第二章 离散时间序列与系统1

2-1离散时间信号的表示及运算规则1.离散时间信号的表示方法离散时间信号在数学上表示成数的序列，序列x可用公式写为x={x(n)}注：n取整数∞n∞-x(n)(2-1)图2-1例：常用的序列的表示方法（a）x(n)={1,2,1.2,0,-1,-0.5,-0.2}n=0（b）（c）图形的方法注意：x(n)仅对于整数值才有定义(1)序列的加减2.序列的运算规则及符号表示(2)序列的积y(n)x(n)(n)yx(3)序列的标乘(4)序列的延时n00左移/超前n00右移/延时(5)分支运算y1(n)=x(n)y2(n)=x(n)3.常用的典型序列(1)单位取样序列(离散冲激)(2)单位阶跃序列与之间的关系：(3)矩形序列（4）实指数序列当n0，x(n)＝0时，上式可表示为图2.5表示0a1时，anu(n)的图形（5）复指数序列这里ω为数字域频率，单位为弧度。式(2．11)还可写成当a＝0时，上式可表示成6）正弦序列0()sin()xnAn()()sin()atnTxnxtAnT0/sTf0：数字域频率：模拟域频率T：采样周期sf：采样频率()sin()axtAt模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率4.序列的周期性周期序列的概念：如果对所有n存在一个最小整数N，满足则称x(n)为周期序列，记为，最小周期为N。例：因此，x(n)是周期为8的周期序列例：因此，x(n)是周期为8的周期序列()sin()sin[(8)]44xnnn现在讨论正弦序列的周期性。设根据周期序列的定义可知，这时正弦序列为周期序列，其周期为（其中N，k为整数）(1)当为整数时，正弦序列为周期序列，且最小周期为(2)当为有理数时，正弦序列为周期序列，且周期大于(3)当为无理数时，则任何整数k都不能使N为整数，这时正弦序列不是周期序列。5．用加权延时单位取样序列的线性组合表示任意序列任意序列都可以表示成多个甚至无穷多个经标乘的延时的单位取样序列之和，一般情况下，序列x(n)可表示为6.序列的能量序列的能量定义为序列各取样值的平方和，即2-2连续时间信号的取样及取样定理对信号进行时间上的离散化，这是对信号作数字化处理的第一个环节。研究内容：信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号）由离散信号恢复连续信号的条件采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。22xa(t)ot(a)(b)xa(t))(ˆatxTp(t)tttt(c)(e)(d)(f)s(t)xp(t))(ˆatxooooT1T1.信号取样ˆ()()()aaTxtxtpt0ˆ()()()aaTxtxtt当2.取样定理冲激函数序列pδ(t)是以取样间隔T为周期的周期性函数，也就是在t=nT的时刻，其值为1，其他值为零。由此可得冲激函数序列的各次谐波的幅度度都等于1/T25理想采样信号的频谱理想取样信号的频谱实际上就是理想抽样信号的傅里叶变换dttptxdtjXatj-tj-e)()((t)exˆ)(ˆmtmjatjtjmadtetxTdteetxjXss)(m)(1)(T1)(ˆ将pδ(t)代入dtetxjXtjaa)()(原输入连续时间信号xa(t)的频谱应为xa(t)的傅里叶变换])([1)(ˆmsamjXTjXmtmjatjtjmadtetxTdteetxjXss)(m)(1)(T1)(ˆ理想取样信号的频谱270Ωc－ΩcXa(jΩ)P(jΩ)－ΩsΩsΩΩ0Xa(jΩ)Ω0Xa(jΩ)ΩΩcΩs（a）（b）（c）（d）＾＾2s0－ΩsΩs－Ωsδ2s2s傅氏变换仍为冲激序列导致频域周期延拓sfTs22最高截止频率为Ωc1/T由以上讨论可以得到一个重要结论：取样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行的周期延拓而成。这个取样信号的频率就是取样角频率，其幅度是原来信号频谱幅度的1/T倍。29)(ˆjXa抽样信号的频谱为周期性信号，其周期为,22ssfTTs2,2Cs当将在2s发生频率混叠或,2/Cs,2cs当或,2/Cs频率不混叠带宽为的理想低通滤波器恢复信号山农取样定理：取样频率必须大于原模拟信号频率中最高频率的两倍，则可由其取样信号x(nT)来唯一表示。即为了避免发生混叠现象，必须使3.折叠频率与奈奎斯特频率折叠频率:是指当利用一个取样频率为或的离散时间系统进行信号处理时，该系统所能通过的信号频谱分量重的最高频率。信号中最高频率称为奈奎斯特频率。奈奎斯特取样率：能够再恢复出原信号的最小取样率为从频域来看，设信号最高频率不超过折叠频率理想取样后的频谱就不会产生混叠])([1)(ˆmsamjXTjX)(X1)(ˆjTjXa330Xa(jΩ)Ω＾G(jΩ)xa(t)ya(t)0G(jΩ)Ω－π/Tπ/T0Xa(jΩ)Ω（a）（b）（c）（d）＾2||02||)(HssTj4.抽样信号的恢复滤波器值允许通过基带频谱，即原信号频谱因此在滤波器的输出端得到了恢复的原模拟信号y(t)=xa(t)350Xa(jΩ)Ω＾G(jΩ)xa(t)ya(t)0G(jΩ)Ω－π/Tπ/T0Xa(jΩ)Ω（a）（b）（c）（d）＾5.取样内插公式tTtTttdeTdejHtsstjtjasssin22sin2)(21)(h2236naanaaanaanTthnTxdthnTxdthnTxdthxt)()()()()()(])()([)()(ˆ)(y)()(sin)(hnTtTnTtTnTta内插函数38naatxnTtTnTtTnTxty)()()(sin)()(求其奈奎斯特取样频率是多少？例1：已知第一题：信号的最高频率是500+400，故奈奎斯特取样品率是1800Hz；第二题是两个信号叠加，那么信号频率最高的频率分量就是信号的最高频率，也就是500Hz，故那奎斯特取样频率是1000Hz。00()sin(2)5081()2200ˆ()ˆ3()()()aasaaxtftfHzxtfHzxtxtxnxn例：模拟信号，其中）求的周期，采样频率应为多少？采样间隔应为多少？）若选采样频率，采样间隔为多少？写出采样信号的表达式；）画出对应的时域离散信号的波形，并求出的周期。解：050fHz1）由，得00()1/0.02axtTfs的周期为：02100sffHz采样频率应：1/0.01sTfs采样间隔应为：2200sfHz）选1/0.005sTfs则采样间隔为：00()sin(2/8)sin(2//8)asxnTfnTfnf501sin(2/8)sin(/8)2002nnˆ()()()aanxtxnTtnT1sin()()28200nnnt1()()sin()28atnTxnxtn02241/2Nk4N为最小正整数()4xnN的周期为