第2章--平面解析几何初步-综合检测

第2章平面解析几何初步综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线3ax－y－1＝0与直线(a－23)x＋y＋1＝0垂直，则a的值是()A．－1或13B．1或13C．－13或－1D．－13或1解析：选D.由3a(a－23)＋(－1)×1＝0，得a＝－13或a＝1.2．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是图中的()解析：选C.直线l1：ax－y＋b＝0，斜率为a，在y轴上的截距为b，设k1＝a，m1＝b.直线l2：bx－y＋a＝0，斜率为b，在y轴上的截距为a，设k2＝b，m2＝a.由A知：因为l1∥l2，k1＝k20，m1m20，即a＝b0，ba0，矛盾．由B知：k10k2，m1m20，即a0b，ba0，矛盾．由C知：k1k20，m2m10，即ab0，可以成立．由D知：k1k20，m20m1，即ab0，a0b，矛盾．3．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()A．62－2B．8C．46D．10解析：选B.点A关于x轴对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为＋＋＋＝10.∴所求最短路程为10－2＝8.4．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．内含解析：选D.圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距02－1＝1，所以两圆内含．5．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a的值等于()A.2B.2－1C．2－2D.2＋1解析：选B.圆心(a,2)到直线l：x－y＋3＝0的距离d＝|a－2＋3|2＝|a＋1|2，依题意|a＋1|22＋2322＝4，解得a＝2－1.6．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线是()A．3x－2y－6＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0解析：选D.∵所求直线平行于直线2x＋3y－6＝0，∴设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0，由|2－3＋c|22＋32＝|2－3－6|22＋32，∴c＝8，或c＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.7．若直线y－2＝k(x－1)与圆x2＋y2＝1相切，则切线方程为()A．y－2＝34(1－x)B．y－2＝34(x－1)C．x＝1或y－2＝34(1－x)D．x＝1或y－2＝34(x－1)解析：选B.数形结合答案容易错选D，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分．8．圆x2＋y2－2x＝3与直线y＝ax＋1的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．随a值变化而变化解析：选C.直线y＝ax＋1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部．9．过P(5,4)作圆C：x2＋y2－2x－2y－3＝0的切线，切点分别为A、B，四边形PACB的面积是()A．5B．10C．15D．20解析：选B.∵圆C的圆心为(1,1)，半径为5.∴|PC|＝－＋－＝5，∴|PA|＝|PB|＝52－＝25，∴S＝12×25×5×2＝10.10．若直线mx＋2ny－4＝0(m、n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是()A．(0,1)B．(0，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，－1)解析：选C.圆x2＋y2－4x－2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1，当m＝1时等号成立，此时n＝1，与“m≠n”矛盾，所以mn＜1.11．已知直线l：y＝x＋m与曲线y＝1－x2有两个公共点，则实数m的取值范围是()A．(－2,2)B．(－1,1)C．[1，2)D．(－2，2)解析：选C.曲线y＝1－x2表示单位圆的上半部分，画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l在过点(－1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l与曲线有两个交点．当直线l过点(－1,0)时，m＝1；当直线l为圆的上切线时，m＝2(注：m＝－2，直线l为下切线)．12．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A．4B．2C.85D.125解析：选A.∵点P在圆上，∴切线l的斜率k＝－1kOP＝－11－42＋2＝43.∴直线l的方程为y－4＝43(x＋2)，即4x－3y＋20＝0.又直线m与l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0.故两平行直线的距离为d＝|0－20|42＋－＝4.二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13．过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是________．解析：易求得AB的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y＝x，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x＋y－2＝0联立得到圆心O(1,1)，半径r＝|OA|＝2.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝414．过点P(－2,0)作直线l交圆x2＋y2＝1于A、B两点，则|PA|•|PB|＝________.解析：过P作圆的切线PC，切点为C，在Rt△POC中，易求|PC|＝3，由切割线定理，|PA|•|PB|＝|PC|2＝3.答案：315．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为________．解析：已知直线斜率k1＝－2，直线ax＋2y＋c＝0的斜率为－a2.∵两直线垂直，∴(－2)•(－a2)＝－1，得a＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c|5＝5，∴c＝±5，故ac＝±5.答案：±516．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是__________．解析：将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d＝|3×1＋－＋m|32＋42＝|m－5|5＞1，∴m＜0或m＞10.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程．解：AC边上的高线2x－3y＋1＝0，所以kAC＝－32.所以AC的方程为y－2＝－32(x－1)，即3x＋2y－7＝0，同理可求直线AB的方程为x－y＋1＝0.下面求直线BC的方程，由3x＋2y－7＝0，x＋y＝0，得顶点C(7，－7)，由x－y＋1＝0，2x－3y＋1＝0，得顶点B(－2，－1)．所以kBC＝－23，直线BC：y＋1＝－23(x＋2)，即2x＋3y＋7＝0.18．一束光线l自A(－3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共点．(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程；(2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围．解：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝1.(1)圆心C关于x轴的对称点为C′(2，－2)，过点A，C′的直线的方程x＋y＝0即为光线l所在直线的方程．(2)A关于x轴的对称点为A′(－3，－3)，设过点A′的直线为y＋3＝k(x＋3)．当该直线与圆C相切时，有|2k－2＋3k－3|1＋k2＝1，解得k＝43或k＝34，所以过点A′的圆C的两条切线分别为y＋3＝43(x＋3)，y＋3＝34(x＋3)．令y＝0，得x1＝－34，x2＝1，所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[－34，1]．19．已知圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．解：(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∵此方程表示圆，∴5－m＞0，即m＜5.(2)x2＋y2－2x－4y＋m＝0，x＋2y－4＝0，消去x得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0，化简得5y2－16y＋m＋8＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝165，①y1y2＝m＋85.②由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.将①②两式代入上式得16－8×165＋5×m＋85＝0，解之得m＝85.(3)由m＝85，代入5y2－16y＋m＋8＝0，化简整理得25y2－80y＋48＝0，解得y1＝125，y2＝45.∴x1＝4－2y1＝－45，x2＝4－2y2＝125.∴M－45，125，N125，45，∴MN的中点C的坐标为45，85.又|MN|＝125＋452＋45－1252＝855，∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为x－452＋y－852＝165.20.已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|PA|成立，如图．(1)求a、b间关系；(2)求|PQ|的最小值；(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．解：(1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|PA|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|PA|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|PA|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.(或由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，得|PQ|min＝255.)(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0，所以r＝322＋12－1＝355－1，又l′：x－2y＝0，联立l：2x＋y－3＝0得P0(65，35)．所以所求圆的方程为(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2.21．有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．解：法一：由题意可设所求的方程为(x－3)2＋(y－6)2＋λ(4x－3y＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得－＋－＝r2，－＋－＝r2，b－6a－3×43＝－1，解得a＝5，b＝92，r2＝254.所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y－92)2＝254.法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得32＋62＋3D＋6E＋F＝0，52＋22＋5D＋2E＋F＝0，－E2－6－D2－3×43＝－1，解得D＝－10，E＝－9，F＝39.所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.法四：设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y－6＝－