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4．1.1圆的标准方程学习目标预习导学典例精析栏目链接1．正确掌握圆的标准方程及其推导过程．2．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程．3．能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例精析题型一学习目标预习导学典例精析栏目链接例1求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在y轴上，半径是1，且过点(1，2)；(2)圆心在点C(3，4)，半径是5；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，－3)．解析：根据题设条件，可利用圆的标准方程解决．(1)x2＋(y－2)2＝1；(2)(x－3)2＋(y－4)2＝5；(3)解法一∵圆的半径r＝|CP|＝（5－8）2＋（1＋3）2＝5，圆心在点(8，－3)．∴圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.学习目标预习导学典例精析栏目链接解法二∵圆心为C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2.又∵点P(5，1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25，∴所求圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.点评：确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径，因此圆心和半径被称为圆的两要素．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．(1)x2＋y2＝2；(2)(x－3)2＋y2＝a2(a≠0)；(3)(x＋2)2＋(y＋1)2＝b2(b≠0)．解析：搞清圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)中，圆心为(a，b)，半径为r，本题易于解决．(1)圆心(0，0)，半径为2.(2)圆心(3，0)，半径为|a|.(3)圆心(－2，－1)，半径为|b|.题型二学习目标预习导学典例精析栏目链接例2已知两点P(－5，6)和Q(5，－4)，求以P，Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1，8)，C(6，5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．解析：由已知条件及圆的性质可知，圆心M在直径PQ的中点处，∴圆心M的坐标为(0，1)，半径r＝12|PQ|＝12×（－5－5）2＋（6＋4）2＝52.∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝（2－0）2＋（2－1）2＝5r，∴点A在圆内．学习目标预习导学典例精析栏目链接∵|BM|＝（1－0）2＋（8－1）2＝50＝r，∴点B在圆上．∵|CM|＝（6－0）2＋（5－1）2＝52r，∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：判断点与圆的位置关系，可以通过判断该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将该点坐标代入圆的方程判断，方法如下：点A(x0，y0)到圆心C(a，b)的距离为|AC|＝（x0－a）2＋（y0－b）2.①当点A(x0，y0)在圆上时，|AC|＝r，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；②当点A(x0，y0)在圆内时，|AC|r，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2；③当点A(x0，y0)在圆外时，|AC|r，即(x0－a)2＋(y0－b)2r2.学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练2．判断点M(6，9)，N(3，3)，O(5，3)与圆(x－5)2＋(y－6)2＝10的位置关系．解析：∵圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10，分别将M(6，9)，N(3，3)，O(5，3)代入得(6－5)2＋(9－6)2＝10，∴M在圆上；(3－5)2＋(3－6)2＝1310，∴N在圆外；(5－5)2＋(3－6)2＝910，∴O在圆内．题型三圆的表标准方程学习目标预习导学典例精析栏目链接例3如图所示，一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽多少米？学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：以圆拱顶为坐标原点，以过拱顶点的垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，解得r＝10∴圆的方程x2＋(y＋10)2＝100.②学习目标预习导学典例精析栏目链接当水面下降1m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x00)，代入方程②，求得x0＝51.即水面下降1m后，水面宽为2x0＝251≈14.28m.点评：此类应用问题首先是恰当选择直角坐标系，坐标系的不同选择对解决问题有很大影响．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练3．求以点C(2，－1)为圆心，截直线x＋y＋1＝0所得的弦长为22的圆的方程．解析：设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝r2，则圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝|2－1＋1|2＝2.又由垂径定理和勾股定理得：r2＝d2＋2222＝(2)2＋2＝4.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.