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1．3.1函数的单调性与导数1．3导数在研究函数中的应用研题型学方法题型一求函数的单调区间例1求函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥1)的单调区间．解析：f′(x)＝1x＋1－1＋kx＝x（kx＋k－1）x＋1，x∈(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝1k－1，当k＝1时，1k－1＝0，f′(x)≥0恒成立，所以，k＝1时单调增区间为(－1，＋∞)．当k1时，1k－1∈(－1，0)，当x∈－1，1k－1时f′(x)0，当x∈1k－1，0时f′(x)0，当x∈(0，＋∞)时f′(x)0，所以，k1时的单调增区间为－1，1k－1，(0，＋∞)；单调减区间为1k－1，0.规律方法：单调区间的求解过程：已知y＝f(x)．(1)分析y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．特别提醒：若一个函数的单调递增区间(或单调递减区间)有两个(或多个)，则这些区间要分开写，不能用并集符号连结．如函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，不能表示为“函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)”．►变式训练1．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x4－2x2＋3；(2)f(x)＝exx－2.解析：(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)．令f′(x)＞0，则4x(x＋1)(x－1)0，解得－1x0或x1，所以函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)和(1，＋∞)．令f′(x)＜0，则4x(x＋1)(x－1)0.解得x－1或0x1.所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(0，1)．(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝ex（x－2）－ex（x－2）2＝ex（x－3）（x－2）2.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex0，(x－2)20.由f′(x)0得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)＜0得x3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)．题型二证明函数的单调性例2已知a0，且a≠1，证明函数f(x)＝ax－xlna在(－∞，0)上是单调递减函数．分析：先求导数，再推证在该区间内导数恒大于零或恒小于零，即可得到函数单调性．证明：因为f′(x)＝axlna－lna＝lna(ax－1)，x0，所以当a1是时，lna0，ax1，所以f′(x)0，即f(x)在(－∞，0)上是单调减函数；当0a1时，lna0，ax1，所以f′(x)0，即f(x)在(－∞，0)上是单调减函数，综上，函数f(x)在(－∞，0)上是单调减函数．规律方法：函数f(x)在某一区间上f′(x)＞0是f(x)是增函数的充分不必要条件，若在此区间内有有限个点使f′(x)＝0，f(x)在该区间内为增函数，因此，在证明f(x)在给定区间内是增函数时，证明f′(x)≥0(但f′(x)＝0不恒成立)即可．►变式训练2．证明函数f(x)＝lnxx在区间(0，2)内是单调递增函数．证明：因为f(x)＝lnxx，所以f′(x)＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2，由于0＜x＜2，所以lnx＜ln2＜1，故f′(x)＝1－lnxx2＞0，即函数在区间(0，2)内是单调递增函数．题型三已知函数的单调性求参数的范围例3(2013·山西太原调研)已知函数f(x)＝lnx－12ax2－x(a∈R)．(1)当a＝2时，求y＝f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围．解析：(1)当a＝2时，f(x)＝lnx－x2－x(x＞0)，其定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝1x－2x－1＝－2x2＋x－1x＝－（x＋1）（2x－1）x.令f′(x)＞0，则0＜x＜12；令f′(x)＜0，则x＞12.所以0，12是函数f(x)的单调递增区间，12，＋∞是f(x)的单调递减区间．(2)因为f(x)＝lnx－12ax2－x，所以f′(x)＝1x－ax－1＝－ax2＋x－1x(x＞0)，因为y＝f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)＜0在(0，∞)上有解，又因为x＞0，则ax2＋x－1＞0在(0，∞)上有解．①当a＝0时，x＞1在(0，∞)上有解；②当a＞0时，ax2＋x－1＞0在(0，∞)上总有解；③当a＜0时，要使ax2＋x－1＞0在(0，∞)上有解，只需ax2＋x－1＝0有两个不等的正实根，所以Δ＝1＋4a＞0，－12a＞0，解得－14＜a＜0.综上知，a的取值范围是－14，＋∞.规律方法：利用导数解决含参数函数的单调性问题应从两点考虑：①若参数对函数的定义域有影响，需对参数分类讨论；②若参数对导数的正负取值有影响，也需对参数分类讨论．►变式训练3．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．解析：f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2.要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，即2x3－ax2≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x20，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.当a＝16时，f′(x)＝2x3－16x2≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16]．析疑难提能力忽视导数为零的情况致错【典例】对于函数y＝f(x)，x∈(a，b)，“f′(x)0”是“函数y＝f(x)为增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由f′(x)0⇒函数f(x)为增函数，但函数f(x)为增函数不一定得出f′(x)0，例如，y＝x3在R上是增函数，但存在x＝0，使f′(0)＝3×02＝0.所以“f′(x)0”是“函数y＝f(x)为增函数”的充分不必要条件，故选A.【易错剖析】f′(x)0⇒函数y＝f(x)为增函数，但当函数y＝f(x)为增函数时，f′(x)≥0，本题求解时易忽视当函数f(x)为增函数时，存在x0∈(a，b)，使得f′(x0)＝0的情况．