2000年数学建模B题解答

1钢管订购和运输摘要：本文建立了一个运输问题的最优化模型。通过分析题图一，我们利用Floyd算法求出铁路网和公路网各点间最短路线，然后转化成最少运输，去掉了铁路和公路的性质，使运输网络变成一张供需运输价格表，然后建立了一个以总费用为目标函数的非线性规划模型，利用Lingo软件，求出问题一的最优解为1278632万元通过对问题一中lingo运行结果的分析，我们得出S5钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，S1钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。问题三模型的建立原理和问题一的相同，利用Lingo软件，求得最优解为1407149万元.关键词：Floyd算法，非线性规划，0-1规划2一问题重述有7个生产厂，可以生产输送天然气主管道的钢管721,,SSS。要沿着1521AAA的主管道铺设,如题图一所示。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂iS在指定期限内能生产该钢管的最大数量为is个单位，钢管出厂销价1单位钢管为ip万元，如下表：123456780080010002000200020003000160155155160155150160iisip1单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)≤300301～350351～400401～450451～500运价(万元)2023262932里程(km)501～600601～700701～800801～900901～1000运价(万元)37445055601000km以上每增加1至100km运价增加5公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对题图二按（1）的要求给出模型和结果。二问题分析问题一，首先，所有钢管必须运到天然气主管道铺设路线上的节点1521AAA，然后才能向左或右铺设。必须求出每个钢管厂721,,SSS到每个节点1521AAA的每单1521,,,AAA3位钢管的最小运输费用。对最小运费的求解，我们采用Floyd算法。先求出铁路网上钢管厂到铁路上任意两点iV，jV的最短路线的长度ijL,用matlab求得ijL对应的铁路单位运费ijD；同理用Floyd算法求出公路网上的任意两点jV，kV的最短公路路线的长度jkL，结果乘以0.1得到公路运费jkD1。)1min(jkijikDDC，j表示所有运输中转点，于是就得到从某钢厂到某铺设点运输单位钢管的最少运输费用。每个铺设点分别向LR,两个方向展开，通过Lingo编程求出最小铺设费用。运输费用加上购买费用再加上铺设费用就是我们所要求的总费用。问题二，通过问题一里面Lingo编程运行得出的结果，分析哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。问题三，如铺设的管道是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络对于题图二，我们可以延用问题一里面的思想，在题图一的基础上多几条铺设路段，9，11，17节点的铺设方向变为ZLR,,三个方向，其他不变。三模型的假设与符号说明1)基本假设:○1钢管在运输中由铁路运转为公路运时不计中转费用；○2所需钢管均由)7,...,1(iSi钢厂提供；○3假设运送的钢管路途中没有损耗。○4把“钢厂钢管的销价和产量上限变化对总费用和运购计划的影响”理解为在最优解附近的微小变化对总费用和运购计划的影响。销价最小变化是1万元，产量上限的最小变化是1个单位。○5沿管道或者原来有公路或者建有施工公路。○6一个钢管厂如果承担制造钢管，至少要生产500个单位。○7公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元，不足整公里按整公里计算。2)符号说明1:1)21,...,2,115,...,2,17,...,2,1(jji，对于第二问：而对于第一问：其中4iS:钢厂iS的最大生产能力;ip:钢厂iS的出厂钢管单位价格(单位:万元);d:公路上一单位钢管的每公里运费(d=0.1万元);ijD：铁路网上两点间的单位钢管最少运输费用；jkD1：题图一公路网上两点间的单位钢管最少运输费用；jkD2：题图二公路网上两点间的单位钢管最少运输费用；e:铁路上一单位钢管的运费(分段函数见表1);ijc:1单位钢管从钢厂iS运到jA的最小费用(单位:万元);jb:从jA到1jA之间的距离(单位:千米);ijx:钢厂iS运到jA的钢管数;jL:运到jA地的钢管向左铺设的数目;jR:运到jA地的钢管向右铺设的数目;jZ：运到jA地的钢管向第三个方向铺设的数目;it:=不提供钢管；，钢厂提供钢管；，钢厂iiS0S1W:问题一中所求钢管订购、运输的总费用(单位:万元);*W:问题二中所求钢管订购、运输的总费用(单位:万元);四模型的建立与求解问题一的模型：针对题图一，我们采用Floyd算法，用matlab编程求出单位钢管从iS运输到jA的最小运输费用，具体数据如下表1：5表1单位钢管从iS运输到jA的最小运输费用（单位：万元）S1S2S3S4S5S6S7A1170.7215.7230.7260.7255.7265.7275.7A2160.3205.3220.3250.3245.3255.3265.3A3140.2190.2200.2235.2225.2235.2245.2A498.6171.6181.6216.6206.6216.6226.6A538.0111.0121.0156.0146.0156.0166.0A620.595.5105.5140.5130.5140.5150.5A73.186.096.0131.0121.0131.0141.0A821.271.286.2116.2111.2121.2131.2A964.2114.248.284.279.284.299.2A1092.0142.082.062.057.062.077.0A1196.0146.086.051.033.051.066.0A12106.0156.096.061.051.045.056.0A13121.2171.2111.276.271.226.238.2A14128.0178.0118.083.073.011.026.0A15142.0192.0132.097.087.028.02.0对表1的数据进行分析，我们得到一个非线性规划模型：目标函数是总费用W,它包含三项:钢管出厂总价Q,运输费P,及铺设费T.即W=Q+P+T其中ijijixpQ71151，ijijijxcP71151，2121151jjjjjRRLLdT目标函数为：2121min1517115171151jjjjjijijijijijiRRLLdxcxpW约束条件为:①生产能力的限制:iijijitsxt151500)7,...,1(i)10(或it②运到jA的钢管用完:jijijRLx71)15,...,1(j③jA与1jA之间的钢管:jjbLR1j)14,...,1(j④变量非负性限制:0,0,0jRLxjij,)15,...,1,7,...,1(ji⑤运到jA的钢管整数限制:Nxij运用数学软件Lingo编程求解最优最小费用1278632.W万元问题二的模型通过分析问题一中关于销价的约束，Lingo运行后得到的结果得6S1S2S3S4S5S6S7影子价格-800-800-10000-1320-1250.990影子价格表示在最优解下“资源”增加一个单位时“效益”的增量，即每个钢厂销售价格每减少一万元，对总费用的影响。从表中数据分析，S5钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用的影响最大。通过分析问题一中关于产量的约束，Lingo运行后得到的结果得S1S2S3S4S5S6S7影子价格10335253.330016分析表中数据，得S1钢厂钢管的产量上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。问题三的模型题图二为树形图，采用Floyd算法，用matlab编程求出单位钢管从iS运输到jA的最小运输费用，具体数据如下表2：表2单位钢管从iS运输到jA的最小运输费用（单位：万元）S1S2S3S4S5S6S7A1170.7215.7230.7260.7255.7265.7275.7A2160.3205.3220.3250.3245.3255.3265.3A3140.2190.2200.2235.2225.2235.2245.2A498.6171.6181.6216.6206.6216.6226.6A538.0111.0121.0156.0146.0156.0166.0A620.595.5105.5140.5130.5140.5150.5A73.186.096.0131.0121.0131.0141.0A821.271.286.2116.2111.2121.2131.2A964.2114.248.284.279.284.299.2A1092.0142.082.062.057.062.077.0A1196.0146.086.051.033.051.066.0A12106.0156.096.061.051.045.056.0A13121.2171.2111.276.271.226.238.2A14128.0178.0118.083.073.011.026.0A15142.0192.0132.097.087.028.02.0由于树形图的出现，则某些管道处会出现多支路。则模型一中模型的jL，jR不再适用，此时可考虑多增加一些支路变量，并增加约束，在目标函数中增加相应的铺设费。目标函数：)20,19,17,17,11,9(21212121min1412127121171211nmRRZZRRLLdxcxpWnnmmjjjjjjijijijijiji）（）（约束条件：7①生产能力的限制:iijijitsxt211500)7,...,1(i)10(或it②运到jA的钢管用完:jijijRLx71)17,11,921,...,1(jj且jjijijZRLx71)17,11,9(j③jA与1jA之间的钢管:jjbLR1j)14,...,1(j42169LZ101711ZZ1301817LL1901917LR2602019LR1002120LR④变量非负性限制:0,0,0,0jjZRLxjij,)21,...,1,7,...,1(ji⑤运到jA的钢管整数限制:Nxij运用数学软件Lingo编程求出最优最小费用1407149.W万元五模型优缺点1.本文先从简单的角度着手建立模型，采用Floyd算法，简化运输网络。过程严谨，理论性强，逻辑严密，而且易于理解。2.在计算最短路径时，我们采用Floyd算法，相比与Dijkstra算法，减少了大量的重复计算，提高了工作效率。3.本文大量运用了计算机程序，所有数据均由计算机处理，故误差由计算机精度产生，模型据有良好的稳定性。参考文献：[1]谢金星,薛毅.《优化建模与LINGO/LINGO软