山东建筑大学 历年线性代数试题

06-07-1《线性代数》试题A一、选择题（每小题4分，共20分）1．设四阶矩阵234,,,A，234,,,B，其中234,,,,均为4维列向量，且已知行列式4A，1B，则行列式BA（）（A）5；（B）4；（C）50；（D）40。2．设A为3×3矩阵，B为4×4矩阵，且1A，2B，则AB（）。（A）2；（B）4；（C）8；（D）1。3．设A是n阶方阵，且nrR)(A，则在A的n个行向量中（）.（A）必有r个行向量线性无关（B）任意r个行向量线性无关（C）任意r个行向量都构成极大线性无关组（D）任意一个行向量都可以由其余1r个行向量线性表示4．若齐次方程组0AX有无穷多解，则非齐次方程组BAX()A必有无穷多解；B可能有唯一解C必无解；D有解时必有无穷多组解.5．设三阶方阵A的三个特征值为10,23,36，对应于1的特征向量为Tx1011,,，对应2的特征向量为Tx1122,,，记向量213xxx，则().A3x是对应于特征值10的特征向量.B3x是对应于特征值23的特征向量.C3x是对应于特征值36的特征向量.D3x不是A的特征向量.二、填空题（每小题4分，共20分）1．设n维向量组)(,,,,nsss121线性无关，则向量组s,,,21的秩为.山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案12．已知矩阵A与2035B相似，则矩阵A的特征值为。3．行列式dcbaD000321200503.4．设T9753,,,，T0251,,,，向量满足523，则.5．设A为n阶方阵，且2A，则*AA.三、(8分)计算1n阶行列式xxxxxaaaaDnn00000002101四、(8分)求解下面矩阵方程中的矩阵X021102341010100001100001010X五、（8分）设向量组321,,线性相关，向量组432,,线性无关，证明(1)1能由32,线性表示；(2)4不能由321,,线性表示.六、（10分）设223321321321xxxxxxxxxλλλλ，问取何值时，此方程组有惟一解，无解或无穷多解？并且有无穷多解时，求通解。山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案2七、（10分）求向量组4321,,,的秩和它的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。其中32101，34232，36023，46214.八、（16分）已知二次型322322213214332xxxxxxxxf,,，通过正交变换化作标准形，给出所作的正交变换。山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案306-07-1《线性代数》试题B一、选择题（每小题4分，共20分）1．设,101211212211yxyx则2211yxyx（）.6A.32B.32C6D2．A是n阶矩阵，k是非零常数，则*Ak（A）1nkA；（B）1nkA；（C）11nnn-kA；（D）11nn-kA3．若向量组,,线性无关，,,线性相关，则（）。（A）必可由,,线性表示（B）必不可由,,线性表示（C）必可由,,线性表示（D）必不可由,,线性表示4．齐次线性方程组0Ax仅有零解的充要条件是（）.（A）系数矩阵A的行向量组线性无关；（B）系数矩阵A的列向量组线性无关；（C）系数矩阵A的行向量组线性相关；（D）系数矩阵A的列向量组线性相关。5．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵TAPP1的属于特征值λ的特征向量是（）（A）1P；(B)TP；(C)P；(D)T1P。二、填空题（每小题4分，共20分）1.若44321),,,(R，321,,R=.2．已知矩阵A与2035B相似，则矩阵A的行列式A.山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案43.设042031200A,则A1=.4．向量组Ta211,,，T6632,,线性相关，则a。5.设矩阵121nA，121nB，其中11,,,n,都是n维列向量，若A的行列式aA，B的行列式bB则BA的行列式BA。三、（8分）计算行列式nnaaaaD11111111111111111111321，其中),,1(0niai四、（8分）设A，B为3阶方阵，且满足BAABAA61，若710004100031A，求B。五、（8分）证明题（1）证明可逆矩阵的特征值都不为零.（2）设矩阵,AB及AB都可逆，证明11AB也可逆，并求其逆矩阵.六、（10分）取何值时，方程组32132132138424631542xxxxxxxxx有解，有解时求出通解。山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案5七、（10分）设有向量组T)2,0,1,1(1，T)0,0,1,1(2，T)2,2,2,2(3，T)2,1,1,2(4，T)0,1,0,1(5，求该向量组的秩和它的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。八、(16分)用正交变换化二次型32232221321622,,xxxxxxxxf为标准形，给出所用的变换yPx，并指出f是否为正定的.山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案606-07-2《线性代数》试题A一．填空题（本题满分12分，每小题3分）1、设0是矩阵aA01020101的特征值，则a_____________2、已知矩阵kkkk111111111111A，且A的秩3Ar，则k___________．3、设5200210000120011A，则1_______A.4、设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B.二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．设A是4阶矩阵，且A的行列式0A，则A中【】．A.必有一列元素全为0；B.必有两列元素成比例；C.必有一列向量是其余列向量的线性组合；D.任意列向量是其余列向量的线性组合．2．设333231232221131211aaaaaaaaaA，133312321131131211232221aaaaaaaaaaaaB，山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案71000010101P，1010100012P，则必有【】．A.BPAP21；B.BPAP12；C.BAPP21；D.BAPP12．3．设12,,,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是【】(A)若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性相关.(B)若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性无关.(C)若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性相关.(D)若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性无关.4．设21,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)(21A线性无关的充分必要条件是【】(A)01.(B)02.(C)01.(D)02.三．计算行列式（本题满分6分）11111110000011000011nD四．（本题满分12分）设n阶矩阵A和B满足条件：ABBA．⑴证明：EA是可逆矩阵，其中E是n阶单位．⑵已知矩阵200012031B，求矩阵A．五．（本题满分14分）当a、b为何值时，线性方程组山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案812323122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．六．（本题满分12分）求矩阵300121103A的特征值和特征向量，并回答A是否能对角化？为什么？七．（本题满分12分）问取何值时，二次型32312123222142244xxxxxxxxxf为正定二次型？八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为0111，，α，1012，，α，1103，，α求向量002，，β在上述基下的坐标．九．（本题满分12分）设n维向量组12,,,m线性无关，12,,,,m线性相关，试用两种．．不同的方法证明可由12,,,m线性表示，且表示法唯一.山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案906-07-2《线性代数》试题B一．填空题（本题满分15分，每小题3分）1、已知11111321x是关于x的一次多项式，该式中x的系数为____________2、已知线性方程组ayxyxyx25320有解，则a___________3、设0001002003004000A，则1_______A4、设二次型,84444),,(32312123222321xxxxxxxxxxxxf则该二次型),,(321xxxf的秩为_________.5、已知12,为2维列向量，矩阵1212(2,)A，12(,)B.若行列式||6A，则||B.二、选择题（本题满分15分，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．设A是65矩阵，而且A的行向量线性无关，则【】．A.A的列向量线性无关；B.线性方程组BAX的增广矩阵A的行向量线性无关；C.线性方程组BAX的增广矩阵A的任意四个列向量线性无关；D.线性方程组BAX有唯一解．2、若n阶方阵A与B的秩相等，则下列成立的是【】（A）必存在n阶可逆矩阵QP,使得BPAQ（B）必存在n阶可逆矩阵P使得BAPP1（C）必存在n阶可逆矩阵P使得BAPPT（D）必有BA山东建筑大学《线性代数》近年试题及参考答案103．已知12,是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解向量，12,是齐次线性方程组Axo的基础解系，12,kk为任意常数，则方程组Axb的通解必是【】(A)1211222kk；(B)12112122kk；(C)12112122kk；(D)12112122kk。4．n阶矩阵A具有n个不同特征值是A与对角阵相似的【】．A.充分必要条件；B.充分而非必要条件；C.必要而非充分条件；D.既非充分也非必要条件．5、设321aaa,,线性无关，baaa,,,321线性相关，则【】.A,,21aab线性无关.B,,21aab线性相关