作业题解

第一章作业题重点和难点与提示作业题祥解解题与解答不同问题很多，没有逐个批改；要求根据详细的讲解，自己或互相批改！并建议问题较多的同学自己重做一编比较普遍的问题1.一些同学没有交作业2.不少同学虽交了作业，但是只做了部分题或一个题的部分内容3.第一题问题较多，多缺图！题错4.题1-8选做，但做的很少相位谱问题■三角函数形式的相位谱，与复指数形式的相位谱是否相同？复指数形式Cn的表达式有关■不同教科书或教学参考上的：三角函数展开式不同；合成式也不同！本课程以教材为准■相位(谱)与展开式直接相关各种教材上表述比较乱■现在求解的作业题，一般都是特殊的，即an、bn其中之一为0或部分为0。建议从展开式与合成式的对比上求(最小)相位!1-1对1-1题的修改：求周期方波（教材表1-1中第二行的对称方波）的傅立叶级数（三角函数形式和复指数函数形式两种），并画出相应的幅频谱和相频谱。A−A−T0/4T0/4......tx(t)000000()()44344xtnTTTxtAtTTAt0000000()24()4442xtnTTTAtxtTTAtTTAt或者表示为对称区间：（1）三角函数形式此方波为偶函数，且上下对称，所以00,0nab0000000000000020024400002420044420000024400000022()cos22()cos()cos2()cos2sinsinsin24sin2sin()(4TTnTTTTTTTTTTTTaxtntdtTxtntdtxtntdtTTxtntdtTAntntntnTnTAnTnT002sin)4si022nnnTAn000000411()coscos3cos535411sin()sin(3)sin(5)23252AxttttAttt1,5,9,13,,(41)23,7,11,15,,(43)2nnknk相位可以依据公式：要特别注意的正负和0值0,nabtannnnab0An/(4A/π)ω/ω0135791111/31/51/71/91/11...0-π/2ω/ω0...φ(ω)1π/2593711表达方波间时移关系的相频谱nπ/2实际上是移动后前后的相位差，概念上与初相位不同！ω/ω0...φ(ω)1593711011π/2一些习题的相频谱也可以从展开式进行适当的（三角函数）变换得到！（2）复指数函数形式根据三角函数形式的系数计算结果1()sin221222(cossin)nnnnjnnjncajbAAcanjene01,5,9,3,7,11,nnntannjnnRnInnInnRccjccecc根据n的不同，等于正1或负1；n为偶数时为0sin2n00sin()221jntnnjntnxtceAnne双边谱图：（复指数函数频谱图）幅频谱只是单边谱的一半！偶对称相位谱奇对称222211222nnRnInnnAcccabAn0An/(4A/π)ω/ω013579111/21/61/101/141/181/22......-11-9-7-5-3-10ω/ω0...φ(ω)1357911...-11-9-7-5-3-1-ππ愿意钻研的同学参考：（1）王林平，李江，冷慧文.矩形窗函数相频谱的一致性探讨.电气电子教学学报,2010.12,32(6)（2）王林平，刘巍，刘桂涛.信号分析教材中相频谱内容的改进建议.电气电子教学学报，2011.8,33(4)1-20000020000000000000200()sin111()sin2sin22cos(cos1)222(2)TTTxTxtxtxtdtxtdtxtdtTTTxxTtTxT确定性信号，周期函数的强度计算00000222000000000000000000000011()sin11sin2(1cos2)222sin21sin21()22221sin(22)()222TTrmsTTTxxtdtxtdtTTtxtdtxtTTTtxtxTTTxxTT注意：严格讲，上面两个式子中，结果中的都应该加绝对值！0x1-3单边指数信号：后面习题可利用其结论0x(t)tA(0)()00)atAetxtt（220(2)(2)00(2)()()(2)(lim1)(2)2jftatjftajftajftajfttXfxtedtAeedtAAedteajfAeajfAajf222(),()()(2)AfXffarctgaaf0|X(f)|fA/a0φ(f)fπ/2-π/2单边指数衰减函数及其频谱22)2(1)(fafAaff2arctan)(1-4单位阶跃信号符号函数求符号函数和单位阶跃函数的频谱解法不惟一；但是要设辅助函数，借用极限概念。要明白为什么不能直接进行傅立叶积分？a.符号函数10sgn()0=010ttttaat-t0a0f()0a0ettet1-4符号函数可以看作是双边指数衰减函数当a→0时的极限形式，即：a0a020220220limf()sgn()limF()SGN()()(1SGN()l)im()j11224(2)jftatjftatjfatttffFfftedteedteedtajfajfjfafjfFfffb.单位阶跃函数构建辅助函数：单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数a→0时的极限形式。0,0)(lim212110,0)(lim21210)(00taetaetxataatafjffX2)(21)(0,0)(lim100)(0taettxatafjefjadteedtetxfXtfjaaftjataftj221limlim)()(0)2(00202错误的辅助函数：未考虑间断点：还可以利用符号函数的计算结果，或者说是另一种辅助函数辅助函数，但无须取极限：101u()0200tttt11U1u()[1sgn(()[()]j)]22fttff|F()|-aa(b)Sgn(t)10t-1(a)符号函数频谱单位阶跃函数频谱1211()1Im(())tan()Re(())00002()02XfjjffXfffXffffff就是1-3的相频谱渐近线遗留问题：相频谱在0点的连续性、取值问题？是否因求其变换前构造的辅助函数没有考虑零点？11U()[()]2jfff考虑到单位脉冲函数的定义--非值域描述，先求出f=0时的相位，再求其余部分相位。这样，实部与虚部就分开了。1Im(())tan()Re(())()00XfffXfff0011limlim()0fffff0011limlim()0fffff单位阶跃函数的相频谱？尤其是在0频率点？---参考上课进度纪要1-6两种不同解法（1）.直接根据公式求积分：注意：x(t)定义域，t=0时2200(2)00()()sinsinjftatjftajftXfxtedtetedtetdt000sin()2jtjtjtee根据欧拉公式：00(2)(2)0002200()211222(2)ajfjtajfjtjXfeedtjjfjfajajajf注意：利用了1-3题的计算结果：(0)()00)atAetxtt（()2aAXfjf（2）利用傅立叶变换性质：令（1-3题计算结果的再次借用）则由ag()(t0,a0)tte1G()aj2ff00jt-jt01sint()2jee由傅立叶变换的频移特性，则:000002201X()[G(2)G(2)]2jj11[]2aj(2)aj(2)(a2)ffffff00a0jt-jta()sin(t0,a0)1()2jttxteteee1-7本题是为教材第四章和第五章内容奠定理论基础可以用公式进行推导说明，也可以用频谱有关的图形进行分析说明。考察频谱知识的灵活使用！希望在后续章节学习时联系此题进行分析。也是两种解法：000000220222(2)(2)()()()cos1()()21()()21()()212jftjftjtjtjftjtjtjftjftjfttjfttXfxtedtfttedtfteeedtfteedtfteedtftedtftedt0000(2)(2)1()()2FfFfFF（1）直接应用积分公式法依据公式推导结果画图分析即可！（2）应用余弦函数的傅立叶变换结果；单位脉冲函数的性质（与其它函数进行卷积）；傅立叶变换的卷积定理依据分析过程画图即可！00001coscos2()()2tftffff本题求解的傅立叶变换，实际上是与两个单位脉冲函数进行卷积，而利用单位脉冲函数的卷积特性，直接可以得出结论。001X()[F()F(+)]2出现什么情况：后面章节有关内容时，信号混叠---频域，不能完全解调0m图（略）附加说明：随机相位正弦波：0(t)sin(t)xx相位作均匀分布：102P()20otherwise1-8选作题-考研究生的同学最好做解（1）:为的反函数，g()x'p()p()p[g()]g()xxxx1'022001g()sint,g()xxxxxx但主值[,]22则变1p()22为，所以，验证：2201p()=xxx022001p()dx=dx=arcsin1[()]122[]xxxxx均值0x均方值2202xx（2）另外一种解法分析：是各态历经的平稳随机过程，取一样本函数！当然可以对此函数按确定性信号：正弦信号根据书中公式直接计算解答：002220001()sin()(arcsin)11111()xxtxttxdtdxxxxxx正弦函数的特点：一个周期内，幅值落在x和x+∆x范围内的概率，所占的时间段有2段！n个周期内，则有2n段；取样长度T趋于无穷大，即n趋于无穷大；由于是确定性信号，一个周期内的情况完全代表了T趋于无穷大的情况！两种解法之一:n个周期内，220122(;)xTndtndxxxxdxtdt概率密度函数：001222200000[()]1()limlim1111lim2lim2mixxiTxxTTPxxtxxpxtxTxnxnTxnTxxxx