三角函数部分高考题(带答案)

122．设ABC△的内角ABC，，所对的边长分别为abc，，，且3coscos5aBbAc．（Ⅰ）求tancotAB的值；（Ⅱ）求tan()AB的最大值．解析：（Ⅰ）在ABC△中，由正弦定理及3coscos5aBbAc可得3333sincossincossinsin()sincoscossin5555ABBACABABAB即sincos4cossinABAB，则tancot4AB；（Ⅱ）由tancot4AB得tan4tan0AB2tantan3tan3tan()1tantan14tancot4tanABBABABBBB≤34当且仅当14tancot,tan,tan22BBBA时，等号成立，故当1tan2,tan2AB时，tan()AB的最大值为34.23.在ABC△中，5cos13B，4cos5C．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设ABC△的面积332ABCS△，求BC的长．解：（Ⅰ）由5cos13B，得12sin13B，由4cos5C，得3sin5C．所以33sinsin()sincoscossin65ABCBCBC．···········5分（Ⅱ）由332ABCS△得133sin22ABACA，由（Ⅰ）知33sin65A，故65ABAC，····························8分又sin20sin13ABBACABC，故2206513AB，132AB．所以sin11sin2ABABCC．························10分24.已知函数2π()sin3sinsin2fxxxx（0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求的值；2（Ⅱ）求函数()fx在区间2π03，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos23()sin222xfxx311sin2cos2222xxπ1sin262x．因为函数()fx的最小正周期为π，且0，所以2ππ2，解得1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin262fxx．因为2π03x≤≤，所以ππ7π2666x≤≤，所以1πsin2126x≤≤，因此π130sin2622x≤≤，即()fx的取值范围为302，．25.求函数2474sincos4cos4cosyxxxx的最大值与最小值。【解】：2474sincos4cos4cosyxxxx2272sin24cos1cosxxx2272sin24cossinxxx272sin2sin2xx21sin26x由于函数216zu在11，中的最大值为2max11610z最小值为2min1166z3故当sin21x时y取得最大值10，当sin21x时y取得最小值626.知函数22s(incoss1)2cofxxxx（,0xR）的最小值正周期是2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()fx的最大值，并且求使()fx取得最大值的x的集合．（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数sin()yAx的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：242sin224sin2cos4cos2sin222cos2sin12sin22cos12xxxxxxxxf由题设，函数xf的最小正周期是2，可得222，所以2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，244sin2xxf．当kx2244，即Zkkx216时，44sinx取得最大值1，所以函数xf的最大值是22，此时x的集合为Zkkxx,216|．27.已知函数()cos(2)2sin()sin()344fxxxx（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()fx在区间[,]122上的值域解：（1）()cos(2)2sin()sin()344fxxxx13cos2sin2(sincos)(sincos)22xxxxxx2213cos2sin2sincos22xxxx413cos2sin2cos222xxxsin(2)6x2T2周期∴由2(),()6223kxkkZxkZ得∴函数图象的对称轴方程为()3xkkZ（2）5[,],2[,]122636xx因为()sin(2)6fxx在区间[,]123上单调递增，在区间[,]32上单调递减，所以当3x时，()fx取最大值1又31()()12222ff，当12x时，()fx取最小值32所以函数()fx在区间[,]122上的值域为3[,1]228.已知函数f(x)＝)0,0)(cos()sin(3πxx为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）美洲f（8π）的值；（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.解：（Ⅰ）f(x)＝)cos()sin(3xx＝)cos(21)sin(232xx＝2sin(x-6π)因为f(x)为偶函数，所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-x-6π）＝sin(x-6π).5即-sinxcos(-6π)+cosxsin(-6π)=sinxcos(-6π)+cosxsin(-6π),整理得sinxcos(-6π)=0.因为＞0，且x∈R,所以cos（-6π）＝0.又因为0＜＜π，故-6π＝2π.所以f(x)＝2sin(x+2π)=2cosx.由题意得.2,222　＝　　所以　　故f(x)=2cos2x.因为.24cos2)8(f（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个6个单位后，得到)6(xf的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)64(f的图象.).32(cos2)64(2cos2)64()(ffxg所以　　　　当2kπ≤32≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ＋≤32≤x≤4kπ+38(k∈Z)时，g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为384,324kk(k∈Z)29.如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点，已知A,B的横坐标分别为225,105．（Ⅰ）求tan()的值；（Ⅱ）求2的值．由条件的225cos,cos105，因为,为锐角，所以sin=725,sin105因此1tan7,tan2（Ⅰ）tan()=tantan31tantan6（Ⅱ）22tan4tan21tan3，所以tantan2tan211tantan2∵,为锐角，∴3022，∴2=3430.在ABC中，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，23a，tantan4,22ABC2sincossinBCA，求,AB及,bc解：由tantan422ABC得cottan422CC∴cossin224sincos22CCCC∴14sincos22CC∴1sin2C，又(0,)C∴566CC，或由2sincossinBCA得2sincossin()BBBC即sin()0BC∴BC6BC2()3ABC由正弦定理sinsinsinabcABC得1sin2232sin32BbcaA31.已知函数117(),()cos(sin)sin(cos),(,).112tftgxxfxxfxxt（Ⅰ）将函数()gx化简成sin()AxB（0A，0，[0,2)）的形式；（Ⅱ）求函数()gx的值域.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）1sin1cos()cossin1sin1cosxxgxxxxx72222(1sin)(1cos)cossincossinxxxxxx1sin1coscossin.cossinxxxxxx17,,coscos,sinsin,12xxxxx1sin1cos()cossincossinxxgxxxxxsincos2xx＝2sin2.4x（Ⅱ）由1712x＜，得55.443x＜sint在53,42上为减函数，在35,23上为增函数，又5535sinsin,sinsin()sin34244x＜＜（当17,2x），即21sin()222sin()23424xx＜，＜，故g(x)的值域为22,3.32.已知函数2()2sincos23sin3444xxxfx．（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3gxfx，判断函数()gx的奇偶性，并说明理由．解：（Ⅰ）2()sin3(12sin)24xxfxsin3cos22xxπ2sin23x．()fx的最小正周期2π4π12T．当πsin123x时，()fx取得最小值2；当πsin123x时，()fx取得最大值2．8（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin23xfx．又π()3gxfx．1ππ()2sin233gxxπ2sin22x2cos2x．()2cos2cos()22xxgxgx．函数()gx是偶函数．33.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求：（Ⅰ）ac的值；（Ⅱ）cotB+cotC的值.解：（Ⅰ）由余弦定理得2222cosabcbA＝2221117()2,3329ccccc故7.3ac（Ⅱ）解法一：cotcotBC＝cossincossinsinsinBCCBBC＝sin()sin,sinsinsinsinBCABCBC由正弦定理和（Ⅰ）的结论得227sin12141439··.1sinsinsin9333·3cAaBCAbccc故143cotcot.9BC解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有22222271()93cos2723cccacbBaccc9＝5.27故2253sin1cos1.2827BB同理可得22222271199cos,27127233cccabcCabcc2133sin1cos1.2827CC从而coscos51143cotcot33.sinsin399BCBCBC34.已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,1)，m·n＝1，且A为锐角.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数()cos24