最新北师大版九年级数学下册第二章二次函数小结与复习

第二章二次函数小结与复习北师大版九年级数学下册第2章复习1┃知识归类┃知识归纳┃1．二次函数的概念一般地，形如(a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数．[注意](1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．y＝ax2＋bx＋ca≠0函数表达式开口方向对称轴顶点坐标2axycaxy22hxaycbxaxy2)0x(y直线轴)0,0()0x(y直线轴)c,0(hx直线)0,h(khxay2hx直线)k,h(a0,开口向上;a0,开口向下.a2bx直线a4bac4,a2b2开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2(a0)y=ax2(a0)（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.越小,开口越大.越大,开口越小.aa抛物线y=ax2的性质知识归纳开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+c(a0)y=ax2+c(a0)（0，c）（0，c）y轴y轴当c0时,在x轴的上方(经过一,二象限);当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).当c0时,在x轴的下方(经过三,四象限);当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).向上向下当x=0时,最小值为c.当x=0时,最大值为c.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：二次函数y=ax2+c的图象和性质.由|a|来决定，|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大。1x2y22x2y23xy132xy二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-h)2+k(a0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：a4bac4,a2b2a4bac4,a2b2a2bx直线a2bx直线a4bac4,a2bx2最小值为时当a4bac4,a2bx2最大值为时当二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2的图象当c0时向上平移|c|个单位得到.当c0时向下平移|c|个单位得到.上加下减一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时,向右平移;当h0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位(当k0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的.左加右减上加下减小结：二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c与图象的关系a决定图象的形状开口方向开口大小a越大图象开口越小a越小图象开口越大当a0时开口向上当a0时开口向下b影响对称轴的位置当b=0时，对称轴为.表达式是.当ab0时，对称轴在y轴.当ab0时，对称轴在y轴.y轴左侧右侧“同左异右”3.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则：a0,b0.＞＞y=ax2+cabx2对称轴：c确定图象与y轴的交点：（0，c)当c＝0时图象过.表达式是.当c0时图象与y轴半轴相交当c0时图象与y轴半轴相交原点正负y=ax2+bx二次函数表达式有哪几种表达方式？一般式：y=ax2+bx+c顶点式：y=a(x-h)2+k如何求二次函数的表达式？已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其表达式.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)知识盘点一、求二次函数的解析式的一般步骤：一设、二列、三解、四还原.二、二次函数常用的几种解析式的确定1、一般式已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。y=ax2+bx+c已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。2、顶点式3、交点式4、平移式将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标，可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)y=ax2(a≠0)y=ax2+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2(a≠0)顶点式一般式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)交点式不同二次函数表达式的特点已知抛物线与x轴的交点坐标分别是x1,x2，则选择交点式。y=ax2+bx(a≠0)顶点在原点对称轴是y轴图象经过原点顶点在x轴上二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?复习当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个不同的实数根b2-4ac0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac0一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴（直线y=0）的交点横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.二次函数y=ax2+bx+c的图象和直线y=k的交点横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=k的根.y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c关于y轴对称y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c关于x轴对称y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k关于y轴对称y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k关于x轴对称关于坐标轴对称复习1.配方法求最值二次函数表达式的顶点式是，若a0，则当x=时，y有最大值。y=ax²+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)应用：hk2.公式法求最值二次函数表达式的一般式是，若a0，则当x=时，y有最大值。a2bac4bac42深思熟虑1.在坐标平面内,点(-2,3)向右平移3个单位坐标为(,),再向下平移2个单位得(,)继续向左移5个单位得到(,)2.抛物线y=-2(x+2)2+3向右平移3个单位得到图象的解析式为,再向下平移2个单位得,继续向左移5个单位得到.1311-41y=-2(x-1)2+1y=-2(x-1)2+3y=-2(x+4)2+1抛物线的平移3.已知抛物线C1的解析式是y=2x2-4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解析式。4、若二次函数y=a(x+3)2有最大值，那么a0,当x=时，函数有最大值.5、二次函数y=4x2-mx+5，当x＜-2时，y随x的增大而减小，当x＞-2时，y随x的增大而增大，则当x=1时，函数y的值是.y=-2x2+4x-5-30m=-16256.抛物线y=x2+2x-4的对称轴是__________,开口方向是______,顶点坐标是___________.7.已知抛物线与轴交于A(-1,0)和(1,0)并经过点M(0,1),则此抛物线的解析式为_______________y=-x2+1直线x=-1向上（-1，-5）二次函数的图象与性质【例1】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0;②b2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c0.其中正确的命题是_______.(只要求填写正确命题的序号)【思路点拨】【自主解答】因为二次函数的图象经过点(1，0)，所以当x=1时，y=a×12+b×1+c=a+b+c=0，所以①正确；由于二次函数的对称轴为x=-1,所以-=-1,所以b=2a,故②不正确；由对称轴及图象与x轴的一个交点，知另一个交点为(-3，0)，所以ax2+bx+c=0的两根为-3和1，故③正确；当x=-1时，y0，即a-b+c0，又由上面提到b=2a,a0，得b0，∴a-2b+c0，故④错误.因此正确的命题是①③.答案：①③b2a1.下列四个函数图象中，当x0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是()【解析】选D.x0时，即在y轴的左侧，y随x的增大而减小.2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是()(A)a0(B)b0(C)c0(D)a+b+c0【解析】选D.抛物线开口向下，∴a0，对称轴在y轴的右侧，∴b0，抛物线与y轴交于正半轴，∴c0，当x=1时，y0，即a+b+c0.二次函数的图象的平移【例2】抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是()(A)先向左平移2个单位，再向上平移3个单位(B)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位(C)先向右平移2个单位，再向下平移3个单位(D)先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【思路点拨】【自主解答】选B.根据y=a(x+h)2+k是由y=ax2经过适当的平移得到的，其平移规律是“左加右减，上加下减”得抛物线y=(x+2)2-3可由抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到.3.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的关系式是()(A)y=-(x+2)2(B)y=-x2+2(C)y=-(x-2)2(D)y=-x2-2【解析】选A.抛物线y=a(x+h)2+k可以由y=ax2经过适当的平移得到，其平移规律是：“h左加右减，k上加下减”即自变量加减左右移，函数加减上下移.4.将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是______.【解析】y=x2-2x=(x-1)2-1,根据平移的规律得平移后的抛物线为y=(x-1-4)2-1+3=(x-5)2+2=x2-10x+27.答案：y=(x-5)2+2或y=x2-10x+27二次函数表达式的确定【例3】如图，抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(-1，0).(1)求抛物线的关系式及顶点D的坐标；(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值.12【自主解答】(1)把点A(-1，0)的坐标代入抛物线的关系式y=x2+bx-2,整理后，解得b=-,所以抛物线的关系式为顶点D的坐标为(2)△ABC是直角三角形.由y=得B(4，0)，AB=5，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.1232213yxx2.22325(,).2