2012新课标同步导学(数学人教A)必修5课件2-3第1课时等差数列的前n项和

•2.2.3等差数列的前n项和•第1课时等差数列的前n项和•1.体会等差数列前n项和公式的推导过程．•2.掌握等差数列前n项和公式并应用公式解决实际问题．•3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个求另外的两个.•1.对等差数列前n项和公式的考查是本课的热点．•2.本课内容常与方程，函数，不等式结合命题．•3.多以选择题和解答题的形式考查.•1．上一节刚学过等差数列，即满足的数列就是等差数列．•2．等差数列的通项公式是，其中d是等差数列的．•3．等差数列有一个性质，对于m，n，q，p∈N*，若m＋n＝p＋q，则.an＋1－an＝dan＝a1＋(n－1)d公差am＋an＝ap＋aq•4．某仓库堆放的一堆钢管(如图)，•最上面的一层有4根钢管，下面的每一层•都比上一层多一根，最下面的一层有9根，•怎样计算这堆钢管的总数呢？•假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．这样，每层的钢管数都等于4＋9，共有6层．从而原来一堆钢管的总数为6×4＋92＝39.一般地，如何求等差数列{an}的前n项和Sn?•1．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋an2na1＋nn－12d•2.等差数列前n项和的最值•(1)若a10，d0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最值；•(2)若a10，d0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最值．•特别地，若a10，d0，则是{Sn}的最值；若a10，d0，则是{Sn}的最值．负数小正数大a1小大a1•1．等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于()•A．5或7B．3或5•C．7或－1D．3或－1解析：Sn＝na1＋112＝35.∴na1＋11n＝70，①an＝a1＋(n－1)×2＝11.∴a1＋2n＝13.②由①②得a1＝3或a1＝－1.故选D.答案：D•2．已知等差数列{an}，a1＝50，d＝－2，Sn＝0，则n等于()•A．51B．50•C．49D．48解析：由Sn＝na1＋nn－12d得n×50＋n×n－12×(－2)＝0即n2－51n＝0∴n＝0(舍去)或n＝51.故选A.答案：A•3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19的值为________．•答案：95解析：a3＋a17＝a1＋a19＝10S19＝19a1＋a192＝19×102＝95.•4．已知{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9.求此数列前6项的和．解析：a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3.又∵a6＝9，a3＝3，∴d＝2，a1＝－1.∴S6＝6×(－1)＋6×6－12×2＝24.•已知数列{an}是等差数列，•(1)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求公差d；•(2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；•(3)若S10＝310，S20＝1220，求Sn.由题目可获取以下主要信息：由Sn＝na1＋an2，an＝a1＋(n－1)d，联立列方程组．解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利用等差数列的性质解题．[解题过程](1)∵an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋nn－12d，又a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，∴1＋n－1d＝－512，n＋12nn－1d＝－1022.解得n＝4，d＝－171.(2)方法一：由已知可得a1＋d＋a1＋4d＝19，5a1＋5×42d＝40.解得a1＝2，d＝3.所以a10＝a1＋9d＝29.方法二：由S5＝5a3＝40，得a3＝8.所以a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得d＝3.所以a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29.(3)方法一：由已知：S10＝310，S20＝1220，∴10a1＋45d＝310，20a1＋190d＝1220，解得a1＝4，d＝6.∴Sn＝4n＋nn－12·6＝3n2＋n.•[题后感悟]a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．方法二：由数列{an}为等差数列，可设Sn＝An2＋Bn.由S10＝310，S20＝1220，得100A＋10B＝310，400A＋20B＝1220，解得A＝3，B＝1.∴Sn＝3n2＋n.•1.在等差数列{an}中，•(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8.•(2)已知a2＋a4＝，求S5；•(3)已知a10＝12，a20＝32，Sn＝120，求an和n的值．解析：(1)方法一：∵a6＝10，S5＝5，∴a1＋5d＝10，5a1＋10d＝5，解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.方法二：∵S6＝S5＋a6＝15，∴15＝6a1＋a62，即3(a1＋10)＝15.∴a1＝－5，d＝a6－a15＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.(2)方法一：a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝485，所以a1＋2d＝245.所以S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d＝5(a1＋2d)＝5×245＝24.方法二：a2＋a4＝a1＋a5，所以a1＋a5＝485.所以S5＝5×a1＋a52＝52×485＝24.(3)根据an＝a1＋(n－1)d，由已知a10＝12，a20＝32，得a1＋9d＝12，a1＋19d＝32，解得a1＝－6，d＝2.∴数列{an}的通项公式是an＝－6＋(n－1)·2，即an＝2n－8.由Sn＝na1＋12n(n－1)d，得－6n＋12n(n－1)·2＝120，即n2－7n－120＝0.解得n＝15或n＝－8(舍)，即n＝15.•在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．•由题目可获取以下主要信息：•①{an}为等差数列．②a1＝25，S17＝S9.•解答本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使an≥0，an＋10或利用性质求出大于或等于零的项．[解题过程]方法一：由S17＝S9，得25×17＋172(17－1)d＝25×9＋92(9－1)d，解得d＝－2，∴Sn＝25n＋n2(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，由二次函数性质得当n＝13时，Sn有最大值169.方法二：先求出d＝－2(同方法一)，∵a1＝250，由an＝25－2n－1≥0an＋1＝25－2n0，得n≤1312n1212.∴当n＝13时，Sn有最大值169.•方法三：先求出d＝－2(同方法一)，•由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，•而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14,•故a13＋a14＝0.•∵d＝－20，a10.•∴a130，a140，•故n＝13时，Sn有最大值169.方法四：先求出d＝－2(同方法一)得Sn的图象如图所示，由S17＝S9知图象对称轴n＝9＋172＝13，∴当n＝13时，取得最大值169.[题后感悟]求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法：(1)由二次函数的最值特征得解．Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n＝d2n＋a1－d2d2－a1－d222d＝d2n－12－a1d2－d212－a1d2.由二次函数的最大值、最小值知识及n∈N*知，当n取最接近12－a1d的正整数时，Sn取到最大值(或最小值)，值得注意的是最接近12－a1d的正整数有时1个，有时2个．(2)根据项的正负来定．若a10，d0，则数列的所有正数项之和最大；若a10，d0，则数列的所有负数项之和最小．,•2.已知等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，•(1)求公差d的值；•(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值．解析：(1)由11a5＝5a8－13得11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－13∵a1＝－3，∴d＝59.(2)an＝a1＋(n－1)d＝－3＋(n－1)×59令an≤0得n≤325∴a1a2…a60a7….∴Sn的最小值为S6＝6a1＋6×52d＝6×(－3)＋15×59＝－293.•在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．由题目可获取以下主要信息：①数列{an}为等差数列；②a1＝－60，a17＝－12，可求得公差d.解答本题可先分清哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．[规范作答]数列{an}的公差d＝a17－a117－1＝－12－－6017－1＝3，2分∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.4分由an0，得3n－630，即n21.∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数.6分设Sn，Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和，当n≤20时，Sn′＝－Sn＝－－60n＋nn－12×3＝－32n2＋1232n；8分当n20时，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋nn－12×3－2×－60×20＋20×192×3＝32n2－1232n＋1260.10分•[题后感悟]本题为非常规等差数列求和．解题的关键首先是确定数列{an}的前20项为负数，其次是当n20时，用Sn－S20表示从a21到an这些非负的项的和．本题是此类问题的一个典型例题，类似问题都可以这样处理．∴数列{|an|}的前n项和Sn′＝－32n2＋1232nn≤2032n2－1232n＋1260n20.12分•3.已知等差数列{an}中，S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和An.解析：由已知列方程组2a1＋2×12d＝164a1＋4×32d＝24，解得a1＝9，d＝－2，∴an＝11－2n.令an0，得11－2n0，即n5.5.设Sn表示数列{an}的前n项和，∴当n≤5时，an0，An＝Sn＝－n2＋10n；当n≥6时，an0，An＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－a6－a7－…－an＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝2(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋…＋an)＝2S5－Sn＝2×(－52＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50.∴数列{|an|}的前n项和An＝－n2＋10nn≤5n2－10n＋50n≥6.1．等差数列前n项和的函数特点对于等差数列{an}，如果a1、d是确定的，前n项和Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n.设A＝d2，B＝a1－d2，上式可写成Sn＝An2＋Bn.当A≠0(即d≠0)时，Sn是关于n的二次函数式(常数项为0)数列S1，S2，S3，…，Sn的图象是抛物线y＝Ax2＋Bx上的一群孤立的点．•2．等差数列的前n项和公式的应用•(1)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．•(2)两个公式共涉及a1、d、n、an及Sn五个基本量，依据方程的思想，在五个基本量中要知道三个基本量可求其它基本量，这也就是我们所说的“知三求二”．•◎已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．【错解】∵an＝4n－25，∴an＋1＝4(n＋1)－25，an＋1－an＝4，a1＝4×1－25＝－21，∴数列{an}是以－21为首项，公差为4的等差数列．