D2-2 导数的应用 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

第二部分一元函数微分学及其应用§2.1导数与微分§2.2导数的应用§1*微分中值定理§2洛必达法则(重点，必考)§3*泰勒公式§4函数的单调性与极值§5最优化问题§6函数的凹凸性...2.2导数的应用1微分中值定理(1)罗尔中值定理(2)拉格朗日中值定理(3)柯西中值定理4xyo)(xfy几何解释:预备定理——费马(Fermat)引理.0)()(),()(000xfxxfxbaxf可导，则在点且取得最值，内一点在若函数曲线在最高点或最低点如果有切线，则切线必然是水平的。1微分中值定理(1)罗尔中值定理(2)拉格朗日中值定理(3)*柯西中值定理罗尔(Rolle)定理6xOyCxabyf(x)AB几何解释:如果连续光滑的曲线yf(x)在端点A、B处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点C(x,f(x))，曲线在C点的切线是水平的。如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点x(a,b)，使得f(x)0。拉格朗日中值定理定理若函数y=f(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导．则至少存在一点x∈(a,b),使得abafbff)()()(x推论2若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b),有f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C为常数).推论1如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)≡0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数．§1微分中值定理§2洛必达法则（重点）§3*Taylor公式§4函数的单调性与极值§5最优化问题§6函数的凹凸性...2.2导数的应用洛必达法则在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求和00这两种基本未定式的极限，也可间接求出1,,0,,000等其它类型的未定式的极限定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则..)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(),()2(;)()(,0)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfxaxaxax那末或为无穷大存在都存在且及本身可以除外点点的某领域内在都趋于零及函数时当设.,,,该法则仍然成立时以及时当xaxx注①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的极限存在或为∞②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的极限③未定式为止使用法则，直到不再是续所要求的条件，则可继定理中对满足还是未定式，且若)(),()(),()()(lim0xgxfxgxfxgxfxx)()(lim)()(lim00xgxfxgxfxxxx)()(lim0xgxfxx④xxxxxxxxx,,,,000换成将仍有类似的结论定理)()()(lim)()(lim)()()(lim)3(0)(||)(),()2(0)(lim)(lim)1(||)(),(或则或时可导，且在上有定义，且在设AxgxfxgxfAxgxfxgNxxgxfxgxfNxxgxfxxxxx型的极限时00x关于型的极限，有下述定理定理)()()(lim)()(lim)()()(lim)3(0)()(),()2()(lim)(lim)1()(),(000000或则或可导，且的某邻域内有定义，且在设AxgxfxgxfAxgxfxgxgxfxgxfxxgxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxx,,,,000换成将结论仍成立例1解12333lim221xxxx原式266lim1xxx.23例2xeexxxcos12lim0xeexxxsinlim0xeexxxcoslim02注在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。.123lim2331xxxxxxxxxeexxxsin2lim0例3解22111limxxx原式221limxxx.1例4解axbxbbxaxaxsincossincoslim0原式.1axbxxcoscoslim0xxx1arctan2lim.sinlnsinlnlim0bxaxx例5证明证分两种情况①正整数若则连续使用μ次法则，得xxxxeex!limlim0②正整数若)10(rr记则连续使用[μ]次法则，得xxxxexex][][)1][()1(limlimxrxex][)1][()1(lim0lnlimxxxxrxex1][1][))(1][()1(limrxxxe11][])[)(1][()1(lim0本例说明：都趋于时，当xexxx,,ln但它们趋于+∞的速度有快有慢由慢到快依次是：对数函数、幂函数、指数函数这一点从图上即可看出oxy例6解直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则xxxxxxxxcos3cos3sinsinlim3tantanlim22xxxxxxcos3coslim3sinsinlim22xxxcos3coslim2xxxsin3sin3lim23.3tantanlim2xxx例7xxexxx1cos1sin2lim0分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效”xxexexxxxxx1sin1lim11sinlim020但010注分子分母中出现xxxxxx1cos,1sin,0cos,sin,时或时不可使用L.Hospital法则11sinlim20xxexx例8解30tanlimxxxx原式22031seclimxxxxxxx6tansec2lim20xxxtanlim310.31注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法——尤其是等价无穷小的代换——结合使用，可以简化运算过程，效果会更好，使用起来也更有效。.tantanlim20xxxxx其它未定式若对某极限过程有f(x)→0且g(x)→∞,则称lim[f(x)g(x)]为0·∞型未定式．若对某极限过程有f(x)→∞且g(x)→∞,则称lim[f(x)-g(x)]为∞-∞型未定式．若对某极限过程有f(x)→0且g(x)→０,则称limf(x)g(x)为00型未定式．若对某极限过程有f(x)→1且g(x)→∞,则称limf(x)g(x)为1型未定式．若对某极限过程有f(x)→＋∞且g(x)→0,则称limf(x)g(x)为0型未定式．型未定式解法二、00,1,0,,0关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.仍可使用L.Hospital法则来求极限步骤:即将其中之一个因子下放至分母就可转化为型或00,100.000100例9xxx1lnlim02011limxxxxx0lim0注意：对数因子不下放，要放在分子上步骤:0101xxxlnlim0型.2例10解xxxxxsinsinlim0原式xxxxxcossincos1lim0.0步骤:ln01ln0ln01000取对数).1sin1(lim0xxx型00,1,0.3-0例11解xxxeln0lim原式xxxelnlim0xxxe1lnlim02011limxxxe0e.1例12解xxxeln111lim原式xxxe1lnlim111lim1xxe.1e.lim111xxx.lim0xxx001例13解,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex取对数得)ln(cotln1lim0xxxxxxx1sin1cot1lim20xxxxsincoslim0,1.1e原式.)(cotlimln10xxx0例14解1sin1limxx原式).sin1(limxx极限不存在洛必达法则失效。)cos11(limxxx原式.1注意：洛必达法则的使用条件．.coslimxxxx几点说明①L.Hospital法则只是求未定式极限的一种有效方法，是充分条件，当定理的条件满足时，所求的极限存在或为∞，当定理的条件不满足时，主要是指（3）不成立，即导数之比的极限不易求出，或不存在但不∞，函数之比的极限未必不存在，此时L.Hospital法则：“失效”xxxxxx1cos,1sin,0cos,sin,时或时若出现不宜使用L.Hospital法则②L.Hospital法则只能对，00这两种基本未定式才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化③L.Hospital法则与等价无穷小的代换结合使用效果会更好④使用L.Hospital法则前宜先行约去可约因子，特别是极限不为0的因子，宜将确定后的极限值提到极限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次乘积极限的运算法则）⑤可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以简化计算三、小结例.cossinsinlim420xxxxxx求解313sinlim3sincoscoslimcossinlimsinlimcossinlimcossinsinlim202030030420xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx例23466lim443123lim8421612lim22222332xxxxxxxxxxxxx.8421612lim2332xxxxxx求解例.1)1ln(limxxax求解axaaxxaxaxxaxxx1lim1)()1(lim1)1ln(lim21例01lim1limlnlim1axaxaxaxaxxxx.0lnlimaxxax求解3262cos26cos6limsincos63sin3cos6limcos33coslim3cos3cos1lim3tantanlim222222222xxxxxxxxxxxxxxxxx.3tantanlim2xxx解例例0lim2121limlnlimlnlim20302020xxxxxxxxxxx.lnlim20xxx求解例解xxyxyxlnsinlnsin则设.limsin0xxx求0sinlimcos1limsincos1limsin1lnlim)ln(sinlimlnlim20020000xxxxxxxxxxyxxxxxx1elim,eelimlim0sin0lnlimln00ln0xxyyxxyxye