马尔科夫预测法完整版

(3)1第六章马尔科夫预测法(3)2第六章目录6.1马尔科夫链的基本概念6.2状态概率的估算补充内容6.3马尔科夫链在经济预测方面的应用6.4马尔科夫预测案例(3)36.1马尔科夫链的基本概念•一.状态与状态概率•状态：某事物在某一时间所处的状况。如畅销、平销、滞销。•状态概率：被研究对象在t时间处于状态空间中的某一状态，处于这一状态的可能性。如某个时间上产品畅销的可能性多大。(3)4(3)5二.状态转移、转移概率及状态转移矩阵•1.状态转移和转移概率•状态转移是系统由一个时期所处的状态Si到未来某时期所处的可能状态Sj的转变，而发生这种状态转移的可能性被称为转移概率。分一次转移和多次转移。iS(3)6二.状态转移、转移概率及状态转移矩阵•2.状态转移概率矩阵一次转移概率矩阵PnnnnnnpppppppppP2122221112111101njijijpp(3)7•k次转移概率矩阵•如果1次转移概率矩阵不发生变化，有)()()()()()()()()()(212222111211kpkpkpkpkpkpkpkpkpkPnnnnnn1)(1)(01njijijkpkpkPkP)1((3)8例：S1—畅销S2—滞销k=1(一步转移）S1S1P11=0.7S1S2P12=0.3S2S1P21=0.4S2S2P22=0.66.04.03.07.0)1(PK=2(二步转移）s1s1s2s10.70.70.30.4S1S20.7×0.7+0.3×0.4=0.6148.052.039.061.0)2(P(3)9三.马尔科夫过程•某现象在时间m+1时所处的状态Sj的概率仅仅与该现象在时间m所处的状态Si有关，而与时间m前所处何种状态无关的特性成为无后效性，也称为马尔科夫性，具有这种特性的时间转移和状态转移过程称为马尔科夫过程。•马尔可夫过程的时间可以是无限连续的，在实际经济问题中，时间取离散值，在某一时间的状态也是离散可列的，我们称这样的马尔可夫过程为马尔可夫链。它表示事物前一时期的状态转移到现在的状态，由现在的状态转移为将来的状态，一环接一环，像一根链条。(3)10四、标准概率矩阵与平衡向量•如果马尔可夫过程的一步转移概率矩阵不发生变化，则无论基期处于什么样的状态，经过多期转移后，状态的概率趋于一个和基期无关的并且稳定下来的值，这称为马尔可夫过程的稳定性或遍历性。•这个稳定下来的值我们称为平衡向量，也叫终极状态概率。我们会在后面补充。(3)116.2状态概率的估算•一.状态概率估计inininin(3)126.2状态概率的估算•二.转移概率估计•要注意的是：计算一步概率时，最后一期不参加计算，因为它将转移到哪个状态还不确定。(3)13补充内容（平衡向量求解）基期t=0时的状态概率称为初始概率，初始概率向量为，多次转移概率矩阵为，预测稳定下来的平衡向量。当马尔可夫过程达到平衡状态时，上一期的状态经过转移之后其状态应该保持不变。先假设平衡状态为则))0(),0(),0(()0(21nkPkP12(,,)nP(3)14例题:A、B、C三个厂生产的味精5月在某地区市场上的占有率分别为0.3、0.2、0.5，据市场调查得知，顾客的流动情况如下表所示：转移购买比例ＡＢＣＡ0.40.30.3Ｂ0.60.30.1Ｃ0.60.10.3试预测6月与7月三个厂味精的市场占有率，如果顾客流动情况稳定，那么，市场稳定后三个厂的市场占有率情况如何？(3)15解答：上述味精在市场上占有率的变化过程为一个马尔可夫过程，初始状态为一步转移概率矩阵0.40.30.30.603.0.10.60.10.3P本月市场占有率26.020.054.03.01.06.01.03.06.03.03.04.05.02.03.0)0()1(P)5.0,2.0,3.0()0((3)16下月占有率情况26.0248.0492.0)0(22P本月和下月Ａ、Ｂ、Ｃ三个厂的市场占有率情况分别是54%、20%、26%和49.2%、24.8%、26%。若一步转移概率不发生变化，假设稳定的市场占有率情况为123(,,)Sxxx(3)17(3)18所以，市场占有率的平衡状态是；A、B、C三个厂的市场占有率分别是50%、25%和25%。马尔可夫过程的平衡状态仅与转移概率有关，与初始状态无关。(3)19•一.市场占有率预测•市场竞争中，市场占有率问题具有马尔科夫链的特征，因此，可以用马尔科夫预测法来对市场占有率的发展变化进行预测。(3)20•假设顾客在市场上对一类商品有n种选择，它们是n个不同品牌，分别记为•顾客在本期选择了品牌的产品，在下一期有可能转移购买其他同类产品的品牌，这一过程就构成了马尔科夫链，可用马尔科夫原理对这n种品牌的市场占有率进行预测。(3)211.市场调查•（1）调查目前的市场占有情况，即调查所有顾客在目前消费该类商品时购买各种商品的比重，获得初始分布（2）调查顾客在选择n种品牌的流动情况，先获得转移频率矩阵，从而由频率估算概率，获得转移概率矩阵(3)222.建立数学模型•通过一步转移概率矩阵P，测算出第k步转移概率矩阵P(k)3.市场预测（1）预测第k期的市场占有率(3)23•（3）预测稳定状态下的市场占有率，即顾客的流动对市场占有率没有影响，即顾客流动过程中，各种品牌在顾客流动的过程中争取到的顾客和失去的顾客相互抵消。(3)24例6-2某地区销售的洗发水主要有三个厂家提供，分别用1,2,3来表示。在12月对2000名消费者进行调查，购买厂家1、厂家2、厂家3的产品的消费者人数分别为1400,200和400。同时得到用户的转移频数矩阵为：(3)25问题1、对三个厂家次年1-6月份的市场占有率进行预测。2、试求当市场处于均衡状态时，各厂商的市场占有率是多少。(3)261、先求出12月份，厂商1、2、3的市场占有率情况，得到初始分布为2、通过转移频数矩阵计算转移概率矩阵(3)27假设P是稳定的，得到：1月份各厂家的市场占有率，即当k=1时，2月份各厂家的市场占有率，即当k=2时，(3)282、由于概率矩阵P是标准概率矩阵，因此存在唯一的市场均衡点。因此存在使得因此，可以求得市场均衡时，各厂商的占有率(3)296.4马儿科夫预测案例考虑某地区农业收成变化的三个状态，即“丰收”，“平收”，“欠收”。记S1为“丰收”状态，S2为“平收”状态，S3为“欠收”状态。表6-3给出了该地区1966-2005年期间农业收成的状态变化情况。(3)30年份1966196719681969197019711972197319741975状态S1S1S2S3S2S1S3S2S1S2年份1976197719781979198019811982198319841985状态S3S1S2S3S1S2S1S3S3S1年份1986198719881989199019911992199319941995状态S3S3S2S1S1S3S2S2S1S2年份1996199719981999200020012002200320042005状态S1S3S2S1S1S2S2S3S1S2(3)31试计算：1、初始状态概率。2、该地区农业收成变化的一步和二步转移概率矩阵。3、2006-2010年可能出现的各种状态的概率4、终极状态的概率(3)321、初始状态概率估算上表中40个记录，有15个处于状态S1，14个处于状态S2,11个处于状态S3初始状态概率为：(3)33（2）状态转移概率状态状态下一步状态当前状态S1S2S3S1375S2724S3452(3)34•由上表，可以得到一步状态转移概率矩阵为：(3)35•二步转移概率矩阵为：(3)36将2005年的农业收成记为，因为2005年是平收状态，因此，这是预测2006-2010年状态概率的初始向量。若一步转移概率具有稳定性，那么k步转移后的状态向量为，该地区农业在2006年的收成状态向量(3)37也就是该地区农业在2006年有53.8%的概率处于丰收状态，15.4%的概率处于平收状态，30.8%的概率处于欠收状态。(3)384、终极状态概率预测。设终极状态的概率为，则即即可求出(3)39例4公司A、B、C产品销售额的市场占有率分别为50%，30%，20%。由于C公司实行了改善销售与服务方针的经营管理决策，使其产品销售额逐期稳定上升，而A公司却下降。通过市场调查发现三个公司间的顾客流动情况如表所示。其中产品销售周期是季度。问题：按照目前的趋势发展下去，A公司的产品销售额或客户转移的影响将严重到何种程度？更全面的，三个公司的产品销售额的占有率将如何变化？马尔可夫链在经济预测方面的应用案例(3)40周期1的供应公司公司周期0的顾客数ABCA500035005001000B30003002400300C20001001001800周期1的顾客数——390030003100(3)41公司ABCA3500/5000=0.7500/5000=0.11000/5000=0.2B300/3000=0.12400/3000=0.8300/3000=0.1C100/2000=0.05100/2000=0.051800/2000=0.95周期1的供应公司公司周期0的顾客数ABCA500035005001000B30003002400300C20001001001800周期1的顾客数——390030003100(0)(0.50.30.2)初始分布为：(3)42ABCA0.70.10.2B0.10.80.1C0.050.050.9P(0)(0.50.30.2)周期1的供应公司公司周期0的顾客数ABCA500035005001000B30003002400300C20001001001800周期1的顾客数——390030003100公司ABCA3500/5000=0.7500/5000=0.11000/5000=0.2B300/3000=0.12400/3000=0.8300/3000=0.1C100/2000=0.05100/2000=0.051800/2000=0.950(3)43未来各期的市场占有率：100.70.10.20.5,0.3,0.20.10.80.10.050.050.90.39,0.3,0.31P(3)44未来各期的市场占有率：100.70.10.20.5,0.3,0.20.10.80.10.050.050.90.39,0.3,0.31P(2)(1)(0.319,0.294,0.387)P(3)45未来各期的市场占有率：100.70.10.20.5,0.3,0.20.10.80.10.050.050.90.39,0.3,0.31P(2)(1)(0.319,0.294,0.387)P(3)(2)(0.272,0.286,0.442)PC——保销政策。C的市场份额不断增大。是否可以持续下去？(3)46稳态市场占有率1231231230.70.10.2,,0.10.80.1,,0.050.050.91xxxxxxxxx(3)47稳态市场占有率1231231230.70.10.2,,0.10.80.1,,0.050.050.91xxxxxxxxx1230.1765,0.2353,0.5882xxx解得(3)48二、期望利润预测•1.利润矩阵•是市场状态从i转到j厂商的易损值。ijr利润矩阵nnnnnnrrrrrrrrrR2122221