1.5-有理数的乘法和除法

有理数的乘法和除法本课内容本节内容1.51.5.1有理数的乘法我们已经熟悉了非负数的乘法运算，那么如何计算（-5）×3，3×（-5），（-5）×（-3）呢？5×3=15，①例如动脑筋我们把向东走的路程记为正数.如果小丽从点O出发，以5km/h的速度向西行走3h后，小丽从O点向哪个方向行走了多少千米？小丽从O点向西行走了（5×3）km.由此，我们有（-5）×3=（5×3）②-我们已经知道(-5)×3=-(5×3)，探究那么3×(-5)，(-5)×(-3)又应怎样计算呢？非负数的乘法与加法是用分配律联系起来的，因此，当数扩充到有理数后，要规定有理数的乘法法则，当然也要求它满足分配律，以便把乘法与加法联系起来.如果它满足分配律，那么就会有3×(-5)+3×5=3×[(-5)+5]=3×0=0这表明3×(-5)与3×5互为相反数，于是有3×(-5)=-(3×5).③结论异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘.从②、③式受到启发，一般规定：3×(-5)=-(3×5)③(-5)×3=-(5×3)②（-）×（+）→（-）（+）×（-）→（-）结论任何数与0相乘，都得0.类似地，我们有(-5)×(-3)+(-5)×3=(-5)×[(-3)+3]=(-5)×0=0这表明(-5)×(-3)与(-5)×3互为相反数.因为(-5)×3=-15，而-15的相反数是15，所以(-5)×(-3)=15.即(-5)×(-3)=15=5×3.④由④式看出，(-5)×(-3)得正数，并且把绝对值5与3相乘.结论同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘.从①、④式受到启发，于是规定：(-5)×(-3)=15=5×3③5×3=15②（+）×（+）→（+）（-）×（-）→（+）例1计算：（1）3.5×（-2）；（2）；（3）；（4）（-0.57）×0.3289133()解（1）3.5×（-2）=-(3.5×2)根据乘法法则=-73.5)和(-2)为异号，结果为负3.5和(-2)的绝对值相乘解（2）=根据乘法法则=为异号，结果为负它们的绝对值相乘328932891123289和解（3）=根据乘法法则=1为同号，结果为正解（4）（-0.57）×0根据乘法法则=0任何数与0相乘，结果为0133()133133和1.填表:因数因数积的符号绝对值的积积-27-10.3-10-1414-[phone]练习2.计算：（1）；（2）.215348515125229在小学我们已经学过乘法的交换律、结合律，那么这两个运算律在有理数范围内是否也适用呢？填空：（1）(-2)×4=，4×(-2)=；-8-8动脑筋（2）[(-2)×(-3)]×(-4)=×(-4)=，(-2)×[(-3)×(-4)]=(-2)×=.6-2412-24从上面的填空题中，你发现了什么？结论乘法交换律：×=×.abab即，两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变.结论乘法结合律：(×)×=×(×).ababcc即，对于三个有理数相乘，可以先把前两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变．和加法类似，根据乘法交换律和乘法结合律可以推出：三个或三个以上有理数相乘，可以写成这些数的连乘式．对于连乘式，可以任意交换因数的位置，也可先把其中的几个数相乘．（1）填空：动脑筋(-6)×[4+(-9)]=(-6)×=，(-6)×4+(-6)×(-9)=+=.-53054-2430（2）换几个有理数试一试，你发现了什么？结论乘法对加法的分配律（简称为分配律）：×(+)=×+×.bcaabac（-1）a=-a利用分配律，可以得出即，一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.例2计算：（1）；（2）（-12.5）×（-2.5）×（-8）×4.1111605234解（1）=将分数逐个与60相乘=30-20-15+12=7分数与整数60相乘计算结果11116052341111606060605234解（2）(-12.5)×(-2.5)×(-8)×4=(-12.5)×(-8)×(-2.5)×4(-12.5)和(-8)相乘为整数=100×(-10)(-2.5)和4相乘为整数=-1000相乘为整数的先结合起来(-12.5)和(-8)为同号相乘(-2.5)和4为异号相乘(-10)和100相乘为异号下列各式的积是正数还是负数？积的符号与负因数（因数为负数）的个数之间有什么关系？（1）（-2）×（-3）×（-4）；（2）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）.几个不等于0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.说一说例3计算：（1）（-8）×4×（-1）×（-3）；（2）.1103.255()()()解（1）(-8)×4×(-1)×(-3)=-(8×4×1×3)将负号提出来绝对值进行相乘=-96先确定积的符号解四个负号相乘，结果为正号绝对值进行相乘=32先确定积的符号（2）1103.255()()()1=103.2551.计算:（1）(-2)×17×(-5)；（2）(-15)×3×(-4)；（3）；（4）0.125×9×(-8)；（5）(-5)×(-4)×(-3)；（6）(-1.5)×6×(-4)；（7）；（8）(-10)×28×0.1744-11623练习1.解（1）(-2)×17×(-5)=2×5×17=170（2）(-15)×3×(-4)=15×4×3=180（3）117447744---（4）0.125×9×(-8)=-(8×0.125)×9=-9（5）(-5)×(-4)×(-3)=-(5×4×3)=-60（6）(-1.5)×6×(-4)=1.5×4×6=36（7）11116612323（8）(-10)×28×0=02.计算:（1）；（2）（-4）×（-3）×（-5）×（-2.5）.3142051042.解（1）3142051043142020205104651617（2）（-4）×（-3）×（-5）×（-2.5）=4×3×5×2.5=1501.5.2有理数的除法我们知道2×3=6，因此6÷3=2.①那么如何计算（-6）÷3，6÷（-3），（-6）÷（-3）呢？探究（-6）÷3=?，6÷（-3）=?，（-6）÷（-3）=?由于（-2）×3=-6，因此，（-6）÷3=-2.②类似地，由于（-2）×（-3）=6，由于2×（-3）=-6，因此，6÷（-3）=-2，③因此，（-6）÷（-3）=2.④从这些例子受到启发，抽象出有理数的除法运算；对于两个有理数a，b，其中b≠0，如果有一个有理数c，使得cb=a，那么规定a÷b=c，且把c叫作a除以b的商.结论同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0.有理数的除法是通过乘法来规定的，因此由①至④式可以得出：（+）÷（+）→（+）（-）÷（-）→（+）6÷3=2①(-6)÷3=-2②6÷(-3)=-2③(-6)÷(-3)=2④（-）÷（+）→（-）（+）÷（-）→（-）例4计算：（1）（-24）÷4；（2）（-18）÷（-9）；（3）10÷（-5）.解（1）（-24）÷4=-(24÷4)根据除法法则(-24)和4为异号相除结果为负解（2）（-18）÷（-9）=+(18÷9)根据除法法则（-18）和(-9)为同号结果为正=-6=2解（3）10÷（-5）=-(10÷5)根据除法法则10和(-5)为异号相除结果为负=-2试问：10÷(-5)还可以怎样计算？我们已经知道10÷（-5）=-2，所以⑤1105105()动脑筋11025又由于，因此，我们把叫做-5的倒数，把-5叫做的倒数.1515()1515一般地，如果两个数的乘积等于1，那么把其中一个数叫做另一个数的倒数，也称它们互为倒数.0没有倒数.1155()因此，⑤式表明10除以-5等于10乘-5的倒数.⑤1105105()结论除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数.一般地，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，即也可以表示成10()ababb例5计算：（1）；（2）；（3）.3157221531123解（1）=（-12）×3根据除法法则异号相乘，结果为负解（2）=根据除法法则异号相乘，结果为负1123的倒数是313=-3631577153=-35的倒数是3773解（3）=根据除法法则同号相乘，结果为正22153=2315215的倒数是23-32-1.计算：（1）14÷(-7)；（2）(-36)÷(-3)；（3）0÷(-0.618)；（4）(-48)÷12.练习1.解（1）14÷(-7)=-2；（2）(-36)÷(-3)=12；（4）(-48)÷12=-4.（3）0÷(-0.618)=0；2.填空：（1）因为×=1，所以的倒数是；（2）的倒数是；-3的倒数是.161658-685-6133.计算：（1）(-36)÷(-0.6)；（2）；（3）；（4）.1471825()51512460-289519下面的算式含有乘、除两种运算，怎样进行有理数的乘、除混合运算呢？182?2()()议一议可以按从左到右的顺序依次计算.也可以先将除法转化为乘法.例3计算：（1）（-56）÷（-2）÷（-8）；（2）（-10）÷[（-5）×（-2）]；1563()（3）312.444（4）解（1）（-56）÷（-2）÷（-8）=28÷（-8）可以依次计算先算前两个数异号相除，结果为负=72（2）（-10）÷[（-5）×（-2）]；解=（-10）÷10先计算后两个=-1解=-30×（-3）可以依次计算先算前两位数=90依次计算=0.8（3）1563()（4）312.444解41=2.434()下面是小明同学做的一道计算题，他的计算是否正确？如果不正确，说说他错在哪里.说一说14841484422()()()()()()148411484111248()()()()不正确，应该依次计算计算器是日常生活中常用的一种现代计算工具，因此我们可以利用计算器来计算.计算器有各种型号，型号不同，操作方法略有不同.下面我们以某种型号的计算器（图1-17）为例介绍操作方法.图1-17某