三角函数的图像与性质

一、三角函数图像的作法几何法五点法图像变换法二、三角函数图像的性质三、解三角不等式（数形结合）四、f(x)=Asin(x+)的性质五、课后练习2oxy---11---1--1oA作法:(1)等分3232656734233561126(2)作正弦线(3)平移61P1M/1p(4)连线一、三角函数图像的作法1.几何法y=sinx作图步骤:oxy11PAM正弦线MP余弦线OM正切线ATT0相位相位2相位相位23相位2返回目录2o46246xy---------1-1因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同2,4,0,2,,2,0,4,2正弦函数Rxxy,sin的图像正弦曲线余弦函数y=cosx2=sin(x+)由y=sinx左移2y=cosxy=sinxy=cosx余弦曲线正,余弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心为图象与x轴的交点返回目录正弦函数.余弦函数的图像和性质作函数的简图解:列表描点作图-2223211-xyo-022322.五点法作函数y=Asin(x+)的图像的步骤:(1)令相位x+=0,,,,2,解出相应的x的值;232(2)求(1)中x对应的y的值,并描出相应五点;1)321sin(xy321xx1)321sin(xy32-3343731012110(3)用光滑的曲线连结(2)中五点.32-33437310返回目录由y=sinx到y=Asin(ωx+)的图象变换步骤步骤1步骤2步骤3步骤4步骤5画出y=sinx在0，2π上的简图得到y=sin(x+)在某周期内的简图得到y=sin(ωx+)在某周期内的简图得到y=Asin(ωx+)在某周期内的简图得到y=Asin(ωx+)在R上的图象沿x轴平行移动横坐标伸长或缩短纵坐标伸长或缩短沿x轴扩展横坐标向左(0)或向右(0)平移||个单位要特别注意,若由y=sin(x)得到y=sin(x+)的图象,则向左或向右平移应平移||个单位.将各点的横坐标变为原来的1/ω倍(纵坐标不变).各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)；3.返回目录例1：如何由函数f(x)=sinx的图象得到下列函数的图象？(1)y=2sinx(2)y=sinx21(3)y=sin2x(4)y=sinxyxO2πy=sinxy=2sinxy=2sinx图象由y=sinx图象（横标不变），纵标伸长2倍而得。y=sinx1221y=sinx图象由y=sinx图象（横标不变），纵标缩短而得。2121返回目录yxO2πy=sinx例1：如何由函数f(x)=sinx的图象得到下列函数的图象？(1)y=2sinx(2)y=sinx(3)y=sin2x(4)y=sinxy=sin2x2121y=sin2x图象由y=sinx图象（纵标不变），横标缩短而得。21y=sinx图象由y=sinx图象（纵标不变），横标伸长2倍而得。21返回目录y=3sinxxyy=sinxO方法1：y=sinx纵向伸长3倍y=3sinx3y=3sin(x+)3－y=3sin(2x+)3)6－例2：如何由y=sinx的图象得到y=3sin(2x+)3π左移3πy=3sin(x+)3π横向缩短21y=3sin(2x+)3π返回目录y=3sinxxyy=sinxOy=3sin2x方法2：y=sinx纵向伸长3倍y=3sinxy=3sin2xy=3sin(2x+)3)6－左移6πy=3sin(2x+)3π横向缩短21例2：如何由y=sinx的图象得到y=3sin(2x+)3π方法1：y=sinx纵向伸长3倍y=3sinx左移3πy=3sin(x+)3π横向缩短21y=3sin(2x+)3π返回目录3.P97例3已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,xR.(1)求当y取得最大值时自变量x的集合;(2)该函数可由y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?1232解:(1)y=cos2x+sinxcosx+1=cos2x+sin2x+12321434546=sin(2x+)+.5412当且仅当2x+=2k+(kZ),即x=k+(kZ)时,626函数y取得最大值.故当y取得最大值时,自变量x的集合是:{x|x=k+,kZ}.6返回目录(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:①将y=sinx的图象向左平移,得y=sin(x+)的图象;66②将所得图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin(2x+)的图象;126③将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到y=sin(2x+)的图象;1261254④将所得图象向上平移个单位长度,得到y=sin(2x+)+的图象;12654综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图象.32126sin(2x+)+.5412由y=sinx返回目录函数图象单调性递减递增递增递减递增最值时，时，时，时，奇偶性对称性对称中心:对称中心:对称中心:对称轴：对称轴：sinyxcosyxtanyx3[22]()22kkkz，[22]()22kkkz，[222]()kkkz，0211y0211y2xy20max1y2,2xkkz[2,2]()kkkzmin1y(,)()22kkkz2,2xkkz2,xkkzmin1y1maxy2,xkkz(,0)()kkz(,0)()2kkz(,0)()2kkz,2xkkZ,xkkZ无最值奇函数偶函数奇函数xx3232无对称轴二、三角函数图象的性质返回目录21sin1.x4-673tanx1-2.-13216-323)32(3.cosx看作一个整体将32x623611三、解三角不等式（数形结合）返回目录oxy4解不等式|sinx|cosx.{x|+2kx+2k,kZ}474447返回目录y=Asin(ωx+)(其中A0,ω0)在简谐运动中的相关概念:(1)A2π(2)T=ω1ω(3)f==T2π(4)ωx+(5)振幅周期频率相位初相四.返回目录23ysin(x)1.周期性:①y=sinx、y=cosx的最小正周期都是2;②f(x)=Asin(x+)和f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是T=.f(x)=Atan(x+)的最小正周期都是T=④f(x)=|Asin(x+)|,f(x)=|Acos(x+)|的最小正周期都是T=（即取绝对值后周期减半），f(x)=|Atan(x+)|的最小正周期是T=（即取绝对值后周期不变）。||2f(x)=Asin(x+),f(x)=Acos(x+)和f(x)=Atan(x+)的性质||五.||||注：较复杂的三角函数要先化简，再利用公式求周期；有时可用数形结合或定义法求周期P93,1下列函数中周期为的是（）22x4xA.y=sin,B.y=sin2xC.y=cosD.y=cos4xD2.f(x)=sin2x-½的周期是（）π3.P95T9B2.研究f(x)=Asin(x+)性质的方法：类比研究y=sinx的性质，只需将ωx+φ看成x，但在求f(x)=Asin(x+)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。1234xylogcos()如1：；的单调增区间。返回目录2.求函数y=sin4x+23sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值,并写出该函数在[0,]上的单调增区间.解:∵y=sin4x+23sinxcosx-cos4x=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x6=2sin(2x-)故该函数的最小正周期是,最小值是-2.3在[0,]上的单调增区间是[0,]和[,].65由2k-≤2x-≤2k+(kZ)得:226k-≤x≤k+(kZ).36令k=0,1即得函数y=sin4x+23sinxcosx-cos4x返回目录3.奇偶性：再如f(x)=Asin(x+)为奇函数=k(kZ)解法一：解法二：zkkf0sin00f(x)=Asin(x+)为偶函数=k+(kZ)2f(x)=Acos(x+)为奇函数=k+(kZ)2=k(kZ)f(x)=Acos(x+)为偶函数zkkxAxAxAxAxAxAxAxAxfxf20cos0sin,0cossin2,sincoscossinsincoscossin,sinsinzkkAf21sin0zkkxAxosAxAxAxAxAxAxAxfxf0sin0cos,0sinc2,sincoscossinsincoscossin,sinsinP94例4.已知函数f(x)=sin(x+)(0,0≤≤)是R上的偶函数,其图象关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上是单调函数,求和的值.432答案返回目录观察得到：可类比正弦曲线和余弦曲线的奇偶性，奇变偶不变解:∵f(x)=sin(x+)(0,0≤≤)是R上的偶函数,∴f(0)=±1∴cos=0.又∵0≤≤,∴=.2∵f(x)的图象关于点M对称,∴f(x)=cosx.∴=k+(kZ).432∴=(kZ).4k+23∴f(x)=cosx在区间[0,]上是减函数.∵0,∴f()=0.432必有≤,即0≤2.23∴=2或.解得k=0或1.223综上所述,=,=2或.2返回目录2.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,求a的值.8解:y=sin2x+acos2x=a2+1sin(2x+),其中,tan=a.法1∵函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,8∴当x=-时,y取最大值或最小值.8∴2(-)+=k+,kZ.28∴=k+,kZ.43∴a=tan=tan(k+)=-1.43法2∵函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,8∴当x=-时,y取最大值或最小值.8|sin2(-)+acos2(-)|2=a2+188解得a=-1.返回目录法3∵函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,8∴当自变量取0,-时的函数值相同.4即0+a=-1+0.∴sin0+acos0=sin2(-)+acos2(-).44∴a=-1.法4∵函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,8而函数y=sin2x+acos2x的周期为,∴当x=-+=时,函数值为0.848∴sin+acos=0.44∴a=-1.2.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,求a的值.8返回目录课后练习1.P95T14已知函数f(x)=log(sinx-cosx),(1)求它的定义域和值域;(2)判断它的单调区间;(3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.12解:(1)由sinx-cosx0,即2sin(x-)0得:4