正态分布

正态分布【教学目的】１、了解正态分布的概念，熟悉正态分布的性质。2、掌握标准正态分布表的使用。3、掌握正态分布在体育中的应用。【教学重点】正态分布在体育中的应用【教学难点】正态分布的性质【教学内容】第一节正态分布与标准正态分布【导言】120名18岁女生身高数据的频数分布图可以看出:靠近平均数（x=159.7cm）分布的f最多,离开x分布的f越来越少,而且左右两侧基本是对称的。一、正态分布的概念：【课件演示】１、正态分布（常态分布）：中间多，两侧逐渐减少的基本对称的频数分布。随机变量x服从正态分布，记为x~),(2N。即随机变量x服从参数是和2的正态分布。2、正态曲线：中央高，两侧逐渐下降，两端无限延伸与横轴相靠而不相交，左右完全对称的钟形曲线。※频数分布的图形是随着f的多少而变化的。若样本含量增大（n增大）分组越来越多（i越来越小），直方图会出现中间高，两侧逐渐降低，并完全对称的特点；若n→∞，分组数趋近无穷（i→0）,将各直方图顶点中点的连线就逐渐形成一条光滑的曲线。二、正态分布的性质【课件演示】１、正态曲线是单峰，位于x轴的上方,并在x处有最大值（峰值）。２、曲线以x为对称轴，对称地向两边下降，以x轴为渐近线。3、正态曲线下的面积是1。4、和是正态分布的两个参数。为位置参数（决定曲线的位置）；为形状参数（决定曲线的形状）。三、标准正态分布在进行研究工作时，我们总希望用简捷和方便的方式利用正态分布解决一些具体问题，但不同的均数和不同的标准差会使函数不同。能否在任何情况下用一个统一方式利用正态分布理论，统计学中把任何不同参数的正态分布改造成标准正态分布，即用一个变量来代换,记为u~N(0，1）,表示随机变量u是服从参数为0和１的标准正态分布，即xu实践中和常是未知的，常用样本的均数和标准差分别代替和。即Sxxu标准正态函数曲线四、标准正态分布表【结合图表讲解】（一）表的构造1、标准正态分布的横轴变量u,即表中左上角u所对应的行与列。.2、φ值表示标准正态曲线下由－∞到某个u值所围成的面积。.（二）、正态分布表的使用【结合标准正态分布表讲解】1、已知变量u值查出对应的面积。(uφ)2、已知面积去找出相对应的变量u值。(φu)（三）计算方法【举例说明】1、已知u求对应的面积（概率）（1）求某个u值以左的面积p(u≤0.25)=φ(0.25)=0.5987p(u≤－0.84)=φ(-0.84)=0.2005（2）求某个u值以右的面积p(u＞2.58)=1－φ(2.58)=1－0.9951=0.0049p(u＞－1.93)=1－φ(-1.93)=1－0.0268=0.9732（3）求两个u值所围成的面积p(1.25＜u＜2.34)＝φ(2.34)－φ(1.25)=0.9904－0.8944=0.096p(-2.4＜u＜-1.3)＝φ(-1.3)－φ(-2.4)=0.0968－0.0082=0.0886p(-1＜u＜2)＝φ(2)－φ(-1)=0.9773－0.1587=0.81862、已知面积（概率）求对应的u值【简单介绍】第二节正态分布在体育中的应用一、制定考核标准(φux)【举例讲解】【举例1】测得某年级男生铅球成绩x=7.20m，S=0.39m。若规定按现有水平让10％达到优秀,60％达到良好（不含优秀），5％不及格。问各标准是多少？(田赛)解：p(u≤1u)=1﹣10%=0.91u=1.28p(u≤2u)=1﹣10%﹣60%=0.32u=﹣0.52p(u≤3u)=5%=0.053u=﹣1.64∵Sxxu∴uSxxSuxx11=7.20+1.28×0.39=7.70(m)Suxx22=7.20﹣0.52×0.39=7.00(m)Suxx33=7.20﹣1.64×0.39=6.60(m)【总结】制定考核标准的步骤：1、制定正态曲线的分布草图。2、计算出从-∞到各u值所围成的面积。3、查表求各等级的u值。4、求各等级标准的x值。【指导练习】随机抽取某年级部分学生测试跳高x=1.40m,S=0.10m.若规定15％达到优秀，25％达到良好，7％不及格。试确定各等级的成绩。（书后练习题）解：p(u≤1u)=1﹣15%=0.851u=1.04p(u≤2u)=1﹣15%﹣25%=0.62u=0.25p(u≤3u)=7%=0.073u=﹣1.48∵Sxxu∴uSxxSuxx11=1.40+1.04×0.10=1.50(m)Suxx22=1.40+0.25×0.10=1.43(m)Suxx33=1.40﹣1.48×0.10=1.25(m)【举例2】某年级学生100米跑的x=14.7s，S=0.7s。按现有水平要求10％达到优秀，30％达到良好，8％不及格，其余为及格。求各等级的成绩标准各是多少？。（径赛）解：p(u≤1u)=10%=0.11u=﹣1.28p(u≤2u)=10%+30%=0.42u=﹣0.25p(u≤3u)=1﹣8%=0.923u=1.41∵Sxxu∴uSxxSuxx11=14.7﹣1.28×0.7=13.80(s)Suxx22=14.7﹣0.25×0.7=14.53s)Suxx33=14.71+1.41×0.7=15.69(s)【指导练习】测得某校初三女生800米跑成绩的x=236.36s(即3min56.36s),S=20.08s,规定优秀、良好、及格人数的百分比分别是15%、30%、45%，问各标准各为多少？（书后练习题）解：p(u≤1u)=15%=0.151u=﹣1.04p(u≤2u)=15%+30%=0.452u=﹣0.13p(u≤3u)=15%+30%+45%=0.93u=1.28∵Sxxu∴uSxxSuxx11=236.36﹣1.04×20.08=215(s)=3min35sSuxx22=236.36﹣0.13×20.08=234(s)=3min54sSuxx33=236.36+1.28×20.08=262(s)=4min22s二、估计达到某标准的人数(xuφ)【举例1】设某年级学生跳远测验的样本统计量x=5.00m,S=0.40m。根据这个样本定出标准为5.60m以上为5分，5.40m以上为4分，4.60m以上为及格。求各等级人数百分比各是多少？(田赛)。解：1u=Sxx1=40.000.56.5=1.52u=Sxx2=40.000.54.5=13u=Sxx3=40.000.56.4=﹣1p(u≥1.5)=1﹣φ(1.5)=1﹣0.9332=0.0665=6.65%p(1≤u1.5)=φ(1.5)﹣φ(1)=0.9332﹣0.8413=0.0919=9.19%p(-1≤u1)=φ(1)﹣φ(﹣1)=0.8413﹣0.1587=0.6826=68.26%【总结】估计人数的步骤：1、将某标准的x转换为u值。2、制作正态分布草图，以确定估计范围。3、查表找到估计范围的面积。4、计算估计范围的人数。【指导练习】在某市区初三女生中随机抽测立定跳远的成绩：x=158.6cm,S=18.3cm.若该地区初三女生共有850人,试估计成绩分别超过150cm、185cm、200cm的人数百分比及人数.（书后练习题）解：1u=Sxx1=47.03.186.1581502u=Sxx2=44.13.186.1581853u=Sxx3=26.23.186.158200p(u＞－0.47)=1－φ(-0.47)=1－0.3192=0.6808p(u＞1.44)=1－φ(1.44)=1－0.9251=0.0749p(u＞2.26)=1－φ(2.26)=1－0.9881=0.0119达到各标准的人数分别为：850×0.6808=579(人)850×0.0749=64(人)850×0.0119=10(人)【举例2】某校初二女生100人，50m跑成绩的x=9.3s，S=0.59s。现规定小于或等于8.8s为优秀，9.2s为良好，9.6s为及格，问该年级女生达到各标准的人数百分比及人数各为多少？(径赛)解：1u=Sxx1=59.03.98.8=﹣0.847﹣0.852u=Sxx2=59.03.92.9=﹣0.169﹣0.173u=Sxx3=59.03.96.9=0.50810.51p(u≤﹣0.85)=φ（﹣0.85）=0.1977p(﹣0.85＜u≤﹣0.17)=φ(﹣0.17)﹣φ(﹣0.85)=0.8023﹣0.5675=0.2348p(﹣0.17＜u≤0.51)=φ(0.51)﹣φ(﹣0.17)=0.6950﹣0.4325=0.2625达到各标准的人数分别为：20人、23人、26人。【指导练习】某年龄组180人100跑x=15.24s，S=0.53s。若优秀定为14s,良好为14.68s,及格定为16s，试分别求成绩达到优秀、良好、及格和不及格的人数及百分比。（书后练习题）解：1u=Sxx1=34.253.024.15142u=Sxx2=06.153.024.1568.143u=Sxx3=43.153.024.1516p(u≤﹣2.34)=φ（﹣2.34）=0.0096p(﹣2.34＜u≤﹣1.06)=φ(﹣1.06)﹣φ(﹣2.34)=0.1446﹣0.0096=0.135p(﹣1.06＜u≤1.43)=φ(1.43)﹣φ(﹣1.06)=0.9236﹣0.1446=0.779达到各标准的人数分别为：180×0.0096≈2(人)180×0.135≈24(人)180×0.779≈140(人)【举例3】某大型网球运动中心，每天接待的人数x服从正态分布，x～N(800,2150)，试求：（1）每天接待人数在650～1000人之间的概率；（2）每天接待人数超过1100人的概率；（3）每天接待人数不足350人的概率。解:（1）将650、1000标准化为115080065011Sxxu33.1150800100022SxxuP（-1＜u＜1.33）=Φ（1.33）-Φ（-1）=0.9082-0.1587=0.7495=74.95﹪（2）每天接待人数超过1100人的概率，即求P（x＞1100）。将1100标准化为21508001100SxxuP（u＞2）=1-Φ（2）=1-0.9773=0.0227=2.27﹪（3）每天接待人数不足350人的概率，即求P（x＜350）。将350标准化为3150800350SxxuP（u＜-3）=Φ（-3）=0.0014=0.14﹪【指导练习】现有10000名成年男子，假定身高服从正态分布，其均数175cm，标准差15cm.(1)试估计其中有多少人身高在177厘米以下；（2）试估计其中有多少人身高至少是183厘米（书后练习题）。解：（1）P(x＜177)=（15175177）=（0.13）=0.5517身高在177厘米以下的人数有10000×0.5517=5517（人）（2）P(x＞183)=1-（15175183）=1-（0.53）=1-0.7019=0.2981身高至少在183厘米以上的人数有10000×0.2981=2981（人）三、审核可疑数据（确定正常值范围）数据的审核方法还有很多，如以事物出现的概率为依据，依据正态分布规律可知，实测值在[Sx3,Sx3]范围内的数目占所有实测值的99.73%，即1000个数据中平均只有2个多（不到3个）数据在上述范围之外。因此，随机抽样时要抽到上述范围之外数据是可能性极小的小概率事件，可视为可疑数据。【举例】随机抽测某地500名初三女生同学的体重（服从正态分布）x=48.2kgS=5.14kg.该地区初三女生的体重实测值分别是1x=65kg,2x=53kg,3x=32.5kg.试审核这三个数据是否可疑。解：)(78.32)(62.6314.532.493kgkgSx所以