商品的订购与销售的数学模型

第二期（2003年8月）韶关学院学生数学建模论文集No.2118商品的订购与销售的数学模型陈润凤1,何敏洪2,官金兰11.韶关学院2001级数学与应用数学本科（1）班广东韶关512005;2.韶关学院2002级数学与应用数学本科班广东韶关512005[摘要]:本问题是有关商店获利的运筹学问题.本文通过对1~4月4个月内商店销售商品的总售价、总成本以及总存贮费的计算，建立了使总利润获利最大的目标函数的数学模型，此模型为一个二次规划的非线性的优化模型.对于所建立的二次规划模型，本文把此模型分解为两个模型:模型Ⅰ、模型Ⅱ,并利用数学软件（Matlab）分别求解这两个模型,得出了1~4月份每月份的进货量分别为5,10,10,8(单位)；售出量分别为10,10,10,8(单位)；以及每月存贮的商品量分别为0(5),0,0,0(单位).从而解出了1~4月份商店商品的总售价为396千元；总成本为213.5千元；总的存贮费为2.5千元.通过对以上部分的计算求出了4个月内商店所获的最大利润为180.0千元.关键词：二次规划;非线性优化;模型分解1问题的提出某商店在未来4个月内，准备利用商店里一个仓库专门经销某种商品，该仓库最多能存放10单位商品.设商店每月只能售出仓库现有的货，而每月所购的货只能在下个月初到货，又设该商品在1月初的存货为5单位，而1~4月该商品的售价分别为12，9，13，7（千元），而进货价则与进货量有关，分别为4433221115,6.0112.09,5.010xCxCxCxC其中ix为第i月份的购买量4,3,2,1i.又设每个月月底存货在下个月的存贮费用每单位为5.0千元.试制订进货及销售计划，使总利润最大.2问题的分析本问题是一个有关商店获利的运筹学问题，目的是制订进货及销售计划，使总利润最大，而由题意可以知道:存贮费成本进货总价售出商品的总价总利润)(因此，只要对售出商品总价、成本、存贮费进行计算优化，然后再制订出商品的进货与销售计划，使商店所获利润最大即可.3问题的基本假设与符号说明3.1基本假设1该仓库最多能存放10单位商品2该商店每月只能售出仓库现有的货3每个月所购的货只能在下个月初到货4该商品在1月初的存货为上年剩下的，1月份所到的货为上年12月所订5每个月月底存货在下个月的贮存费用每单位0.5千元3.2符号的说明ix4,3,2,1ii月份购买量第单位单位:iC4,3,2,1ii月份的进货价第千元单位:第二期（2003年8月）韶关学院学生数学建模论文集No.21191S个月内售出商品的总价该商店4千元单位:2S个月内进货的总成本该商店4千元单位:3S存贮费个月内存货的总费用该商店4千元单位:S该商店所获的总利润千元单位:ia月份售出的商品量第i单位单位:iy4,3,2,1,0ii月份剩下的商品量第单位单位:4模型的建立4.1售出商品总价43211713912aaaaS4.2总成本4321242322214433221141215119106.02.05.0156.0112.095.010xxxxxxxxxxxxxxxxxCSiii4.3总的存贮费用由假设4可知:去年12月份存货50y1月份商品总数为15x1月份剩余商品数为1115axy2月份剩余商品数为212125aaxxy3月份剩余商品数为32132135aaaxxxy4月份剩余商品数为4321432145aaaaxxxxy由于4月份的存货其贮存费算在5月份内可忽略4月份的存货不计即1-4月份四个月内共存货.20232355155321321321321212123aaaxxxaaaxxxaaxxaxyyoii总的存贮费用为105.05.15.05.15.03213213aaaxxxyS第二期（2003年8月）韶关学院学生数学建模论文集No.21204.4目标函数:总利润.1075.13105.13155.11105.116.02.05.04321432124232221321aaaaxxxxxxxxSSSS目标函数:1075.13105.13155.11105.116.02.05.0max4321432124232221aaaaxxxxxxxxS04,3,2,10105010501050105050505050..432143213213212121113213214212131121iixiaaaaaxxxxaaaxxxaaxxaxxxxaaaxxxaaxxaxxts5模型的求解所建立的数学模型为二次规划模型,含有8个未知量.为了简化计算,把模型分为两个分模型,然后再用数学软件(Matlab)求解出最优解.5.1模型的分解我们把目标函数1075.13105.13155.11105.116.02.05.0max4321432124232221aaaaxxxxxxxxS分解为模型Ⅰ:1075.13105.13max155.11105.116.02.05.0max432124321242322211aaaaZxxxxxxxxZ模型Ⅱ：5.2模型Ⅰ的求解1maxZ的求解：由于此目标函数为二次非线性规划,故可以用数学软件(Matlab)中的二次优化中的qp函数可求出4,3,2,1,ixi程序(见附录一):第二期（2003年8月）韶关学院学生数学建模论文集No.2121可以求出:5.7,5833.9,10,54321xxxx由于ix为第i月份所购买的商品量,所以Zxi,即取整数.故有.8,10,10,54321xxxx从而求得，.0.236815105.11101055.118106.0102.055.0max22221千元Z5.3模型Ⅱ的求解2maxZ的求解易由题意知：0833.272010100100100100..1075.13105.13max432132121432143212aaaaaaaaaaaaatsaaaaZ易知，此分模型为一次线性规划模型，也可用数学软件（Matlab）求得4,3,2,1,iai与2maxZ.程序(见附录二)：可得到最优解为416,8,10,10,10即当8,104321aaaa时，5.4Smax的求解所以商店在1~4月份4个月内所获得的总的利润最大为0.180千元.即当商店获得最大利润时，.416max2千元Z.0.1804160.236maxmaxmax21千元ZZS第二期（2003年8月）韶关学院学生数学建模论文集No.21221~4月内商店对商品的进货量、售货量、存货量以及所获得总的利润如表所示：月份1234进货量（单位）510108售货量（单位）1010108月底存货量（单位）0(5)000总利润（千元）180.0并解得,售出商品的总价为:39687101310910121S千元总成本为:5.21381510111095108106.0102.055.022222S总存贮费为:5.25.053S千元.6结果的分析与检验6.1结果的分析用软件求得,当,8,104321aaaa且8,10,54321xxxx时,商店能获得的最大利润为180.0千元,即是说能把商店的仓库里所有的存货与所进的货能全售出去的时候,这时,可不计4,3,2,1月底存货的存贮费用以及用多余的钱去进可能售出去的货.此时,商店获得的利润最大.6.2结果的检验当8,10,54321xxxx时,而上年的12月份存货到1月份有5单位的货,即1月份共有货105551x单位.我们知道101a,即1月份就把货全售了出去,没货存到2月份.此时,1月份的总售价为1201012千元,存贮费用为5.25.05千元,总的进货价为5.3755.0105千元.1月份所获利润为805.375.21201X千元.同理,2月份共有货102x单位,而售出102a单位,此时存货为0单位.这时,2月份的总售价为90109千元,存贮费为0,进货价为7010102.09千元即2月份所获的利润为20700902X千元同理,我们可得,第二期（2003年8月）韶关学院学生数学建模论文集No.21233月份所获利润为803X千元.4月份共有货84x单位,而售出84a单位,此时不考虑存货量,也同时不存在有货剩余的情况.这时4月份的总售价为5678千元,进货价为568815千元,则4月份所获利润为4X56-56=0千元.即是说4月份是个对商品的订购与销售的结束期,并不能使商店获利.由上述可知,该商店在1~4月份4个月内工获利润为18008020804321XXXXX千元此时我们很清楚地知道,检验的结果与求解出来的结果相一致.通过验证,事实证明,当4,3,2,1,,iaxii达到上述方案时,商店能获得最大的总利润.所以我们该商店对某种商品制订的进货与销售的计划如下:前3个月进货的量尽量接近仓库的最大容纳的货量,而第4个月通过调查,须适当地减少进货量.即:由于1月初有存货,因而1月只要进货5单位即可(上年的12月须订货),而2、3月份需增加进货量到10单位,然而,考虑到顾客对同一种商品用久了会腻,4月须减少进货量到8单位.7模型的评价与推广在我们所建立的模型的基础上提出的商品的订购与销售计划可以很好地验证该商店对某种商品的进货与销售情况.我们认为，这种模型，很好地考虑了商家的利益，同时也部分地顾虑到顾客的意愿，具有相当的实际背景.此模型除了适用于商店对某种商品的进货与销售的计划，同时还适用于某公司对某种产品要制订n个阶段的生产计划，等等.参考文献：[1]洪毅等.经济数学模型[M].广州:华南理工大学出版社,1998.6[2]王沫然.MATLAB6.0与科学计算[M].北京:电子工业出版社,2001.9[3]程理民等.运筹学模型与方法教程[M].北京:清华大学出版社,1999[4]叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材(三)[M].湖南教育出版社.附录:一.求解模型一的程序1,4,,,,;10;10;10;5;1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1;15;5.11;10;5.11;2,0,0,0;0,2.1,0,0;0,0,4.0,0;0,0,0,1zerosbachqpxbach二.求解模型二的程序fora1=0:10第二期（2003年8月）韶关学院学生数学建模论文集No.2124fora2=0:10fora3=0:10fora4=0:10ifa1+a2=10&a1+a2+a3=20&a1+a2+a3+a4=27.0833s=13.5*a1+10*a2+13.5*a3+7*a4-10[a1,a2,a3,a4,s]endendendendendTheorderofthemerchandiseandthemathematicsmodelofthesale1fengRunCHEN2hongMinHE1lanJinGUAN(1.UndergraduatecourseofDepartmentofMathematics,2001gradeclassone,Sh