高三文科数学一轮复习平面向量.ppt

考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练第3讲平面向量的数量积考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练【2013年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模．3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．【复习指导】本节复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，把握数量积的特征和作用，学会应用．重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b；当θ＝180°时，a与b；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作.同向反向a⊥b(2)规定：零向量可与任一向量垂直．考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的数量积．|a||b|cosθ|a||b|cosθ考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练4．向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝；(2)a⊥b⇔；(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝a·a；(4)cosθ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|≤|a||b|.|a|cosθa·b＝0－|a||b|考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝x21＋y21；(3)cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22；(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)AB→＝a，则|a|＝x1－x22＋y1－y22(平面内两点间的距离公式)．8．直线l的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的向量m称为直线l的方向向量．考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练一个条件两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.两个探究(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练三个防范(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB→与BC→的夹角应为120°，而不是60°.考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为()．A.π3B.π4C.2π3D.3π4解析设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.答案C考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()．A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)·c＝a·(b·c)答案D考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练3．已知m∈R，a＝(m,1)，若|a|＝2，则m为()．A．1B.3C．±1D．±3解析由|a|＝m2＋1＝2，得m＝±3.答案D考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()．A．9B．4C．0D．－4解析a－b＝(1－x,4)．由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0.∴x＝9.答案A考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练5．已知直线l1：3x＋4y－12＝0和l2：7x－y－28＝0，则直线l1与l2的夹角为________．答案45°考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练考向一求两平面向量的数量积【例1】►(2011·合肥模拟)在△ABC中，M是BC的中点，|AM→|＝1，AP→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)＝________.[审题视点]由M是BC的中点，得PB→＋PC→＝2PM→.考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练解析如图，因为M是BC的中点，所以PB→＋PC→＝2PM→，又AP→＝2PM→，|AM→|＝1，所以PA→·(PB→＋PC→)＝PA→·2PM→＝－4|PM→|2＝－49|AM→|2＝－49，故填－49.答案－49考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识．考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练【训练1】如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA→·AB→＝________.解析AB→＝AO→＋OB→，故CA→·AB→＝CA→·(AO→＋OB→)＝CA→·AO→＋CA→·OB→.而AO→＝－12CA→，CA→⊥OB→.所以CA→·AB→＝－12CA2＝－8.答案－8考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练考向二利用平面向量数量积求夹角与模【例2】►已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.[审题视点]由平面向量数量积的运算法则得a·b的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练解(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61，解得a·b＝－6.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，∴|a＋b|＝13.|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝37.∴|a－b|＝37.考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a要引起足够重视，是求距离常用的公式．考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练【训练2】已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．解设a与a＋b的夹角为θ，由|a|＝|b|得|a|2＝|b|2.又由|b|2＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2.∴a·b＝12|a|2，而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，∴|a＋b|＝3|a|.∴cosθ＝a·a＋b|a||a＋b|＝|a|2＋12|a|2|a|·3|a|＝32.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，即a与a＋b的夹角为30°.考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练考向三平面向量的数量积与垂直问题【例3】►已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.[审题视点]利用a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0及a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，求解．考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练解(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理，得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝－22＋02＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝22＋－42＝25.综上，可知|a－b|＝2或25.考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练【训练3】已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，OA→＝(－2，m)，OB→＝(n,1)，OC→＝(5，－1)，且OA→⊥OB→，求实数m，n的值．考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练解由于A，B，C三点在同一条直线上，则AC→∥AB→，AC→＝OC→－OA→＝(7，－1－m)，AB→＝OB→－OA→＝(n＋2,1－m)，∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0，即mn＋n－5m＋9＝0，①又∵OA→⊥OB→，∴－2n＋m＝0.②联立①②，解得m＝6，n＝3或m＝3，n＝32.考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练规范解答9——如何解决平面向量与解三角形的综合问题【问题研究】平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向量描述．它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．考查的要求并不高，解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题．【解决方案】解决这类问题时，首先要考虑向量工具性的作用，如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题，然后注意三角形中边角的向量关系式的表达形式，最后用三角知识规范解答．考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练【示例】►(本题满分12分)(2010·安徽)△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝1213.(1)求AB→·AC→；(2)若c－b＝1，求a的值．先求sinA，再利用面积公式求bc，最后利用数量积及余弦定理可解决．考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练[解答示范]由cosA＝1213，得sinA＝1－12132＝513.(2分)又12bcsinA＝30，∴bc＝156.(4分)(1)AB→·AC→＝bccosA＝156×1213＝144(8分)(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×1－1213＝25.∴a＝5.(12分)考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用．考基自主导学考向探究导析考题专项突破活页限时训练【试一试】已知△ABC的面积S满足3≤S≤3，且AB→·BC→＝6，设AB→与BC→的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝sin2θ＋2sinθ·cosθ＋3cos2θ的最小值．考基自主导