三角函数题型总结-教师版

第1页共20页高三数学三角函数题型大全一、求值化简型1、公式运用〖例〗(2004淄博高考模拟题)（1）已知tanα=3,求：22cos41sin32的值。（2）已知tanα+sinα=m,tanα-sinα=n(),2Zkk,求证：nmnmcos.（1）解：24112cos812cos3181)1cos2(8131)sin21(31cos41sin32222224112cos812cos3181)1cos2(8131)sin21(31cos41sin32222224112cos812cos3181)12cos2(8131)sin21(31cos41sin322222411sincossincos24522222411sincossincos24522222411tan1tan12285（2）证明：两式相加，得cossin2tannm两式相减，得2sinnm所以nmnmnmsin2cos〖举一反三〗（2004.湖南理）（本小题满分12分）1、已知1cottansin2),2,4(,41)24sin()24sin(2求的值.解：由)24cos()24sin()24sin()24sin(,414cos21)42sin(21得.214cos又.125),2,4(所以于是2sin2cos22coscossincossin2cos1cottansin2222.325)3223()65cot265(cos)2cot22(cos2、（2013年西城二模）如图，在直角坐标系xOy中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且,)62．将角的终边按逆时针方向旋转3，交单位圆于点B．记),(),,(2211yxByxA．（Ⅰ）若311x，求2x；（Ⅱ）分别过,AB作x轴的垂线，垂足依次为,CD．记△AOC的面积为1S，△BOD的面积为2S．若122SS，求角的值．第2页共20页（Ⅰ）解：由三角函数定义，得1cosx，2cos()3x．………………2分因为,)62，1cos3，所以222sin1cos3．………………3分所以213126cos()cossin3226x．………………5分（Ⅱ）解：依题意得1siny，2sin()3y．所以111111cossinsin2224Sxy，………………7分2221112||[cos()]sin()sin(2)223343Sxy．……………9分依题意得2sin22sin(2)3，整理得cos20．………………11分因为62，所以23，所以22，即4．………………13分2、三角形中求值〖例〗（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=26,∠B=2∠A.(I)求cosA的值;(II)求c的值.【答案】解:(I)因为a=3,b=26,∠B=2∠A.所以在△ABC中,由正弦定理得326sinsin2AA.所以2sincos26sin3AAA.故6cos3A.(II)由(I)知6cos3A,所以23sin1cos3AA.又因为∠B=2∠A,所以21cos2cos13BA.所以222sin1cos3BB.在△ABC中,53sinsin()sincoscossin9CABABAB.所以sin5sinaCcA.第3页共20页【举一反三】（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,()()abcabcac.(I)求B(II)若31sinsin4AC,求C.【答案】③三角不等式（2013年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin632xfxxxgx.(I)若是第一象限角,且33()5f.求()g的值;(II)求使()()fxgx成立的x的取值集合.【答案】解:(I)533sin3)(sin3sin23cos21cos21sin23)(fxxxxxxf.51cos12sin2)(,54cos)2,0(,53sin2g且(II)21)6sin(cos21sin23cos1sin3)()(xxxxxxgxfZkkkxkkx],322,2[]652,62[6第4页共20页二、图像和性质型1、求范围①sin()yAxB型〖例〗（2008北京卷15）已知函数2π()sin3sinsin2fxxxx（0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()fx在区间2π03，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos23()sin222xfxx311sin2cos2222xxπ1sin262x．因为函数()fx的最小正周期为π，且0，所以2ππ2，解得1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin262fxx．因为2π03x≤≤，所以ππ7π2666x≤≤，所以1πsin2126x≤≤，因此π130sin2622x≤≤，即()fx的取值范围为302，．②二次函数型〖例〗（2008四川卷17）求函数2474sincos4cos4cosyxxxx的最大值与最小值。【解】：2474sincos4cos4cosyxxxx第5页共20页2272sin24cos1cosxxx2272sin24cossinxxx272sin2sin2xx21sin26x由于函数216zu在11，中的最大值为2max11610z最小值为2min1166z故当sin21x时y取得最大值10，当sin21x时y取得最小值62、求单调区间〖例〗[2014·四川卷]已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos2α，求cosα－sinα的值．解：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，所以sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝45cosαcosπ4－sinαsinπ4(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝45(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，此时，cosα－sinα＝－2.当sinα＋cosα≠0时，(cosα－sinα)2＝54.由α是第二象限角，得cosα－sinα0，此时cosα－sinα＝－52.综上所述，cosα－sinα＝－2或－52.第6页共20页3、和图像结合〖例〗（2008广东卷16）．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)fxAxA，，xR的最大值是1，其图像经过点π132M，．（1）求()fx的解析式；（2）已知π02，，，且3()5f，12()13f，求()f的值．【解析】（1）依题意有1A，则()sin()fxx，将点1(,)32M代入得1sin()32，而0，536，2，故()sin()cos2fxxx；（2）依题意有312cos,cos513，而,(0,)2，2234125sin1(),sin1()551313，3124556()cos()coscossinsin51351365f。〖举一反三〗1（2008天津卷17）（本小题满分12分）已知函数22s(incoss1)2cofxxxx（,0xR）的最小值正周期是2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()fx的最大值，并且求使()fx取得最大值的x的集合．（Ⅰ）解：242sin224sin2cos4cos2sin222cos2sin12sin22cos12xxxxxxxxf由题设，函数xf的最小正周期是2，可得222，所以2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，244sin2xxf．第7页共20页当kx2244，即Zkkx216时，44sinx取得最大值1，所以函数xf的最大值是22，此时x的集合为Zkkxx,216|．2（2008安徽卷17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344fxxxx（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()fx在区间[,]122上的值域解：（1）()cos(2)2sin()sin()344fxxxx13cos2sin2(sincos)(sincos)22xxxxxx2213cos2sin2sincos22xxxx13cos2sin2cos222xxxsin(2)6x2T2周期∴由2(),()6223kxkkZxkZ得∴函数图象的对称轴方程为()3xkkZ（2）5[,],2[,]122636xx因为()sin(2)6fxx在区间[,]123上单调递增，在区间[,]32上单调递减，所以当3x时，()fx取最大值1又31()()12222ff，当12x时，()fx取最小值32所以函数()fx在区间[,]122上的值域为3[,1]23（2008山东卷17）已知函数f(x)＝)0,0)(cos()sin(3πxx为偶函数，且函数第8页共20页y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求f（8π）的值；（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.解：（Ⅰ）f(x)＝)cos()sin(3xx＝)cos(21)sin(232xx＝2sin(x-6π)因为f(x)为偶函数，所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-x-6π）＝sin(x-6π).即-sinxcos(-6π)+cosxsin(-6π)=sinxcos(-6π)+cosxsin(-6π),整理得sinxcos(-6π)=0.因为＞0，且x∈R,所以cos（-6π）＝0.又因为0＜＜π，故-6π＝2π.所以f(x)＝2sin