数列极限的几种计算方

数学与统计学院2015届毕业论文-1-数列极限的几种计算方法01234567-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81数学的应用，在我们的生活中随处可见，而数学分析中的数列极限是高等数学的重要内容，是贯穿于整个微积分教学的主线,它描述了变量在运动过程中的变化趋势，是从有限认识无限,从近似认识精确，从量变认识质变的必备推理工具.同时，数列极限又是极限的基础，它的计算是微积分教学中的重点和难点，所以本文通过典型实例，对数列极限的计算方法做了一些规律性的分析和总结.二计算方法1定义法设na为数列，a为任一常数，若对任给的0,总存在N0,使得当nN时,有naa,则称数列na收敛于a,或称数列na以为极限a.注1一般来说，用定义求数列极限局限性很大，它更多地被应用于有关极限值的相关证明，对于如何用数列极限定义证明数列极限问题，常用的基本方法有:适当放大法，条件放大法.例题1用定义法证明数列极限223lim33nnn分析由于22239933.33nnnnn（1）因此，对任给的0,只要9,n便有2233,3nn数学与统计学院2015届毕业论文-2-即当9,n时左边的式子成立.又由于（1）式是在3n的条件下成立的，故应取9max{3,}.N证明任给0,取9max{3,}.N根据分析，当nN时有22333nn成立.于是此题得证.2利用数列极限的四则运算法则计算数列极限设极限limnna与limnnb均存在，则limlimlim;limlimlim;limlim;limlimlim0;limnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnababababcacaaabbb（1）（2）（3）（4）注2数列极限的四则运算只能推广到有限个数列的情况，而不能推广到无限个数列或不定个数的数列上去.例题2求极限22256lim34nnnnn分析由于n，所以有10n，210n.于是给分子分母同时除以2n，再利用数列极限四则运算法计算即可.解222211256256limlim1134134nnnnnnnnnn2211lim256211lim134nnnnnn.3利用数列的一些特征计算数列极限数学与统计学院2015届毕业论文-3-注3此种方法也就是直接将数列进行化简，从而计算出数列极限.方法只适用于一些特殊的数列，不具有一般性.例题3计算极限1111lim.122334(1)nnn分析观察数列，可以看出数列极限为21lim(1)nniii，通项11(1)nann，由111(1)1nnnn，所以括号中的式子可用裂项相消法计算，以此可以解出数列极限.解1111lim122334(1)nnn11111lim12231nnn1lim11.nn4利用夹逼准则计算数列极限设lim,limnnnnab均存在，且lim,limnnnnaAbA，若数列{}nc满足nnnacb，则有lim.nncA注4利用夹逼准则求极限的关键是:将原数列适当地放大和缩小，使得放大后和缩小后的两个新数列的极限值相等，则原数列的极限值存在且等于新数列的极限值.例题4计算数列极限22221111lim123nnnnnn分析括号里的数列极限不能用上面的方法，但是，数列可以放大和缩小，所以关键是找到极限值相等的数列{}na与{}nb，进而可以用夹逼准则来计算数列极限.解22222211111231nnnnnnnnnn21limlim1,11nnnnnn且数学与统计学院2015届毕业论文-4-221limlim1.111nnnnn根据夹逼准则，有22221111lim=1.123nnnnnn5利用“单调有界数列必有极限”准则求解数列极限(a)如果数列{}na单调增加且有上界，即存在数M,使得1,2.naMn那么limnna存在且不大于M.(b)如果数列{}na单调递减且下界，即存在数m,使得1,2,namn那么limnna存在且不小于m.注5递推数列极限的计算是数列极限计算中的一大类问题.而“单调有界准则”是判别递推数列极限是否存在最常用的一种方法，它不用借助其它数列而是直接利用所给数列自身的单调性和有界性来判别极限的存在性.例题5计算数列极限1212,22,,2,limnnnnxxxxx求分析(1)通过观察可以看出12,nxxx即数列{}nx单调增加；（2）12112,2222,,2222,nnxxxxx即数列{}nx有上界.所以，由单调有界准则知，数列极限存在，设limnnxa，然后计算出常数a即为数列极限.解由单调有界准则知，数列极限存在，设lim,nnxa12nnxx所以给等式两边取极限得1limlim2nnnnxx,2,aa也即21.aa解出或0,2.nxa又由于所以取数学与统计学院2015届毕业论文-5-例题6设11111111111,1,,22nnnnnnxyxxyyxy，证明数列{}nx，{}ny收敛，且有相同的极限.分析因数列{}nx与数列{}ny之间有大小关系，所以只要明确两者之间的关系，利用夹逼准则，就可证明两个数列极限均存在，进而证明两个极限相等.解11111111110,02nnnnnnnnnnxyyxyxyxyx即-11-1111={}1nnnnnnnnxxyxxxxxx又数列单调递减，且有01111111111111{}22nnnnnnnyyxyyyy数列单调增加，且有112nyy，1211=12nnyyyxx于是.所以数列{}nx单调递减有下界，数列{}ny单调增加有上界；由单调有界准则知两个数列的极限均存在.设lim,lim.nnnnxayb于是有1111,,2aabbab求出.ab即两个数列有相等的极限.6利用多项式型极限性质求得数列极限多项式型极限：10110100110,lim,.,kkkkllnllklanananaaklbbnbnbnbkl例题7求极限2238lim.nnnn解由上面的性质可知此题的极限属于kl型数学与统计学院2015届毕业论文-6-所以2238lim3.nnnn7利用数列与子列的关系计算数列极限定理若数列{}nx收敛于a，则它的任何子列{}knx也收敛于a,即limlim.knnnnxaxa注6此定理经常被用来判断一个数列的发散,即若数列有两个子列极限不相等,则数列必定发散.例题8证明数列{sin}4n发散.证明取(1)(2)4,82.kknknk则子列(1){}knx收敛于0，而子列(2){}knx收敛于1，所以由上面定理及注意的可知数列{sin}4n发散.8利用柯西收敛原理计算数列极限定义数列{}nx,若对任意给的0,存在N0,使得当n,mN时,成立nmxx,则称数列nx是一个基本数列.柯西收敛原理数列nx收敛的充分必要条件是：数列nx是基本数列.例题9证明数列23sin1sin2sin3sin,2222nnnx1n收敛.证明0,0,N对,0np,当nN时,有1212sin(1)sin(2)sin()1212222222npnnnnpnnnpnnnnppxx所以,取21log()N，则由数列nx收敛的柯西准则知，数列nx是收敛的.9利用压缩性条件计算数列极限数学与统计学院2015届毕业论文-7-定理数列nx满足条件：11,01,2,3,,nnnnxxkxxkn则数列nx收敛.例题10已知数列123112,2,2,1222aaa，证明数列{}na极限存在,并求此极限.解由假设知112,nnaa且2,na易证522na,于是111111112(2),4nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa即数列{}na满足压缩性条件，所以数列极限存在.假设极限为l，即limnnal，则由递推公式得12ll，解之，得到12l或12l(舍去)，所以lim12nna.10利用两个重要极限计算数列极限(a)0sinlim1.xxx(b)11lim.nnen注7使用此种方法，关键是将数列经过变形化成必要的形式,而且此种方法使用的很普遍,特别是第二个极限要着重掌握并灵活运用.例题11求极限+limsin.xxx分析由于原式中出现sinx，立刻想到用重要极限，但是首先要对原式进行变形，得到我们需要的形式，再进行求解.数学与统计学院2015届毕业论文-8-解++sinlimsinlimxxxxxxx因为0xx利用重要极限得原式=+sinlimxxxx=0.例题8求极限211lim1.xnxx分析利用重要极限，关键是要极限符合1型.解22111lim1lim1xnnnnxxn21121lim1nnnnnnn=.e11应用函数极限与数列极限关系求极限函数极限与数列极限关系是:若lim()xfxA，则limlim()nnnxfnA.例题9求数列极限211lim1.nnnn分析这是数列极限，利用函数极限与数列极限的关系，要先得找到数列所对应的函数，再求函数极限，进而得到数列极限.解数列极限对应的函数极限为211lim1xxxx,对2111xxx,用公式lnbbaae得数学与统计学院2015届毕业论文-9-211ln(1)211(1),xxxxexx而211limln11xxxx于是211limln1211lim1.xxnxxneenn12利用等价无穷小替换法求极限注8应用这个关系可以用求函数极限的方法求某些函数的极限，其关键是找相应的函数.常见的一些等价无穷小量：当0x时，21sin~,tan~,arcsin~,arctan~,1cos~,2xxxxxxxxxxln(1)~,1~,1~ln,(1)~xxxxexxxx定理设函数,,fgh在0()oUx上有定义，且有0()~()().fxgxxx(1)若0lim()(),xxfxhxA则0lim()();xxgxhxA(2)若0()lim,()xxhxBfx则0()lim;()xxhxBgx例题10求极限311sin(1cos)lim.1nnnn分析先将数列极限转换成函数极限，然后再利用上面的等价变换21sin~,1cos~2xxxx求解.解令原极限中的1xn，则数列极限所