层次分析法在数学建模中的应用

层次分析法在数学建模中的应用摘要：人们在生活中处理一些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素。在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。这是就有人提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法，这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。以及在对层次分析法的引入基础之上，建立层次分析模型，并给出了层次分析的求解过程，以及在现实生活中的应用。关键词：层次分析法；成对比较矩阵；权向量；一致性指标；一致性比率一．问题的提出：人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：请朋友吃饭要筹划是办家宴还是去饭店，是吃中餐、西餐还是自助餐；假期旅游和科研成果的评价。诸如此类问题面临抉择，就要慎重考虑，反复比较，尽可能满意的决策。然而人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及经济社会和人文等方面的因素。在做比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度难以量化，人的主观选择会起着相当重要的作用。T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法（简称AHP），这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。二．层次分析法的基本步骤1.将决策问题分解为三个层次。最上层为目标层，最下层为方案层，中间层为准则层。2.通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重，这些权重在人的思想过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。3.将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。三．构造成对比较阵、计算权向量并做一致性检验；计算组合权向量并做组合一致性检验。1.成对比较矩阵和权向量所有因素两两相互对比，对比时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互对比的困难，提高准确度。假设要比较某一层n个因素对12,nccc上层一个因素O的影响，每次取两个因素iC和jC。用ija表示iC和jC对O的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵。A=(ija),ija0,jia=1/ija﹙由于此式给出的ija的特点，A称为正互反矩阵，iia=1﹚一般地，如果一个正互反矩阵A满足ijajka=ika。ijk=1,2n;则称A为一致阵，证明n阶一致阵A有下列性质。①A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。②A的任一列向量都是特征根n的特征向量。权向量：如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根n的归一化的特征向量。（即分量和为1）表示诸因素对上层因素O的权重。此向量称为权向量。记，作为权向量即满足A=。通常在层次分析法的应用中都会采用1-9尺度即比较尺度。（如下表1所示）尺度ija含义1357924681，1/2，1/9与的影响相同比的影响稍强比的影响强比的影响明显的强比的影响绝对的强与的影响之比在上述两个相邻等级之间与的影响之比为上面ija的互反数（表1）2一致性检验n阶正互反矩阵A的最大特征根为n，且（此为一致阵时）n阶正互反矩阵A的最大特征根是≥n，而当=n时是一致阵。CI=-n/n-1此为一致性指标，（CI=0时A为一致阵）CI越大A不一致程度越严重。为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的不一致性指标CI的标准，则需要引入随机一致性指标RI。（可以参考随机性一直性指标RI的数值）RI的计算过程为：对于固定的n，随机地构造正互反阵A，然后计算A的一致性指标CI。将成对比较阵A（n≥3）的一致性指标CI与同阶的随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR。当CR0.1时认为A的不一致程度在容许范围之内。（即一致性检验通过）3组合权向量计算个方案对目标的权向量，称为组合权向量。相类似于以上的方法做一致性检验。pCR=pCI∕pRI0.1(R=34s)；四实例分析1科研成果评价的层次结构模型通过对围绕科研成果评价的相关问题作深入分析，我们将影响科研成果评价的主要因素分解为4个层次，各层次的联系用相连的直线表示，它们构成了如图1所示的层次分析结构模型。其中第一层为目标层，第二层为准则层，第三层为子准则层，第四层为方案层。其中各项符号表示如下：（图1）11C：选题符合客观实际，理论依据正确；12C：研究方案具有科学性；13C：论证、推理合乎逻辑；21C：对已有理论做出新的解释、论证，使原有理论深化；22C：填补某项科学空白，具有国内、国际意义；23C：提出新理论、观点、概念，论证成立；31C：研究成果为有关部门决策与管理提供参考依据，具有很高的适用价值；32C：研究成果形成了可操作方法，实用性强，具有一定的推广价值；33C：省内、国内学术界同行放映强烈，具有较高的引用率。（一）模型的求解1计算成对比较矩阵。科研成果综合评价科学性1B创造性2B实践性3B111213CCC313233CCC212223CCC科研成果为了客观地确定各项指标在评价指标体系中的权重，我们采用问卷调查的方式调查了景德镇高等专科学校的100名老师。问卷调查表设计了15个问题，每个问题为各个子准则对各个准则的影响大小，以及各个准则对目标的影响的大小单独评分。被调查人员就自己认为的权重大小进行打分，以此收集得到原始的评分数据。根据调查结果，依据层次分析法常用的1-9尺度建立了准则层对目标层的成对比较矩阵如下：11311311133（1）在式（1）中：表示科学性1B与创造性2B对评价科研成果A的重要性之比为1；表示科学性1B与实践性对评价科研成果A的重要性之比为3，等等。在这里要注意的是成对比较阵中的元素应为1-9尺度中的数。用同样的方法，我们构造出了子准则层的每一个准则的成对比较矩阵，它们分别为：1B=11133131113，2B=11333131113,3B=11133131113(2)这里的矩阵中的元素是子准则的比较尺度。(二)计算权向量利用和合法计算各成对比较矩阵的A,1B,2B,3B的特征向量和特征根。其特征向量和特征根分别记为2w，31w，32w，33w和，1，2，3。计算如下：2w=[0.43，0.43，0.14]；=321w=[0.2583，0.637，0.1047]；1=3.03222w=[0.2，0.6，0.2]；2=323w=[0.2，0.6，0.2]；3=3由于各矩阵均为一致性矩阵，不需要进行一致性检验。（三）计算组合权向量。上面已经得出了各准则对目标的权向量2w和各子准则层对每一准则的权向量3kw（k=1，2，3）。令31w=21[,0,0,0,0,0,0,]Tw；32w=22[0,0,0,,0,0,0,]Tw；33w=23[0,0,0,0,0,0,]Tw；以31w，32w，33w为列向量构成一个123阶矩阵3w，则子准则对目标层的权向量3w=3w2w=[0.11,0.27,0.02,0.09,0.26,0.09,0.03,0.08,0.03]T（四）结论以上分析可知，在子准则层的九个影响因素中，“研究方案具有科学性”的权重排名第一，“填补某项科学空白，具有国内国际意义”的权重名排列第二，这些结论与现实中的情况是比较符合的，如具体评价某项科研成果的价值，可由上级主管部门给出该科研成果相应于子准则层每项的分值，再乘以各指标在综合评价中的权重并求和，即为这项成果的综合绝对评价的分值。2电视剧选择的模型本问题是一个层次分析模型，给出几种方案，并附出影响方案实行的几组因素，协调最有利因素达到最佳的抉择。简言之方案中如何利用数学方法建立起一个最佳方案的抉择。图2内容：（过程与求解）1建立层次结构模型2构造成对比较矩阵首先做出准则层对目标层的正互反矩阵目标层准则层方案层选择较为喜爱的电视剧艺术性C1教育性C2娱乐性C3西游记P1母亲P2清史P3雪山飞狐P4A=124112211142利用Matlab可以求出其最大特征根和所对应的特征向量。其为=3，=(0.8729,0.4364,0.2182)T下面对其进行检验此A是否为一致阵。易知CI=-n/n-1=0则又知有RI=0.58则一致性比率为CR=00.1故知此矩阵A为正互反矩阵。其次做出方案层对准则层的对应（1C，2C，3C）的权向量。其分别为：（针对艺术性）11232111124311413213212B利用Matlab软件求得：1(0.7518,0.1903,0.3768,0.5065)1=4.35731CI=0.092（针对教育性）2B=124111122411114231431利用Matlab软件求得：2(0.6242,0.2685,0.1706,0.7156)2=4.09682CI=0.0359（针对娱乐性）31234112221113321111423B利用Matlab软件求得：3(0.8162,0.4475,0.3252,0.1714)3=4.124130.046CI；这里RI均为0.90（参照一致性指标RI的数值）利用上述所得数据易知1B，2B，3B均为一致阵。并且给出列表2：R1234k0.75180.19030.37680.50680.62420.26850.17060.71560.81620.44750.32520.1714k4.35734.09684.1241kCI0.0920.03590.046表2根据此表计算各方案的对目标的权向量即组合权向量组合权向量：1P：（西游记）0.87290.7518+0.43640.6242+0.21820.8162=1.1062P：（母亲）0.87290.1903+0.43640.2685+0.21820.4475=0.38083P：（清史）0.87290.3768+0.43640.1706+0.21820.3252=0.47424P：（雪山飞狐）0.87290.5068+0.43640.7156+0.21820.1714=0.7918由所得出的权重知1P（西游记）在选择中占的权重最大，应做方案层时选择1P（西游记）。最后需坐组合一致性检验。易从表中得其CI都小于0.1故选1P为最佳方案。3中学教学评价模型课堂教学的评价是一个多因素、多层次、多准则的复杂的问题,其中的因素是人的主观判断,只能用定性表示,很难完全用定量的数学模型解决。而层次分析法是一种定量与定性相结合,将人的主观判断用数量形式表达和处理的方法。所以,利用层次分析法建立模型对这评价进行辅助决策,确定方案的权重,使评价工作变得更科学、合理、公正。（一）、层次分析法的基本思想层次分析法AHP是美国数学家萨迪T.L.Saaty在70年代提出的。在决策中,困难之处往往在于社会经济系统中的许多因素难以定量地测度,因为测度对象的属性大多数具有相对的性质,很难确定一种绝对标度,也往往缺少必要的测量工具进行测度。层次分析法提供了一种表示决策因素测度的基本方法。这种方法采用相对标度的形式,充分利用了人的经验和判断能力。这种测度统一了有形和无形,可定量和不可定量的众多因素。萨迪的层次分析法确定方案权重的思想如下:设有被选方案集图1{A,A…,A},依据某一准则C,采用1-9标度,用专家咨询法对各方案教学两两比较评分,得到的判断矩阵为111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa其中ai,j=1,2,……,n表示方案A与方案A比较的相对重要性程