七年级数学提优22-角

22.角问题解决例1（内蒙古呼和浩特中考题）把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠°，则∠=_______．70AOBBOG【答案】111(180)(18070)222BOGBOBAOB．55例2（山东省中考题）如图，在一条直线上，∠AOB、、∠若∠∠2，则图中互余的角共有（）．AOCBOC、1A．5对B．4对C．3对D．2对【答案】B9012.AOCBOCCODAOE、、例3如图，已知∠∠平分∠且∠2BOCAOCOD、AOB、°，求∠的度数．19CODAOB【答案】由3232BOCxAOBxAODx、、、AOD得，解得，故AOCCOD、3192xx30x3AOB．38114例4将一副三角板的两三角板如图放置，平分∠OM平分∠．AOCON、DOC（1）将45°三角板绕点旋转（30°角的三角板不动），求O∠的大小．MON（2）若将30°角三角板换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变，（1）中的结论是否变化？（直接写出结论，不必说明理由）【答案】（1）在旋转的过程中，这一关系不变，从而．12MONAOD22.5MON（2）略例5已知：是直线上的一点，∠是直角，平分∠．OABCODOEBOCOBDEACDECAO图①图②M（1）如图①，若∠°，求∠的度数；30AOCDOEB'C'GOBDACEODBAC12DCBAO30°CBAOD45°（2）在图①中，∠，直接写出∠的度数（用含的代数式表示）；AOCDOE（3）将图①中的∠绕顶点顺时针旋转到图②的位置．DOEO①探究∠与∠的度数之间的关系；AOCDOE②在∠的内部有一条射线，满足∠∠∠+∠，试确AOCOFAOC42AOFBOEAOF定∠与∠的度数之间的关系，并说明理由．AOFDOE分析与解对于（3）②，为方便设∠,∠，将条件等式变形为只含DOExDOEyxy、的等式．（1）15°（2）2DOE（3）①．12DOEAOC②左边=2∠424DOEAOFxy、右边=22(90)1802BOEAOFxyxy、即得241802xyxy、45180xy、．45180DOEAOF钟表上的角度例6在0时到12时之间，钟面上的时针与分针在什么时候成60°的角？试尽可能多地找出答案，又秒针与时针共有几次成60°的角？分析与解直觉作答或近似估计，可得到一些答案，而通过方程可使我们找到问题全部的解．而列方程解答，又有几种不同的解题策略：（1）分别对两个整点之间的答案列出方程求解；（2）在上述基础上寻找规律求出全部解；（3）将问题看成圆周追及问题．设分针的速度为每分钟1个单位长度，则时针的速度为．将时针、分针看成两个不同速度的人在环形跑道上同时（从0时开始）开始同向而112行，要求使两者相距10个单位长度所用的时间．设从0时开始，过分钟后分针与时针成60°的角，此时分针比时针多走了圈（xn），则012311n、、、、、，或601012xxn605012xxn、解得．1212(6010)(6050)1111xnxn、分别令，即得本题的所有22个解（精确到秒）：012311n、、、、、0：54：33，2：00：00，3：06：27，4：10：55，5：16：22，6：21：49，7：27：16，8：32：44，9：38：11，10：43：38，：11：49：05；1：16：22，2：21：49，3：27：12111098765432116，4：32：44，5：38：11，6：43：38，7：49：05，8：54：33，10：00：00，11：05：27，0：10：55．在12小时内，秒针相对于时针走了60×12-1=719圈，所以秒针与时针共有719×2=1438次成60°的角．数学冲浪知识技能广场1．一个角的余角比它的补角的还少20°，则这个角是_______．13【答案】752．（山西省临汾市中考题）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．（1）若∠°，则∠_______；145AODBOC（2）若∠∠则∠_______．4AODBOC、AOC【答案】（1）35；（2）54EDCBOAOBECDACBDOA（第2题）（第3题）（第4题）3．（“华罗庚杯”邀请赛试题）如图，∠是钝角，是三条射线，若AOBOCODOE、、平分∠平分∠，那么∠的度数是_______．OCOAOD、AOB、OEBOCDOE【答案】1452DOEAOC4．如图，是直线上一点，∠°，∠°，平分∠，则OAB120AOD90AOCOEBOD图中彼此互补的角有_______对．【答案】65．（广西竞赛题）在时刻8:30，时针上的时针与分针之间的夹角为（）．A．85°B．75°C．70°D．60°【答案】B6．（“希望杯”邀请赛试题）如图所示的4×4的方格表中，设∠，∠ABDDEF，∠，则（）．CGHA．B．C．D．【答案】BCDGFHEBAOBA21（第6题）（第7题）7．如图，在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（）．AOB、、A．B．C．D．12121321221(21)21(21)3【答案】C8．（山东省中考题）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的EFDC、DC、位置．若∠°，则∠等于（）．65EFBAEDA．70°B．65°C．50°D．25°【答案】C（第8题）（第9题）D‘C'FEBDACEBDACO9．如图，已知为∠内三条射线．OBOCOD、、AOE（1）图中共有多少个角？（2）若为∠四等分线，且图中所有锐角的和为400°，求∠的OBOCOD、、AOEAOE度数；（3）若∠°，∠°，求图中所有锐角的和．89AOE30BOD【答案】（1）有10个角；（2）（3）416．80;AOE10．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，与PAPB、直线重合，且三角板三角板均可以绕点逆时针旋转．MNPAC、PBDPEFCCCDDDMMMNNNBABABAPPP图①图②图③（第10题）（1）试说明：∠°；90DPC（2）如图②，若三角板∠的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度，平PACPAPNPPF分∠平分∠求∠；APDPE、CPD、EPF（3）如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为3°/s，同PACPAPNP时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角形旋转PBDPBPMP过程中（转到与重合时，两三角板都停止转动），问的值是否变化？若不PCPMCPDBPN变，求出其值；若变化，说明理由．【答案】（1）略（2）设30EPF、.CPEDPExCPFy、（3）设运动时间为秒，则t21802BPMtBPNt、、302DPMt、．3APNt、18090CPDDPMCPQAPNt为定值．90118022CPDtBPNt、思维方法天地11．以∠的顶点为端点引射线，使∠∶∠=5∶4，若∠AOBOOCAOCBOC15AOB°，则∠的度数是_______．AOC【答案】若射线在的内部，则若射线在∠的外部，则AOB820;AOCOCAOB∠°．75AOC12．在上午10时30分到11时30分之间，时针和分针成直角的时刻是_______．【答案】10点38分或11点10分设10点30分以后，过分钟，时针与分针的夹角2111011x为90，由或得或．60.513590xx60.513590xx2811x10401113．（“希望杯”邀请赛试题）如图，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=_______．【答案】45通过拼补计算12E（第14题）ODABC（第13题）14．如图，∠°，∠°，那么不大于90°的角有_______个，它们的45BOD90AOE度数之和是_______．【答案】10；45015．（江苏省竞赛题）如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线那么这两ABAC、、条对角线的夹角等于（）．A．60°B．75°C．90°D．135°【答案】A123OEFBDAC（第16题）BAC（第15题）16．（青海省中考题）如图，直线相交于点于点平分∠ABCD、OOEAB、OOF、∠1=15°31′，则下列结论中不正确的是（）．AOE、A．∠2=45°B．∠1=∠3C．∠与∠1互为补角D．∠1的余角等于75°31AOD′【答案】D17．（广西竞赛题）如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的和等于（）．A．270°B．315°C．360°D．405°【答案】D沿作对折时，上、下图形能够重合，得∠1+∠9=∠2+∠6=∠4+∠8=90．ABABOEFBDAC（第19题）978456123OMNBDAC（第18题）（第17题）18．如图，是∠的任意两条射线，平分∠平分∠若OBOC、AODOMAOBON、COD、∠，∠，则表示∠的式子是（）．MONBOCAODA．B．C．D．以上都不正确2【答案】A19．如图，在直线上取一点，在同侧引射线，使∠和ABOABOCODOEOF、、、COE∠互余，射线和分别平分∠和∠，试探究∠+∠与∠BOEOFODCOEBOEAOFBOD的关系，并说明理由．DOF【答案】9045135COEBOEDOFAOFBOD、、、从而=．AOFBOD3DOF20．如图①，点为直线上一点．过点作射线，使∠°，将一直角三OABOOC120BOC角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．OOMOBONABNO图①图②图③MMNOCABCMABBNACO（1）将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转到图②，使一边在∠的内部，OOMBOC且恰好平分∠．问：直线是否平分∠?请说明理由；BOCONAOC（2）将图中的三角板绕点按每秒60°的速度逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，O直线恰好平分∠，求的值；ONAOCt（3）将图①中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图③的位置，使在∠的内OONAOC部．请探究：∠与∠之间数量关系，并说明理由．AOMNOC【答案】（1）平分（3）．ON;(2)1040;AOCt、30AOMNOC应用探究乐园21．（1）时针在2点15分时，时针和分针的夹角是多少度？（2）晚饭后，小明准备外出散步，出妯时看了一下钟，时间是6点多，时针与分针成90°角，散完步后回家，小明又看了一下钟，还不到7点，而时针与分针又恰好成90°角，问小明外出多少分钟？【答案】（1）22.5（2）由题意得:18060.59061800.590xxyy、、解得．4114816494916321111111111xyyx、、即小明出去了分钟．8321122．已知∠0°，是∠内的一条射线，射线平分∠，射线15AOBOCAOBODAOCOE平分∠．BOD（1）若∠∠（如图①），求∠；AODEOCAOD（2）设∠，求的值．(50)AOD||AODBOECOEO图图图图图图图①OABABEBDAOC【答案】（1）∠°30AOD（2）如图①，当时，原式=如图②，当时，原50|3150|15031;1503150350式=．|3150|3150131503150图①图②OAOEDCBBCDEA