝑡),(11)假设∣𝑑(𝑡)∣⩽𝛿,𝛿0为正常数,则系统(11)的状态𝜎和˙𝜎在有限时间内收敛到以下区域:∣𝜎∣⩽min((𝛿𝑘1)1/𝛼,(𝛿𝑘2)1/𝛽),(12)∣˙𝜎∣⩽min(𝛿,𝑘1(𝛿𝑘2)𝛼/𝛽)+min(𝑘2(𝛿𝑘1)𝛽/𝛼,𝛿)+𝛿.(13)证证证明明明选取Lyapunov函数𝑉=0.5𝜎2.(14)式(14)两端对时间求导数并将式(11)代入,得第2期张合新等:一种新型滑模控制双幂次趋近律291˙𝑉=𝜎˙𝜎=𝜎[−𝑘1∣𝜎∣𝛼sgn(𝜎)−𝑘2∣𝜎∣𝛽sgn(𝜎)+𝑑(𝑡)]=−𝑘1∣𝜎∣1+𝛼−𝑘2∣𝜎∣1+𝛽+𝜎𝑑(𝑡)⩽−𝑘1∣𝜎∣1+𝛼−𝑘2∣𝜎∣1+𝛽+∣𝜎∣∣𝑑(𝑡)∣.(15)式(15)经过变形可得˙𝑉⩽−𝑘1∣𝜎∣1+𝛼−𝑘2∣𝜎∣1+𝛽+∣𝜎∣∣𝑑(𝑡)∣=−𝑘1∣𝜎∣1+𝛼−∣𝜎∣(𝑘2∣𝜎∣𝛽−∣𝑑(𝑡)∣).(16)如果满足𝑘2∣𝜎∣𝛽−𝛿⩾0,则˙𝑉⩽−𝑘1∣𝜎∣1+𝛼=−𝑘1𝑉(1+𝛼)/2.(17)由引理1可知,系统关于平衡零点有限时间收敛,因此区域∣𝜎∣⩽(𝛿𝑘2)1/𝛽(18)能够保证有限时间的收敛性.式(15)亦可变形为˙𝑉⩽−𝑘2∣𝜎∣1+𝛽−𝑘1∣𝜎∣1+𝛼+∣𝜎∣∣𝑑(𝑡)∣=−𝑘2∣𝜎∣1+𝛽−∣𝜎∣(𝑘1∣𝜎∣𝛼−∣𝑑(𝑡)∣).(19)如果满足𝑘1∣𝜎∣𝛼−𝛿⩾0,则˙𝑉⩽−𝑘2∣𝜎∣1+𝛽=−𝑘2𝑉(1+𝛽)/2.(20)由引理1可知,系统关于平衡零点有限时间收敛,因此区域∣𝜎∣⩽(𝛿𝑘1)1/𝛼(21)同样能够保证有限时间的收敛性.综合式(18)和(21)可得𝜎在有限时间内收敛到区域∣𝜎∣⩽min((𝛿𝑘1)1/𝛼,(𝛿𝑘2)1/𝛽).(22)将上式代入式(11),可得∣˙𝜎∣