超宽带系统脉冲波形设计

《超宽带无线通信》课程论文超宽带系统脉冲波形设计摘要：在超宽带（UWB）通信系统中，脉冲波形设计是至关重要的。本文主要讨论两种UWB脉冲波形设计方法，一种是基于组合高斯波形的方法，另一种是基于椭圆球面波函数（PSWF）的方法。两种方法都能设计出相互正交的脉冲波形，有利于降低多用户系统中的用户间干扰。关键词：UWB波形设计组合高斯脉冲PSWF1引言UWB系统采用超窄脉冲进行数据传输，占用很宽的频谱。为了尽可能避免UWB系统对其它无线通信系统的影响，美国联邦通信委员会（FCC）规定了室内和室外UWB设备的辐射掩蔽[1]，如表1所示。频率（MHz）室内EIRP（dBm）室外EIRP（dBm）0-960-41.3-41.3960-1610-75.3-75.31610-1990-53.3-63.31990-3100-51.3-61.33100-10600-41.3-41.3大于10600-51.3-61.3表1FCC辐射屏蔽UWB脉冲波形直接影响了发射信号的功率谱密度（PSD），一直为人们所关注。脉冲波形设计的首要任务是使波形的功率谱密度尽量接近FCC所规定的辐射掩蔽，以尽可能减少UWB系统对其他通信系统的影响，同时保证较高的频谱利用率。传统的UWB系统中，不同用户使用相同的脉冲来传送信息，多用户间干扰明显，降低了系统容量。考虑设计正交的脉冲波形，分配给不同用户，以降低用户间干扰，提高系统性能。常见的脉冲波形设计可分为三类：一类是从时域波形出发，利用高斯脉冲、Hermite函数脉冲或者拉普拉斯脉冲等组合来实现；第二类是通过FIR滤波器的Park-McClellan方法来设计脉冲波形；第三类是以基于椭球波函数（PSWF）设计为代表的从频域出发进行波形设计的方法，三类设计方法各有利弊。下文分别讨论基于高斯脉冲组合的正交脉冲波形设计和基于Hermitian矩阵特征值的PSWF脉冲波形设计。2基于高斯脉冲组合的波形设计UWB脉冲产生器最易产生的脉冲波形是一个钟形，类似于脉冲函数波形。于是UWB系统经常采用的波形就是高斯脉冲以及高斯各阶导函数脉冲。高斯脉冲的时域表达式为2222()etptπαα−=±其中224απσ=是脉冲形成因子，2σ是方差。通过改变脉冲宽度、导数阶数和组合不同的基函数，可以获得不同的频谱形成，逼近FCC规定的辐射掩蔽。脉冲波形宽度取决于脉冲形成因子α，α值越小，脉冲宽度越窄，占用的频谱带宽越宽。同时，对高斯脉冲微分也会影响其能量谱密度。峰值频率和脉冲带宽都会随导函数阶数的增加而改变，导函数阶数越高，峰值频率越高。不过，在很多情况下，单个脉冲波形的频谱不能很好地逼近辐射掩蔽，频谱利用率不高。所以考虑将多个基函数进行组合，以达到较高的频谱利用率。利用高斯函数及其导函数族作为基函数组，进行线性组合[2]。通过求解线性组合的加权系数，以满足功率谱密度的要求。设计得到的脉冲函数的时《超宽带无线通信》课程论文域表达如下：1()()NkkkFtaft==∑其中()kft为进行线性组合的基函数，ka为加权系数，N为选取的基函数的个数。2.1基于最小均方误差准则的方法对给定的功率谱密度的限制，优化加权系数，使设计出的脉冲信号的频谱利用率最大[3]。这一优化问题的求解复杂度较高，在实际中难以实现。考虑采用某种成熟的标准算法，对该问题进行简化。采用最小均方误差准则，优化目标是使如下的误差函数最小2()()dMePfFff+∞−∞=−∫其中，()MPf表示辐射掩蔽，()Ff表示线性组合的功率谱密度。已有研究表明，发射信号的功率谱密度主要取决于脉冲波形函数单位冲激响应的傅里叶变换()Pf。计算时域的辐射掩蔽限制电压()mt时，如果采用()Pf代替严格的功率谱密度，上述优化问题的误差函数简化为如下定义：21()()dNkkkemtaftt+∞−∞==−∑∫基于最小均方误差准则的优化过程是建立在均方误差的基础上的，并不能保证设计出的脉冲波形功率谱密度小于辐射掩蔽。对线性组合的基函数组的选取，很大程度上影响了脉冲波形的设计。2.1.1选取高斯函数的不同阶数导函数作为基函数选取1~15阶的高斯导函数作为N维空间中的基函数组，对于不同阶数的导函数，首先确定各基函数的成形因子α，再进行最小均方误差准则求解线性加权系数。222151dd2()(,)edd()()ktkkkkkkkkkkftptttFtaftπααα−====∑实际上α的选择是一个比求解加权系数ka复杂很多的问题，这里我们只根据一般经验，利用FCC规定的辐射掩蔽的各个频段的宽度及辐射限制的大小来确定α的取值，对于辐射掩蔽值较大，带宽较大的频段，取较小的α值。一种很直观简单的克服α影响的优化方法：对每阶高斯导函数，都分别选取成形因子α值相差较大的两个函数加入基函数组中，这样，并不需要重新设计优化方法，仍然可以直接利用最小误差准则进行求解，只是加权系数的个数变为原先的两倍，计算量略有增加。22_22_2___2___1515____11dd2()(,)edddd2()(,)edd()()()LkSktkkLkLkkkLktkkSkSkkkSkLkLkSkSkkkftptttftptttFtaftaftπαπααααα−−=======+∑∑2.1.2选取不同频率余弦调制的高斯函数作为基函数高斯导函数阶数的变大，会使高斯脉冲的功率谱密度的峰值频率增加，不过高阶导数的复杂度较高。为了实现峰值频率的搬移，可以采用类似于载波通信系统中的调制思想，通过频率搬移因子f来改变脉冲波形的频谱分布，使设计的各个频段成形脉冲的频谱峰值频率位于频段的中心。具有成形因子α和频率搬移因子f的高斯基函数可以用下式表示2222()ecos(2)ktkkkftftπαπα−=《超宽带无线通信》课程论文选取5个不同搬移频率的基函数，求得的线性组合函数如下51()()kkkFtaft==∑2.2基于随机选择加权系数的方法对于给定的功率谱密度的设计要求，可以通过如下步骤选取基函数()kft和加权系数ka：（1）初始化加权系数组{0}S=（2）选取一组基函数()kft（3）随机产生一组加权系数{}ka（4）检验{}ka产生的脉冲波形是否满足辐射屏蔽，若满足，且{}ka产生的脉冲波形比S产生的脉冲波形的频谱利用率高，则置{}kSa=（5）重复（2）~（4），直至产生的波形的功率谱密度与辐射掩蔽之间的距离在一个固定的门限值之下。上述脉冲波形的产生有很大的灵活性，但基函数和加权系数的选取有无穷的可能性，通过遍历或者迭代来进行最优化设计的复杂度非常大。本文只考虑固定基函数和迭代次数的加权系数的随机选择。选取1~15阶的高斯导函数作为N维空间中的基函数，进行组合：222151dd2()(,)edd()()ktkkkkkkkkkkftptttFtaftπααα−====∑3正交高斯脉冲设计利用高斯脉冲线性组合设计得到的脉冲波形能够较好地满足FCC规定的辐射掩蔽，且频谱利用率较高，但是不同波形之间不是正交的，不利于抑制多用户UWB系统中的用户间干扰。为了降低用户间干扰，考虑将组合后得到的脉冲波形进行Gram-Schmidt正交，得到正交的脉冲波形，分配给不同的用户使用。利用加权系数随机选择的方法，设计得到不相关的脉冲函数组，对该组脉冲进行正交化处理，即可得到正交的高斯脉冲组。4基于PSWF的正交脉冲波形设计与从时域出发的高斯脉冲线性组合不同，基于PSWF进行脉冲波形设计是从频域出发的，其基本思想非常直观：首先确定设计所需的频域特性，再反推时域波形。PSWF是一种完备的正交函数系，它同时受到时间参数t和时频联合参数c的控制。一个n阶的PSWF函数可以表示为(,)nctψ，其中0ctW=，0t为函数的时间参数取值范围，W为函数在频域的有限带宽。(,)nctψ是如下变换的特征函数，即00sin()(,)d(,)()()tnnntWxtcttcxcxtψψλπ−−=−∫其中()ncλ为上述变换的特征值。PSWF函数有多种表示方法，比如采用Legendre多项式逼近表示，或者采用第一类Helmoltz波动方程解表示。文献[4]给出了一种PSWF函数的一种数值解法，它对实际波形设计十分方便。设脉冲波形信号为()tψ：(),()20,mTptttψ=其它其中()pt为满足模板要求的脉冲形状，mT为波形信号的脉冲宽度。《超宽带无线通信》课程论文经过冲击响应为()ht的系统后，使其频谱尽可能大的分布在FCC规定的频谱限制范围内：()()()Hfffψλψ=（1）其中λ为衰减因子。设波形采样点数为N，则（1）式对应的离散时域卷积如下/2/2[][][],/2,,/2NmNmhnmnnNNψλψ=−−==−∑表示为矩阵形式：[]2[0][1][][1][0][1][1]2[][1][0][]2[]2[1]2[]2NhhhNNhhhNhNhNhNNNNψψψψψλψ−−−−−−+−−−+=即Hψλψ=显然，H为Hermitian矩阵，波形ψ和衰减因子λ为矩阵H的特征向量和对应的特征值。由Hermitian矩阵特征值和特征向量的性质[5]，特征值λ为实数，便于实际工程中的实现；特征向量ψ为线性无关的正交向量组，故求得的脉冲波形之间互不相关，可以有效地降低多用户间干扰，改善系统性能。5仿真结果及分析010002000300040005000600070008000900010000-400-350-300-250-200-150-100-500Frequency[MHz]PSD[dBm/MHz]LSEcombinationFCCmaskα1α2αcombination图1LSE高斯导函数组合脉冲性能采用最小均方误差准则方法，取脉冲重复频率1/10MHzTs=，各阶导函数对应的成形因子分别取为1α和2α，进行波形设计，结果如图1所示。11_11_21_151_11_[,,,]1.5ns,0.314ns,=2,,15iiααααα===α22_12_22_152_[,,,]0.714ns,=1,,15iiαααα==α当采用成形因子1α时，除了一阶导函数对应较大的α值之外，其他各阶导函数有较小的α值，设计出的组合脉冲函数的频谱利用率较高；当采用成形因子2α时，所有成形因子均为0.714ns，设计出的组合波形在频率较低时对辐射掩蔽的逼近效果较好，但频谱利用率不高；联合使用1α和2α，利用30个基函数时，设计出的脉冲波形的频谱利用率较高，而且在频率较低时对辐射掩蔽的逼近效果也较好。《超宽带无线通信》课程论文010002000300040005000600070008000900010000-200-180-160-140-120-100-80-60-40-20SinusoidGaussianPulseLSECombinationFrequency[MHz]PSD[dBm/MHz]FCCIndoorMaskf3=3.2GHzincreasedf3图2LSE余弦高斯组合脉冲性能利用5个余弦调制高斯波形作为基函数进行线性组合，仿真结果如图2所示。_1_2_5[,,,][2.5,3,1.2,0.8,0.3]nsffffααα==α125[,,,][0.32,2.05,3.2,5,8]GHzfff==f其中‘f3=3.2GHz’表示直接利用最小均方误差准则得到的组合脉冲波形的功率谱密度曲线，虽然能够较好地符合辐射掩蔽，但在3GHzf=附近有一小段超过了辐射掩蔽，为了进一步对组合脉冲进行优化，根据成形因子α、频率搬移因子f和功率谱密度的关系，逐步增大3f的值，经过试探可知，优化得到的组合脉冲波形的功率谱密度可以再全频段内满足辐射掩蔽的要求，而且对辐射掩蔽具有较好的逼近，其功率谱密度曲线用‘increasedf3’表示。图3为采用15阶高斯导函数为基函数，进行随机加权系数组合的方