排列组合学案

高二数学集体备课学案与教学设计章节标题选修2-3排列组合专题计划学时1学案作者杨得生学案审核张爱敏高考目标掌握排列、组合问题的解题策略三维目标一、知识与技能1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.二、过程与方法通过问题的探究，体会知识的类比迁移。以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法三、情感态度与价值观通过师生互动，生生互动的数学活动，形成学生的体验认识，并体验成功的喜悦。提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。教学重点教学难点及解决措施重点：排列、组合综合题的解法．难点：正确的分类、分步．教学要点经典例题一、邮信问题：把4封信投入3个邮箱有多少种方法。解析：这类问题首先分清哪个有限制条件，以有限制条件的为主体研究。（即指数形式，有条件的为指数在上边无条件的在下边）如本题中的信有条件，即一封信只能投入一个信箱，所以，3种，3种，3种，3种。共43种。练习：若A=｛a,b,c｝,B={1、2、3、4、5}，则从集合A到集合B一共可以有多少个不同的映射；从集合B到集合A一共可以有多少个不同的映射？125、243二．排序问题：1.优限(先)法：特殊元素优先或特殊位置优先。。例：4名男生和4名女生排成一排，女生不排首末两端，则不同的排法数为：先排男生6624AA或先排女生4446AA2.捆绑法：用于在一起相邻，整体性的问题。例：6人站成一排，其中甲，乙、丙3人站在一起的所有排列的种数为：4433AA3.插空法：用于元素不相邻的问题，先排无条件的，再插空。（1）不同元素与不同元素间的间的不相邻。例：7人站成一排，其中甲，乙、丙3人不在一起的所有排列的种数为：（有序）先排其余4人，产生5个空，再排3人：3544AA（2）不同元素与相同元素间的不相邻。例：3个人坐在8个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法有多少种？解析：可以看作先将5个座位放好，三个人带着各自的座位坐在中间的4个空隙中的三个位置上有34A＝24种（座位无序不排）（半有序）（3）相同元素与相同元素间的不相邻。例:一排路灯有10盏，为了节约用电，灭掉3盏，要求不能灭两边的且灭灯不相连，有多少种方法？（无序）36C4．留位法：用于个别顺序固定的，先在所有位置上排无条件的，有条件还进入即可。例：五名学生站成一排,其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数为5521A或35A解:方法1.留位法：在5个位置上先排3人，其余两人站入即可。35A方法2：因两人可交换顺序,则有2种排法,顺序固定时,则排法少了一半.故选5521A。变式：若把英语单词“look”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有___11___种。解析：同本例即oo无序不排，在四个位置上排l,k即可24A，或去序2244AA都－1＝11练习：四名男生和三名女生排成一排，（1）甲乙二人必须站在两端的排法有多少种？5522AA=240（2）甲乙二人不能站在两端的排法有多少种？5525AA=2400（3）甲不站在排头，乙不站在排尾的排法有多少种？方法1：直接。①甲排尾，66A②甲不排尾，15A5515AA共有：66A+15A5515AA=3720方法2：间接。77A-266A+55A=3720（4）女生不相邻的排法有多少种？（插空法）男生先排44A共产生5个空位，插入3个女生35A。共有：44A35A=1440种（5）甲乙两人中间间隔两人的排法有多少种？先从5人（除甲乙）中，选二人排到甲乙中间有25A种排法，再排甲乙22A，此4人视为一体与另3人排列有44A种。所以共有25A22A44A=960种（6）甲排在乙的右边有多少种不同的排法？（留位法）57A或7721A=2520种三、排数字：例：用0、1、2、3、4、5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数。末位13A，首位14A，中间24A。故共在：13A14A24A（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数。①0在末位35A。②0不在末位：先排末位12A，再首位14A，中间24A。即12A14A24A共有：35A+12A14A24A＝156（3）能组成多少个无重复数字的四位数字，且个位小于十位数字。①没0：先排后两位且不排列25C，再排前两位23A故2325AC=60②有0：在末位时，35A=120。不在末位时，0只能在第二位，1325AC=30共有2325AC+35A+1325AC＝150（4）能组成多少个无重复且大于345012的数字。（排大小：从高位到低位逐位排）269练习：用数字1,2,3,4,5可以组成_________个没有重复数字且比13000大的正整数.114解:分两类:第一类,万位比1大,有4种不同的选法,其余任意排列,有96444A个,第二类，万位为1,则千位有3,4,5三种选法,其余任意排列,有18333A个;共有18+96=114个.四、隔（档）板法：处理无序分组问题．要点：元素相同。有两类，空与不空把n个小球放入不同编号的m个盒子中,（1）每个盒子至少放一个有多少种放法。（2）盒子容量不限有多少种放法。解析：（1）每个盒子至少放一个直接用档板法：把n个小球排成一排，中间产生n－1个空，插入m-1个档板，(分成m份)放入盒中即可。故11mnC种例1：10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，每盒中至少有1个，有多少种放法。解：把10个小球排成一排，中间产生9个空，插入两个档板，(分成3份)即可，故有29C＝36（2）盒子容量不限，即盒子可以有空的，直接插空不会有空的，若讨论很麻烦，故此题的处理方法是：将n个球和m－1个档板（分成m份用m－1个档板）全放在一起。共需要n+m－1个位置，在这些位置上任意放n个球（或m－1个档板）有nmnC1种（或11mmnC）。这样可以保证隔板在一起，即可空盒。例2：10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，有多少种放法。（可空）解：10个球和2个板共用12个位置，看板212C变式1：把10个苹果分给3个人，每人至少两个苹果有多少种分法。解析：10转化成例1：先每人分1个，把余下的7个苹果再分给3人，隔板法，产生6个空插入2个板，26C＝15种。20转化成例2：先每人分两个再用例2方法26C变式2：把10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒子放球的个数不小于基编号，有多少种放法。解析：10转化成例1：先放球，1号不放，2号放1个，3号放2个，变成例1，即变成每盒至少1个.26C＝15。20转化成例2：1号盒放1个，2号盒放2个，3号盒入3个，利用例2的方法，再26C变式3：A=｛a1，a2，……a60｝，B=｛b1，b2……b25｝，每个象都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤……≤f(a60),这样的映射有多少个？解：此题相当于把60个小球放入25个盒子中（不空）则有2459C种。五．能人问题：方法：此类问题以哪类人分类都可，但主要是分类的标准一定要明确，可以按其中一类人的参与情况分类，也可以以能人参加其中一项为标准分类；也可按能人的参与情况分类，能人不参加；能人一人参加；能人两人参加，一般哪个情况少以哪个分类。例.车间有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外2名老师傅即能当车工,又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工、4名车工修理一台机床,问有多少种选派方法?解析:按钳工的参与情况分类。5名钳工有4名被选上的方法有754645CC种;5名钳工有3名被选上的方法有100451235CCC种;5名钳工有2名被选上的方法有10442225CCC种.共有75+100+10=185种.练习：有11名划船运动员,其中有5人会左浆,4人会右浆,还有甲、乙两人即会左浆,又会右浆,现要派出4名左浆手,4名右浆手,组成划船队,有多少种选派方案?解:5名左浆手有4名被选上的方法有754645CC种;5名左浆手有3名被选上的方法有100451235CCC种;5名左浆手有2名被选上的方法有10442225CCC种.共有75+100+10=185种.六、分组问题、分配问题：它们的主体区别：分组问题没有序，分配问题有序1、平均分组/配问题：对于km个不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分配种数是mmkmkmCC)1(…mmC（有序）平均分组的种数是kkmmmmkmkmACCC)1(（无序）2、混合分配问题：是指在分配中既含有平均分配的情况，又含有不平均分配的成分，注意平均分成k组的部分要除以kkA，只后再排列。如：10个人分成三组，人数分别为2、4、4，参加3种不同劳动，分法种数为33224448210AACCC例：有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法。（1）分成1本，2本，3本三组。（2）分给甲，乙，丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本。（3）分成每组都是2本的三个组。（4）分给甲，乙，丙三人，每人2本。解析：（1）分三步，先选一本有16C种选法，再从余下的5本书中选两本25C种选法，最后余下的三本全选有33C种选法。故共有：16C25C33C＝60种（分堆）（2）由于甲，乙，丙是不同的三个人，在（1）的基础上再分配。所以共有16C25C33C33A＝360种（3）先26C24C22C，但这里面出现了重复，（其实这就已经分配了，有序）要想分组无序就要除以33A，所以有33222426ACCC＝15种（可用4个元素举例好说一些）（4）在（3）的基础上再分配即可，共有33222426ACCC33A＝90或直接26C24C22C＝90练习1：3名医生和6名护士，被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有_______种。33A26C24C22C=540练习2：4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有多少种（答：37440）；解析：先排4名医生排列数为44A。再排护士，由题知有两种情况：①分配人数为3、1、1、1。其中3人36C，其余三个1人可平均分组也可不分直接排44A所以36C44A=480（分组443311121336AACCCC）②分配人数为2、2、1、1的，2、2行平均分组222426ACC其余两个1人可直接排（或221112ACC），故有222426ACC44A=1080（或222426ACC.221112ACC.44A=1080）。所以护士分配方法有36C44A+222426ACC44A=1560所以共有排列方法：（36C44A+222426ACC44A）44A=37440七、环状排列问题：从n个不同元素中取出m个元素的环状排列的种数有mAmn种；特殊的n个不同元素的环状全排列的种数为nAnn＝（n-1）!(由于环状有重复一样的)例：由a、b、c、d四个元素组成的环状排列有多少个？分析：由a、b、c、d组成的全排列有44A＝24个。其中4个全排列abcdbcdacdabdabc在环状排列中只算作1个排列，故由4个不同元素组成的环状排列有：44！＝3！＝6种八．涂色问题：1、区域涂色问题：根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。例1.用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240练习：用4种不同的颜色去涂矩形的四个区域（如图），要求相邻两个区域颜色不同，个区域只涂一种颜色，则一共有多少种涂法。解析：注意讨论2与4的同色与不同色两种情况。84种（1）2与4同色时，1有4种，2有3种，3有3种4与2同色不排，所以，4