浙江省考试院2013年高考数学测试卷(理)测试卷

参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A，B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率Pn(k)=pk(1－p)n-k(k=0,1,2,…，n)台体的体积公式V=其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高柱体的体积公式其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式S=4πR2球的体积公式其中R表示球的半径浙江省考试院2013年高考数学测试卷(理)测试卷姓名_____________准考证号__________________本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分(共50分)注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，则RA＝A．B．(－∞，0]C．(0，＋∞)D．R2．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab＞0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则A．函数f[g(x)]是奇函数B．函数g[f(x)]是奇函数C．函数f(x)g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数4．设函数f(x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f(x)的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则A．x1＞－1B．x2＜0C．x2＞0D．x3＞25．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|＝a，|AD|＝b，则ACBD＝A．b2－a2B．a2－b2C．a2＋b2D．ab6．设数列{an}．A．若2na＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列B．若anan+2＝21na，n∈N*，则{an}为等比数列C．若aman＝2m+n，m，n∈N*，则{an}为等比数列D．若anan+3＝an+1an+2，n∈N*，则{an}为等比数列7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是A．B．C．D．8．若整数x，y满足不等式组0,2100,3530,xyxyxy则2x＋y的最大值是A．11B．23C．26D．309．如图，F1，F2是双曲线C：22221xyab(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|:|BF2|:|AF2|＝3:4:5，则双曲线的离心率为A．13B．15C．2D．3ABCD(第6题图)侧视图正视图俯视图132侧视图正视图俯视图231侧视图正视图俯视图132侧视图正视图俯视图231xyOABF1F2(第9题图)10．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)，fn+1(x)＝f[fn(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为A．B．C．D．Oxy11－1－1Oxy11－1－1Oxy11－1－1Oxy11－1－1ABCOxy11－1－1(第10题图)非选择题部分(共100分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．已知i是虚数单位，a∈R．若复数2i2iaa的虚部为1，则a＝．12．设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn．若a22＋a32＝a42＋a52，则S6＝．13．若()2nxx(n为正偶数)的展开式中第5项的二项式系数最大，则第5项是．14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝2A，cosA＝34，b＝5，则△ABC的面积为．16．在△ABC中，B(10，0)，直线BC与圆Γ：x2＋(y－5)2＝25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为．17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2．若存在各棱长均相等的四面体P1P2P3P4，其中P1，P2，P3，P4分别在棱AB，A1B1，C1D1，CD所在的直线上，则此长方体的体积为．n＝12,i＝1n＝3n＋1开始n是奇数?输出i结束是否n＝n＝1?是否n2i＝i＋1(第14题图)ABCDA1B1C1D1(第17题图)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．(本题满分14分)已知函数f(x)＝3sin2ax＋3sinaxcosax＋2cos2ax的周期为π，其中a＞0．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求f(x)的值域．19．(本题满分14分)已知A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的6个顶点，在顶点取自A，B，C，D，E，F的所有三角形中，随机(等可能)取一个三角形．设随机变量X为取出三角形的面积．(Ⅰ)求概率P(X＝34)；(Ⅱ)求数学期望E(X)．20．(本题满分15分)如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2．(Ⅰ)求异面直线EF与BC所成角的大小；(Ⅱ)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为13，求AB的长．21．(本题满分15分)如图，F1，F2是离心率为22的椭圆C：22221xyab(a＞b＞0)的左、右焦点，直线l：x＝－12将线段F1F2分成两段，其长度之比为1:3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求22FPFQ的取值范围．22．(本题满分14分)已知函数f(x)＝x3＋32(1－a)x2－3ax＋1，a＞0．(Ⅰ)证明：对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有－1≤f(x)≤1；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a)，求g(a)的最大值．AEFDBC(第20题图)(第21题图)OBAxyx＝－21MF1F2PQ浙江省考试院2013年高考数学测试卷(理)测试卷答案及评分参考说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。1．B2．B3．C4．C5．A6．C7．D8．B9．A10．D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。11．212．013．358x614．1015．157416．(0，15)或(－8，－1)17．4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．本题主要考查三角函数的图象与性质、三角变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。(Ⅰ)由题意得f(x)＝32(1－cos2ax)＋32sin2ax＋(1＋cos2ax)＝32sin2ax－12cos2ax＋52＝sin(2ax－π6)＋52．因为f(x)的周期为π，a＞0，所以a＝1．…………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)＝sin(2x－π6)＋52，所以f(x)的值域为[32，72]．…………14分19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。(Ⅰ)由题意得取出的三角形的面积是34的概率P(X＝34)＝366C＝310．…………7分(Ⅱ)随机变量X的分布列为X3432334P310610110所以E(X)＝34×310＋32×610＋334×110＝9320．…………14分20．本题主要考查空间点、线、面位置关系，异面直线所成角、二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。(Ⅰ)延长AD，FE交于Q．因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．在梯形ADEF中，因为DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得∠AQF＝30°．…………7分(Ⅱ)方法一：设AB＝x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF．因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，连结DH，则DH⊥BF，所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．AEFDBC(第20题图)HGQ在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝3．在直角△BAF中，由ABBF＝sin∠AFB＝GHFG，得GHx＝214x，所以GH＝24xx．在直角△DGH中，DG＝3，GH＝24xx，得DH＝22324xx．因为cos∠DHG＝GHDH＝13，得x＝2155，所以AB＝2155．…………15分方法二：设AB＝x．以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(3，0，0)，D(－1，3，0)，B(－2，0，x)，所以DF＝(1，－3，0)，BF＝(2，0，－x)．因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取1n＝(0，1，0)．设2n＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则111120,30,xzxxy所以，可取2n＝(3，1，23x)．因为cos1n，2n＝1212||||nnnn＝13，得x＝2155，所以AEFDBC(第20题图)xzyAB＝2155．…………15分21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。(Ⅰ)设F2(c，0)，则1212cc＝13，所以c＝1．因为离心率e＝22，所以a＝2．所以椭圆C的方程为2212xy．…………6分(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－12，此时P(2，0)、Q(2,0)221FPFQ．当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－12，m)(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由221122221,21,2xyxy得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)1212yyxx＝0，则－1＋4mk＝0，故k＝14m．此时，直线PQ斜率为mk41，PQ的直线方程为)21(4xmmy．即mmxy4．OBAxyx＝－21(第21题图)MF1F2联立12422yxmmxy消去y，整理得2222(321)16220mxmxm．所以212216321mxxm，212222321mxxm．于是QFPF22(x1－1)(x2－1)＋y1y2)4)(4(1)(212121mmxmmxxxxx22122121))(14()161(mxxmxxm22222