三角函数综合问题

第32课三角函数综合问题一、考纲要求1.能灵活运用三角公式进行化简、求值、求范围；2.能综合应用代数中的函数、方程、不等式等知识与方法解决与三角相关的问题。二、知识梳理1．在ABC中，aCB，bAC，且2||a，3||b，3ba，则Ccos=，AB=．【教学建议】本题是课本习题的改编，考查三角函数与向量简单的综合应用。教学时先让学生回忆向量的数量积公式，强调向量夹角必须共起点，求出Ccos后，利用余弦定理求出AB长。2．函数)12(cos)(2xxf，xxg2sin211)(.若0xx是函数)(xfy图像的一条对称轴，则)(0xg的值为．【教学建议】本题主要考查三角函数的图像与性质，及三角恒等变形。教学时，先让学生求出)(xf的对称轴，带入)(xg表达式，转化为三角求值题，此题要注意分类讨论，不能漏解。三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。上课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。2、结合课件点评。必要时可借助实物投影，有针对性地投影几位学生的解答过程。题1：函数2()(sincos)fxxx的最大值为___________.【点评】解析式有何特点？平方展开后出现一个定值，另一个表达式怎么处理？，有没有定义域的范围限制？题2：若1tan4tan，则sin2．答案为：12.【点评】本题主要考察基本关系式、切化弦的基本思路。注意学生盲目去解tan，或者计算中不及时发现可用公式。如221sincostan44sincos4sincostancossin，左边，右边都直接用公式。题3：已知角,,构成公差为3的等差数列，若2cos3，则coscos.答案为：23.问题：探求coscos的基本思路是什么？题4：在锐角三角形ABC中，若tan1,tan1AtBt，则实数t的取值范围是.答案为：2,.【点评】指导学生认真读题。引导学生探究锐角三角形角的正切值的范围。问题1：是否需要向“弦”上转化？问题2：tan,tanAB都大于零，能够保证三角形是锐角三角形吗？如果不能，要研究什么？3、诊断题归纳1．研究三角函数的性质，通常将函数解析式化成kxAy)sin(的形式，如题3和题42．会应用代数中的函数、不等式等知识与方法解决与三角相关的问题，同时要注意角的范围对问题的限制。四、范例导析例1、例1在ABC中，若13tan,tan45AB.（1）求角C；（2）若ABC的最大边长为17，求最小边的长.【教学处理】第（1）问，学生自主完成。第（2）要求学生自己分析，或板演或提问学生口答，教师板书，也可以展示学生解答过程.第（1）问注意检查学生是否交代30,4CC。【启发谈话与精讲建议】问题1：如何确定三角形的最小边？【交流】34C，最大边为17AB,13tantan,,0,,452ABABABC，角A最小，即边BC最小。这里要注意学生对三角形基本性质的运用情况，同时运用正切函数的单调性。问题2：要运用正弦定理，先要求什么？【交流】由221tan,sincos1,0,42AAAA，得17sin17A，由sinsinABBCCA，得sin2sinABBCAC，所以，最小边的长为2.【评注】本题考查三角函数基本关系，正弦定理及两角和正切公式的简单综合运用，注意三角形中基本知识的运用.例2、已知函数3()sinsin()(0)64fxxx，且其图象的相邻对称轴间的距离为4.（1）求()fx在区间119[,]128上的值域；（2）在锐角ABC中，若1()82fA，,2,1cba求ABC的面积.【教学处理】要求学生自己分析，或板演或提问学生口答教师板书【启发谈话与精讲建议】问题1：这是两个正弦相乘的形式，如何化简它？问题2：把这个三角函数展开后如何合并它？用的是辅助角公式。问题3：对称轴之间的距离和周期是什么关系？问题4：周期公式中的分母在本题中是什么？这个地方易错，要特别小心！问题5：在给定区间上求三角函数的值域，一定要借助图像去解，这样可以有效地避免错误的发生。问题6：锐角三角形的作用是什么？问题7：三角形的面积公式是什么？角的问题解决了，如何解决边的问题？2cc2cABC例2变式、设ABC的面积为S，且230SABAC.（1）求角A的大小；（2）若||3BC，且角B不是最小角，求S的取值范围．解：（1）设ABC中角,,ABC所对的边分别为,,abc，由230SABAC，得12sin3cos02bcAbcA，即sin3cos0AA，所以tan3A，又(0,)A，所以23A.（2）因为3a，由正弦定理，得32sinsinsin3bcBC，所以2sin,2sinbBcC，从而1sin3sinsin3sinsin()23SbcABCBB3131cos2333sin(cossin)3(sin2)sin(2)2244264BBBBBB，又5(,),2(,)63626BB，所以3(0,)4S.例3在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且43cosB.（1）若23BCBA,求ca的值；（2）求CCAAsincossincos的值.【教学处理】指导学生认真读题，并将题中条件作初步的转化，能发现条件之间有什么联系?看看能求出什么？【启发谈话与精讲建议】第（1）问：在用32BABC这一条件时，要注意向量的方向，其夹角是∠B吗？2bac2223cos42acbBac3cos2acB；观察这三个条件，能求出ac？进而可以求出哪些？第（2）问：结论式可以转化为sin()sinsinsinsinsinCABACAC对2,bac3cos4B条件式，究竟是从边入手还是角入手呢？方案一：从角入手，2bac转化能得到什么？2sinsinsinBAC方案二：从边入手？2223cos42acbBac再结合2bac能得到什么？2ac或12ac不妨2ac，此时2bc这时的△ABC的形状是确定的（全是相似的），因而cos,cos,cosABC都是可求的。这种方法更为本质。【变式】若将第2问改为“求22sinsinAC的值”？如何求解？这时方案二的这一本质核心的方法就显示出作用了。五、解题反思每一道例题讨论后，都应留出一点时间让学生进行回顾和体悟。可引导学生对这三道例题作如下反思：1、求解与三角有关的函数最值，通常将函数解析式化成kxAy)sin(的形式，如诊断题3、4，例2的第（1）问.2、注意求解路线的设计和运算的优化。例3中，边角转化的方向和方法。要体会什么情境下用余弦定理或正弦定理转化.3、体会函数思想在三角中的应用.