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第三单元因数与倍数一、因数与倍数如果整数a(a≠0)和整数b(b≠0)相乘得到的整数c，那么a,b是c的因数（因数又叫约数）；c是a,b的倍数。例1:2×9=18可以说：2是18的因数，18是2的倍数；9是18的因数，18是9的倍数。注：1、因数与倍数是两个数之间的相互关系，是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。所以不能单独说2是因数，18是倍数。2、研究因数与倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。练习：（1）说出下面哪个数是因数，哪个数是倍数。3×7=214×8=3213×9=117（2）7×8=56，（）和（）是（）的因数；（）是（）和（）的倍数。判断：7和8是因数，56是倍数。（）（3）判断：a×b=c,整数a、b、c≠0，那么a,b是因数；c是倍数。（）二、找一个数的因数方法：列乘法算式使积就是这个数，两个乘数就是这个数的因数，为了做到不重复、不遗漏，可以从1开始列起。成对记录比较简便。例题：30的因数有：1,30,2,15,3,10,5,6.注：一个数最小的因数是1；最大的因数是它本身；一个数因数的个数是有限的。练习：（1）找出下列各数的因数：72422563（2）32的因数有：（），最小的因数是（），最大的因数是（）。三、找一个数的倍数方法：用这个数分别去乘1,2,3……所得的积就是这个数的倍数。例题：4的倍数有：4,8,12,16,20,24……（若无限制条件，一定要加省略号）注：一个数最小的倍数是它本身；没有最大的倍数；一个数倍数的个数是无限的。一个数的本身既是它的最大的因数，又是它的最小的倍数。练习：（1）找出下列个数的倍数：71156（2）2的倍数中，最小的一位数是（）；最小的两位数是（）。写出既是8的倍数，又是72的因数：（3）一个数倍数的个数是（），最小的倍数是（）。（4）一个数最小的因数是（），最大的因数是（）。（5）一个数的因数和倍数都是9，这个数是（）。（6）一个数最大的因数和最小的倍数和是16，这个数是多少？写出这个数的倍数。（7）妈妈买回30个苹果，他把苹果放入蓝子中让小明拿，约定既不许一次那完，也不许一个一个地拿，且每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。小明共有几种拿法？每种拿法每次各拿几个？小明将40颗棋子装入盒中，然后从中拿棋子，不许一次那完，且每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。有几种拿法？每次各拿几个？（8）判断：一个数的因数一定比它的倍数小。（）A×B=C(A,B,C均为自然数），则A是C的因数，C是B的倍数。（）任何数最小的因数都是1.（）一个数的因数和倍数都有无限个。（）※培优：爸爸今年40岁，小明和爷爷的年龄分别是爸爸年龄的因数和倍数，并且爷爷的年龄是小明年龄的10倍，小明和爷爷今年各多少岁？四、5和2的倍数的特征1、5的倍数的特征：个位上是5或0。2、2的倍数的特征：个位上是2、4、6、8或0.既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上是0.3、自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。也可以说个位是2/4/6/8/0的数是偶数，个位是1/3/5/7/9的数是奇数。4、偶数与奇数的个数都是无限的，没有最大的偶数或奇数。最小的偶数是0，最小的奇数是1。练习：（1）23□中，□里填（）既是2的倍数，又是5的倍数。（2）1/3/25/39/48/50/329/1320中奇数有（），偶数有（），2的倍数有（），5的倍数有（），既是2的倍数又是5的倍数有（）。（3）30以内5的倍数有（）。（4）五个连续奇数的和是75，这5个数分别是（）；三个连续偶数的和是72，这三个偶数分别是（）。五、3的倍数的特征1、3的倍数，它各位上数的和一定是3的倍数。如果一个数不是3的倍数，那么，它各位上数的和也不是3的倍数。练习：（1）1，4,9,18,36,45,89,100中，偶数是（）；奇数是（）；2的倍数是（）；5的倍数是（）；3的倍数是（）；既是2的倍数又是5的倍数是（）；既是2的倍数又是3的倍数是（）；既是3的倍数又是5的倍数是（）。（2）3的倍数中，最大的一位数是（），最小的两位数是（）；1000以内最大的3的倍数是（）；35加上（）或减去（）是3的倍数。（3）一个三位数同时是2,3,和5的倍数，这个三位数最小是（），最大是（）；能被2、3、5除都余1的最小自然数是（）；在1—100中，同时是2,3,5的倍数有（）。（4）按要求在□里填上合适的数字。既是2的倍数又是5的倍数：5□，13□，24□既是2的倍数又是3的倍数：35□，7□4，□7□0，7□既是3的倍数又是5的倍数：18□，1□5,2□0，4□□既是2和5的倍数又是3的倍数：4□□，2□0，□4□（5）用0,4,3,2四个数，按要求组成一个两位数。组成的数是2的倍数：组成的数既是2的倍数，又是5的倍数：组成的数既是2的倍数，又是3的倍数：（6）桌子上放着7个茶杯，全部底朝上。每次翻转2个，经过多少次杯口全部朝上？（7）有36个苹果，把它放在13个盘子里，每个盘子里只能放奇数个，这件事你能办到吗？（8）判断：自然数中，不是奇数就是偶数。（）个位上是0/3/6/9的数一定是3的倍数。（）所有的自然数都是整数。（）解析：错。整数包含正整数、负整数和0；而自然数只有0和正整数。用2,1,3组成的三位数一定是3的倍数。（）偶数是2的倍数，奇数是3的倍数。（）培优：1、在□重填上合适的数，使它是9的倍数。（1）□67□（2）4□□3（3）□□582、一盒羽毛球，5个5个的取，最后剩下1个；3个3个的取，最后剩下1个；2个2个地取，最后还是剩下1个。这盒羽毛球最少有多少个？六、质数与合数1、一个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数（或素数）。（只有2个因数）2、一个数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。（有2个以上的因数）3、1既不是质数也不是合数。（1的因数只有一个）注意：质数与合数的个数都是无限的，没有最大的质数或合数。最小的质数是2，最小的合数是4。2是唯一一个既是偶数又是质数的数。自然数（0除外）可以分成质数、合数和1.练习：（1）判断：2既不是素数，又不是合数。（）9是奇数也是素数。（）一个自然数（0除外），如果不是素数就是合数。（）（2）最小的自然数是（），最小的素数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（）。10以内的素数有（），合数有（）。20以内既是合数又是奇数的数有（）。50以内最大的质数与最小的合数乘积是（）。有两个数都是质数，这两个数的和是8，两个数的积是15，这两个数是（）和（）。既不是质数，又不是偶数的最小自然数是（）；既是质数，又是偶数的最小自然数是（）；既是奇数，又是质数的最小自然数是（）；既是偶数，又是合数的最小自然数是（）。既是奇数又是合数的最小自然数是（）。一个四位数，千位上既不是质数也不是合数，百位上是最小的合数，十位上是最小的质数，个位上既是奇数又是合数，这个数是（）。一个合数至少有（）个因数。一个三位数既有因数2，又是5的倍数，百位上是最小的质数，十位上是最大的一位奇数，这个数是（）。（3）在括号里填上合适的素数（质数）。8=（）+（）9=（）+（）12=（）+（）15=（）+（）18=（）+（）24=（）+（）七、质因数与分解质因数1、如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。1没有质因子。5只有1个质因子，5本身。（5是质数。）6的质因子是2和3。(6=2×3)2、4、8、16等只有1个质因子：2（2是质数，4=2，8=2，如此类推。）10有2个质因子：2和5。(10=2×5)2、把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。方法：短除法或塔形分解法。练习：（1）先找出下面的合数，再把它们分解质因数。112036495372（2）下面的式子，（）是分解质因数。A、54=2×3×9B、42=2×3×7C、15=3×5×1D、20=4×5（3）两个质数的和是22，积是85，这两个质数是（）和（）。（4）一个三位数，它的个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，百位上是最小的奇数，这个三位数是（），它同时是质数（）和（）的倍数。八、公因数与最大公因数几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。方法：找出小数的因数，在小数的因数中筛选大数的因数。例1：找出下面每组数的最大公因数。6和158和161和2030和68和99和25.注意：1、公因数的个数是有限的。2、几个数的公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。最大公因数只有1个。3、不同的两个数至少有1个公因数1。4、用短除法可以找出最大公因数，共有的质因数的积就是最大公因数。练习：（1）25和40的因数，公因数分别填在下面的圈里。25的因数40的因数（2）在每个分数后面的括号中写上分子、分母的最大公因数。94（）2715（）25和40的公因数159（）3029（）例2、找出每组数的最大公因数。A：5和158和1610和203和9发现：倍数关系，最大公因数是小数。反之，最大公因数是小数，这两个数就是倍数关系。B、9和71和711和123和11发现：互质关系，最大公因数是1.反之，最大公因数是1，这两个数就互质。当两个数的公因数或最大公因数是1时，我们就说这两个数互质。练习：（1）写出下面每组数的最大公因数。12和24（）；18和19（）；5和17（）；14和42（）；8和9（）；11和4（）；12和6（）；6和8（）；13和39（）；35和7（）。（2）一个数既是12的因数又是18的因数，这个数最大是（）。4A=B(A、B≠0)，A和B的最大公因数是（）。如果a=2×3×5，b=2×3×7，那么a和b的最大公因数是（）。（3）判断：两个合数的最大公因数不可能是1.（）两个数的公因数一定比这两个数小。（）3和4没有公因数。（）A是B的倍数，那么A、B的最大公因数是A。（）两个数的公因数一定是这两个数的因数。（）例3、(1)王先生准备将家里的贮藏室铺上地板。贮藏室长16分米，宽12分米，如果都使用整块的地砖，可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？在一张长40厘米，宽32厘米的长方形铁皮上剪同样大小且面积最大的正方形，不能有剩余，剪出的正方形边长是多少厘米？在一间长6米、宽4米的教室里铺同样大小的正方形地板，已知市场上有边长6分米和5分米的正方形地砖，选哪种型号比较合适？为什么？（2）两根彩带，一根长15厘米，另一根长20厘米，把它们剪成同样长的小段，没有剩余，每小段最长多少厘米？两根铁丝，一根16厘米，一根28厘米，把它们剪成同样长的小段，没有剩余，每小段最长多少厘米？（3）赵阿姨买回一条50分米长的红彩带和一条43分米长的绿彩带，分别把它们裁成同样长的小段，结果红彩带剩余2分米，绿彩带剩余3分米。所裁成的小段最长是多少分米？分别能裁成多少段这样长度相等的小段？（4）五（2）班男生30人，女生25人，把它们分成若干小组，如果每组中男生人数相同，女生人数也相同，最多可以分成几个小组？每组中的男生和女生各多少人？（5）有36支铅笔和40本练习本平均奖给几个三好学生，结果铅笔多1支，练习本多2本，得奖的三好学生至少有多少人？（6）按要求写出两个数，使最大公因数是1两个数都是合数：（）和（）两个数都是奇数：（）和（）一个偶数和一个奇数：（）和（）九、公倍数与最小公倍数几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。方法：先写出较大的数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数。例1、3和4的公倍数有哪些？其中最小的是几？注意：1、公倍数的个数是无限的，所以在没有限制的条件下在后面要加省略号。2、几个数的公倍数中最小的一个叫做这个数的最小公倍数。最小公倍数只有1个。3、找最小公倍数可以用短除法，所有质因数的积就是这两个数的最小公倍数。练习：找出下面每组数的最小公倍数和最大公因数。10和46和85和104和912和1016和44、两个数的最大公因数和最小公倍数的积等于这两个数的积。例2、找出下列每组数的最小公倍数，你发现了什么？（1）5和611和83和47和4发现：互质关系，最小公倍数是这两个数的