七年级数学提优9-绝对值与方程

9．绝对值与方程问题解决例1方程的解是_______．525xx【答案】由，得，所以或|5|52xx5525(52)xxxx①0x10x．经检验知时，方程左右两边不等，故舍去．从而原方程的解为．0x10x例2若关于的方程无解，只有一个解，有两x230xm340xn450xk个解，则的大小关系为（）．mnk①①A．B．mnk①①nkm①①C．D．kmn①①mkn①①【答案】A，由题意得|23||34|xmxn①①|45|xk从而000mnk①①①000.mnk①①例3解下列方程：（1）；（天津市竞赛314xx题）（2）；（北京市“迎春杯”竞赛题）311xxx（3）．（“希望杯”邀请赛试134xx题）（1）或．原方程化为，即54x32x|31|4|31|4xxxx①或．|31|4xx|31|4xx（2）当时，原方程化为．3x(3)(1)15xxxx①①当时，原方程化为，得．31x≤31xxx1x当时，原方程化为，得．1x≥3(1)1xxx3x综上知原方程的解为．513x①①（3）由绝对值的几何意义得原方程的解为．13x≤≤例4如图，数轴上有两点，分别对应的数为，已知与互为相反AB①ab①2(1)a3b数．点为数轴上一动点，其对应的数为．Px（1）若点到点、点的距离相等，求点对应的数．PABP（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之PPABP-1-230BAO和为5？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；x（3）当点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动时，点以每分钟5个单位长POA度的速度向左运动，点以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点到点BP、点的距离相等？AB【答案】（1）;(2)存在，或；（3）或1x32x72223415例5讨论关于的方程的解的情况．x25xxa分析与解与方程中常数2、5有依存关系，这种关系决定了方程解的情况．故寻求这种a关系是解本例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具．数轴上表示数的点到数轴上表示数2和5的点的距离和的最小值为3，由此可得原方程x的解的情况是：（1）当时，原方程有两解；（2）当时，原方程有无数解；（3）当3a①3a(25)x≤≤时，原方程无解．3a①数学冲浪知识技能广场1．若是方程的解，则_______；又若当时，则方程的9x123xmm1n123xn解是_______．【答案】1；9或32．方程的解是_______；_______是方程的解；解方程3121xxx3(1)15xx，得_______．399019951995xx【答案】2或0；0或10;713．（湖北省荆州市中考题）如果，那么的值为_______．22(3)0xxy2()xy【答案】494．（山东省竞赛题）已知关于的方程的解满足，则的值为x22()axax1102xa（）．A．10或B．10或C．或D．或252510251025【答案】A5．（重庆市竞赛题）若，则等于（）．20042004202004xxA．20或B．或21C．或21D．19或21201921【答案】D6．方程的解的个数为（）．880mmA．2个B．3个C．无数个D．不确定【答案】C7．解下列方程（1）；（2）；142132x221xx（3）；（4）．3548x213xx【答案】（1）或；（2）；（3）或；1x3x1x3x13x（4）或．43x2x8．求关于的方程的所有解的和．x210(01)xaa①①【答案】,得|2|1(01)2(1)2(1)xaaxaxa①①故．12343311xaxaxaxa①①①①12348xxxx9．解方程．32xk【答案】当，原方程无解；当时，原方程有两解：或；当0k0k1x5x02k时，原方程化为，此时原方程有四解：；当时，原方程|3|2xk3(2)xk2k化为，此时原方程有三解：或或；当时，原方程有两|3|22x1x7x3x2k解：．3(2)xk思维方法天地10．（“希望杯”邀请赛试题）已知都是整数，且abcd①①①，则_______．2abbccddaad【答案】0或1又都是整数，得当则||2da①≤ad①||210.da①①||2da①即矛盾；若满足题意；若abcd①0da||110daabcd①①①，令满足题意．||0da10bacd①11．（山东省竞赛题）若都满足条件，且，则的取值12xx①21234xx12xx①12xx范围是_______．【答案】1220xx≤12．（“华罗庚杯”邀请赛试题）满足方程的所有的和为2006182006xx_______．【答案】401213．（武汉市选拔赛试题）若关于的方程有三个整数解，则的值为x21xaa（）．A．0B．2C．1D．3【答案】C14．方程的整数解的个数有（）．27218aaA．5B．4C．3D．2【答案】B由数轴知，且为偶数721a≤≤2a15．若是方程的解，则等于（）．a20042004aa2005aA．B．C．D．2005a2005a2005a2005a【答案】D0a≤16．（第69届“莫斯科”市竞赛题）解下列方程（1）；200520052006xx（2）．154xx【答案】（1）1002或3008可以得到2|2005|2006;x（2）．15x≤≤17．当满足什么条件时，关于的方程有一解？有无数多个解？无解？ax25xxa【答案】由绝对值几何意义知：当时，方程有一解；当时，方程有无穷多33a3a个解，当或时，方程无解．3a3a应用探究乐园18．如图，若点在数轴上对应的数为，点在AaB数轴上对应的数为，且满足bab①．22(1)0ab（1）求线段的长；AB（2）点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点Cxx12122xx，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由；PPAPBPCP（3）在（1）、（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长ABC①①A度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向BC右运动，假设秒种过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离tBCBCAB表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若ABABBCt不变，请求其常数值．【答案】（1）213;abAB①①ABO（2）存在点，点对应的数为-1或-3；（3），为常PP(53)(51)2ABBCtt数．19．（“希望杯”邀请赛试题）已知，求(12)(21)(31)36xxyyzz的最大值和最小值．23xyz【答案】同理|1||2||(1)||2|3xxxx①≥|2||1|3yy①≥|3|z|1|z得．4①≥(|1||2|)(|2||1|)(|3||1|)36xxyyzz≥当且仅当时，上面各式等号成立．121213xyz①①≤≤≤≤≤≤又，(|1||2|)(|2||1|)(|3||1|)36xxyyzz由得①+②×2+③×3，，因此，的最大值12213xyz≤≤①-1≤≤②≤≤③62315xyz≤≤23xyz为15，最小值为．6从三阶幻方谈起（微探究）问题解决例1（北京市“迎春杯”竞赛题）如图①，有9个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？?191313x4x3x2x1x图①图②【答案】由已知条件得：，这样前面两个式123413241319xxxxxxxxxx子之和等于后面的两个式子之和，即1234123421319xxxxxxxxx①2x得．1319①16x例2（“希望杯”邀请赛试题）如图，在的方格表中填入九个不33同的正整数：1，2，3，4，5，6，7，8和．使得各行、各列所填的x三个数的和都相等，请确定的值，并给出一种填数法．x【答案】的最小值是，所以，abcd①12345221253x≥xbcda即．而212x≤为整数，且是不同于1，2，3，4，5，6，7，8的正整数，故．2123xabx9x例3（美国南卡罗来纳大学高中数学竞赛试题）如图①，分别代表1，2，3，4，5，6，7，abcdefghi①①①①①①①①8，9中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内3个数的和都相等，那么的值是多少？adg分析与解设这个相等的和是，现将这9个小圆中S(39)27个数求和，可得：，故9(129)2()3(129)345135Sabcdefghi．15S先从9所在的小圆看，至少是1，最多只能是5，再从1所在的小圆看，最多只能是hia9，由于，所以必须，由此可以求得图115ia59ia①②．对照图①与图②中各数的位置，可看到．93618adg当然也可以有另一解法．将含1、含2、含4、含5、含7与含8的6个小圆内个(36)18数求和，可得：，即615124578()abcdefghiadg9072adg，所以．907218adg练一练1．（世界数学团体锦标赛试题）将2到10这9个自然数填入图中的9个圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，则中间的圆圈中的数是_______，对应的每一条直线上的3个数的和是_______．【答案】2，6，10；15，18，21设中间的圆圈中的数是，同一直线上的3个数的和是，则xy．443231054183yxxy①2．（《时代学习报》数学文化节试题）请构造“幻角”，将1~10这10个整数填入图中的小三角形内（2和4已填好），使图中每个大三角形内四数之和都等于25．【答案】如下面第2题图图①456789123ibcdefgha916273845321987654图②423．（《时代学习报》数学文化节试题）请将4321012①①①①①①①，这9个数分别填入图中方阵的9个空格，使3行、3列、2条对角线上的3个数的34①和都是0．【答案】如图123404321（第2题）83915106724cafedb（第4题）（第3题）-1344．（上海市竞赛题）如图，均为有理数，图中各行各列及两条对角线abcdef①①①①①上的和都相等，求的值．abcdef【答案】由条件得：．上述三式相加有419399abcdef①①，故．627abcdef21abcdef5．（“两岸四地”数学邀请赛试题）如图是一个的幻方，当空格填了适当的数后，每33行、每列以及对角线上的和都是相等的，求的值．k【答案】如图，由得12111121akbaccdbd①①121kbc①从而（注：这个幻方是可以完成的，如第1行为6，231，110cb①110121231k111；第2行为221，116，11；第3行为121，1，226）．akbcd11121（第6题）（第5题）11k6432x1216．（上海市竞赛题）图中显示的填数“魔方”