概率论_抽样分布（PPT67页)

第二节统计量与抽样分布一、基本概念二、常见分布三、小结总体选择个体样本观测样本样本观察值(数据)数据处理样本有关结论推断总体性质统计量统计的一般步骤这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.样本是进行统计推断的依据。但在实际应用时，一般不是直接使用样本本身，而是对样本进行整理和加工,即针对具体问题构造适当的函数—统计量,利用这些函数来进行统计推断,揭示总体的统计特性.一、统计量1.统计量的定义定义6.2设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本,x1，x2，…，xn为其样本值,则称不含任何总体分布中未知参数的连续函数为统计量,相应实数称为其观察值。),,,(21nXXXg),,,(21nxxxg?,,,,),(,,22321哪些不是些是统计量判断下列各式哪为未知为已知其中样本的一个是来自总体设NXXX,11XT,3212XeXXT),(313213XXXT),,,max(3214XXXT,2215XXT).(123222126XXXT是不是实例12.几个常用统计量.,,,,,,,2121是这一样本的观察值是来自总体的一个样本设nnxxxXXX(1)样本平均值;11niiXnX(2)(修正)样本方差niiXXnS122)(11.11122niiXnXn.11niixnx其观察值(3)(修正)样本标准差;11122niiXXnSS其观察值.)(1112niixxns其观察值niixxns122)(11.11122niixnxn(4)样本k阶(原点)矩;,2,1,11kXnAnikik其观察值.,2,1,11kxnnikik(5)样本k阶中心矩;,3,2,)(11kXXnBnikik其观察值.,3,2,)(11kxxnbnikik证明niiniiXEnXnEXE11)(1)1()(定理6.1:设总体X的均值为μ,方差为σ2,(X1,X2,…,Xn)是X的一个样本,则有21211)(1)1()(nXDnXnDXDniinii,)(,)(2nXDXE22)(SE212)(11)(niiXXnESEniiXnXnE122])()([11])()([11221XnEXEnniiniiXXnE12)]()[(112221)(11])()([11nnnnXnDXDnnii.,2,1,,,)(kAnXEkXkPkkk时则当存在记成阶矩的若总体证明,,,,21同分布独立且与因为XXXXn,,,,21同分布独立且与所以kknkkXXXX.)()()(21kknkkXEXEXE故有辛钦定理再根据第五章辛钦定理知定理6.2:由第五章关于依概率收敛的序列的性质知),,,,(),,,(2121kPkgAAAg.是连续函数其中g;,2,1,11kXnkPniki以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据.有关二维总体的统计量自己看。1.标准正态分布及其上侧分位数若P(Xzα)=α,则称zα为标准正态分布的上侧α分位数.1)(zzααXφ(x)其中定义设X~N(0,1),对任意0α1,二、常见抽样分布完全由样本确定的函数就是统计量。统计量是随机变量，它的分布称为抽样分布。下面,介绍来自正态总体的几个重要统计量的分布.注:zz11zz.,可通过查表完成的值求z05.0z附表2-1025.0z,645.1,96.1附表2-2定义)0()(10xdttexxt性质);0()()1(xxxx;1)1()2(;!)1(nn);1(212102xxdttext.2212102dtet重要积分补充知识:Γ-函数).(~,,)1,0(,,,22222221221nnXXXNXXXnn记为分布的服从自由度为＝则称统计量的样本是来自总体设.:222212变量的个数中右端包含独立指自由度nXXX分布22.(卡方分布)分布的概率密度为)(2n.00,e)2(21)(2122其他yynyfynn),1,0(~NXi又因为),1(~22iX由定义的密度曲线)(2nXf(x)n=1n=4n=10随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.例1、设随机变量X1，X２，X３，X４独立且都服从N(0，1/2),则(X1+X2)2+(X3+X4)2服从_______分布;若要使aX12+b(X2+X3+X4)2~2(2),则a=____,b=____.)2(2232例2设是取自总体N(0,4)的简单随机样本当a=,b=时,).2(~2X243221)43()2(XXbXXaX4321,,,XXXX解由题意得)1,0(~)43()1,0(~)2(4321NXXbNXXa1)]43([1)]2([4321XXbDXXaDa=1/20b=1/100分布的性质2性质1).(~,,),(~),(~2122221222122221221nnnn则立独并且设)(2分布的可加性(此性质可以推广到多个随机变量的情形.)).(~,),,2,1(),(~21212222mmiiiiinnnmin则独立相互并且设性质2.2)(,)(),(~2222nDnEn则若证明),1,0(~NXi因为,1)()(2iiXDXE所以2242)]([)()(iiiXEXEXD,123.,,2,1niniiXEE122)(故niiXE12)(,nniiXDD122)(niiXD12)(.2n)(2分布的数学期望和方差分布的分位点2.)()(d)()}({,10,22)(222分位点分布的上为的点称满足条件对于给定的正数nnyyfnPn.,,分位点的值得上可以通过查表求对于不同的nXf(x))(2n分位点满足的上设)(),(~22nnZ2{()},PZn.,)(2可通过查表完成的值求n)8(2025.0)10(2975.0)25(21.0附表附表3只详列到n=45为止.,535.17,247.3附表.382.34附表例3..)12(21)(,22分位点是标准正态分布的上其中充分大时当znznn例如2205.0)99645.1(21)50(.221.67利用上面公式,而查详表可得.505.67)50(205.0.,45分位点的近似值上时可以求得n费舍尔(R.A.Fisher)证明:).(~,/,,),(~),1,0(~2ntttnnYXtYXnYNX记为分布的服从自由度为则称随机变量独立且设t分布又称学生氏(Student)分布.tntnnnthn,12π21)(212分布的概率密度函数为)(nt分布t3.t分布的密度曲线:Xf(x)特点关于y轴对称偶函数;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.例4：设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，则服从______分布；24232213XXXX)3(t)3(~)2()2()2(,)1,0(~222423221XXXNX)3(~3/})2()2()2{(22423221tXXXX.)()(d)()}({,10,)(分位点分布的上为的点称满足条件对于给定的ntnttthnttPnt.分位点的值得上可以通过查表求.)(,45zntn时当分布的分位点t)n(tXf(x)αxO)(xf)(2/nt2/)(2/1nt2/双侧α/2分位点:)(),(2/2/1ntnt显然,)()(2/2/1ntnt由分布的对称性知：分位点满足的上设)(),(~ntntT,d);()}({)(ntynytntTP.,)(可通过查表完成的值求nt)10(05.0t附表3-1,8125.1)15(025.0t.1315.2附表3-2例5).,(~,),(//,,),(~),(~2121212212nnFFFnnnVnUFVUnVnU记为布分的服从自由度为随机变量则称独立且设分布F4.).,(~,),(//,,),(~),(~1212122212nnFFFnnnUnVFVUnVnU记为布分的服从自由度为随机变量则称独立且设同理),(~1),,(~1221nnFXnnFX则若即：分布的概率密度为),(21nnF.,0,0,1222)(2212112221212111其他ynynnnynnnnynnnnF分布的的密度函数的示意图(n1,n2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)O例6：设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，则（Ｘ１２＋Ｘ２２）／（Ｘ３２＋Ｘ４２）服从______分布。)2,2(F)2(~)2()2()2(~)2()2(2242322221XXXX)2,2(~2/})2()2{(2/})2()2{(24232221FXXXX〖解〗t-分布,χ2-分布，F-分布。因为X~t(n),所以由t-分布定义知：存在两个相互独立的随机变量)(~),1,0(~2nZNY.nZYX)(~),1(~222nZY),1(~22nFnZYX由Y,Z的相互独立可得:Y2与Z也相互独立。再由F-分布定义得:使有选择题7P1506.已知，证明。)(~ntX),1(~2nFX由χ2-分布定义知：分布的分位点F.),(),(d)()},({,10,2121),(2121分位点分布的上为的点称满足条件对于给定的nnFnnFyynnFFPnnFXf(x))n,n(F21分位点满足分布的上设),(21nnF.,),(21可通过查表完成的值求nnF)8,7(025.0F)14,30(05.0F附表5-1,d)()},({),(2121nnFyynnFFP53.4.31.2附表5-2例7xO)(xf),(21nnF:分位点具有如下性质分布的上F11(,).(,)FnmFmn)},({mnFFP357.080.21)12,9(1)9,12(05.095.0FF查附表6[P.301]:1)},({1mnFFP1}),(11{1mnFFP1}),(11{mnFFP1)},(1{1nmFFP11(,)(,)FnmFmn5.正态总体的样本均值与样本方差的分布对于单正态总体N(μ,σ2)的均值与方差有:定理6.3设是来自正态总体N(μ,σ2)的样本,则nXXX,,,21);1(~)1(222nSn①、②、).,(~2nNX③、2,SX④、独立.);1(~/ntnSX注意:),1(~221nXXnii).(~221nXnii即2卡方分布定义证明),1,0(~/NnX因为),1(~)1(222nS