化工数学(周爱月)习题解答――第7章

1化工数学（周爱月）习题解答——第七章7－3解：（a）2221310BAC-=-?，双曲型，(,)xyRÎ（b）201BACxx-=-?-200xBAC-，椭圆型；200xBAC-，双曲型；200xBAC=-=，抛物型。（c）21/401/40BAC-=-=，双曲型，(,)xyRÎ（d）222222()(1)(1)1BACxyyxxy-=----=+-22210xyBAC+-，椭圆型；22210xyBAC+-，双曲型；22210xyBAC+=-=，抛物型。（e）222220()BACxyxy-=--=200xyBAC?，双曲型；2000xoryBAC==-=，抛物型。（f）22201()()BACxyxy-=-?=-+200xyBAC+?，椭圆型；200xyBAC+=-=，抛物型。（g）2BACxy-=-2200xyBAC-，椭圆型；200xyBAC-，双曲型；200xyBAC=-=，抛物型。（h）21sgnsgnBACxy-=-?200xyBAC?，双曲型；200xyBAC-=，抛物型。7－4解：（a）一阶、线性、齐次；（b）二阶、非线性、齐次，有未知函数与其偏导数乘积项；（c）二阶、线性、非齐次、常系数（d）二阶、拟线性、非齐次，有未知函数的指数项；（e）二阶、拟线性、非齐次。有未知函数偏导数的幂。7－5解：（a）yuarctgx=222222222222222221()()1()2()()()11()()1()2()()()0xxxxxxxyyyyyyyxxyyyyyuarctgxyxxxyyyxyuarctgxxyxyyxuarctgxyxxxyyxxyuarctgxxyxyuuu==?=-++==-=++==?++-===++\D=+=3满足拉普拉斯方程。（b）sinxuey=(sin)sin,(sin)sinxxxxxxxxyyyyueyeyueyey====-∴0xxyyuuuD=+=，满足拉普拉斯方程。（c）22lguxy=[phone](lg)ln10xxxuxyxyxy=+=鬃++22222222211(lg)()ln10ln10()xxxxxxyxuxyxyxy-=+=??++由对称性22222221(lg)ln10()yyyyxyuxyxy-=+=?+∴0xxyyuuuD=+=，满足拉普拉斯方程。（d）sinsinhuxy=sinsinh,sinsinhxxxxuxyuxy=-=∴0xxyyuuuD=+=，满足拉普拉斯方程。7－6解：2txxuCu=（a）2costuex-=222cos,costttxxuexuex--=-=-2222(0)txxuuCCC=??（b）sin3tuex-=4sin3,9sin3tttxxuexuex--=-=-2111(0)993txxuuCCC=??（c）4costuexw-=4244cos,costttxxuexuex=-=-222442(0)txxuuCCC=??7－7解：2txxuCu=（a）224uxt=+8,2ttxxuu==2442(0)ttxxuuCCC=??（b）323uxxt=+6,6ttxxuxux==211(0)ttxxuuCCC=??（c）sinsinuctxww=222sinsin,sinsinttxxucctxuctx=-=-222(0)ttxxucuCcCcc=??7－8解：势函数满足0j汛?（a）cur=（222,rxyzc=++为常数）133()()()cucrcrrcrxiyjzkr---???-=-++5∴cur=是势函数。（b）lgucrk=+，（222,,rxyzck=++为常数）2(lg)()ln100cucrkrxiyjzku-??=-++汛?∴lgucrk=+是势函数。（c）222xyuarctgxy=-222222222222222222222222222124()2112()4()212()2()4uyxyxxyxyxyxyyxyxyxyxyxyyxyyxyxyxy轾¶犏=-犏?-骣臌÷ç+÷ç÷ç÷-桫--=?-骣÷ç+÷ç÷ç÷-桫-+-==-++222,0uxuyxyz抖==??333333333()()()()()()0ijkucxyzxyzrrrzyxzyxcijkyrzrzrxrxryr622222222222222222222222220242400()()44()0()ijkuxyzyxxyxyxyijkxyxyxyxyxykxyxy抖?汛?抖?-++轾--犏=++--+犏++++臌轾+犏=-=犏++臌∴222xyuarctgxy=-是势函数。7－9均匀细杆的纵向振动，设杆的线密度为ρ，杨氏弹性模量为E，均为常数。解：沿杆轴向x作微小振动。假设t时刻x处的纵位移为),(txu，如图。在t时刻，x点受左边杆的应力（作用在单位横截面上的力）为),(txp；在xx+D点受右边杆的应力为(,)pxxt+D。由牛顿第二定律22[(,)(,)]uSxSpxxtpxttr¶D=+D-¶（1）其中ttu是小段杆元的加速度，S为杆的横截面段。uuxxxxu),(txxP),(txP7有由Hook（虎克）定律，在x点有(,)(,)uxtpxtEx¶=¶（2）式（2）代入式（1）得22(,)(,)[]uuxxtuxtSxSEEtxxr抖+D?D=-抖?由微分中值定理，并令0xD?得2222uuEtxr抖=抖或20ttxxuau-=其中2aEr=。7－10在杆的纵向振动时，假设（1）端点固定；（2）端点自由；（3）端点固定在弹簧支承上。试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解：（1）端点固定，(0,)(,)0utult==；（2）端点自由，在点x处的张应力xuEn骣¶÷ç÷ç÷ç桫¶与外力的关系：xuESfn骣¶÷ç?÷ç÷ç桫¶其中E是杨氏模量，S是杆的截面积。当外力0f=时，0xuESn骣¶÷ç=÷ç÷ç桫¶，即0xun¶=¶。当0x=时，000xxuunx==骣抖÷ç=-=÷ç÷ç桫抖；8当xl=时，0xlxluunx==骣抖÷ç==÷ç÷ç桫抖。（3）端点固定在弹簧支承上：设在点x处的相对伸长为un¶¶，则杆中的弹性张力uESn¶¶与弹性恢复力ku-（k为弹性系数）相等，即0uukESkuunnES抖=-?=抖。令khES=，上式化为0uhun¶+=¶当0x=时，00xxuunx==骣抖÷ç=-÷ç÷ç桫抖，上式化为00xuhux=骣¶÷ç-=÷ç÷ç桫¶；当xl=时，xlxluunx==骣抖÷ç=÷ç÷ç桫抖，上式化为0xluhux=骣¶÷ç+=÷ç÷ç桫¶。7－11解：略。7－12解：见示意图此杆内取一微元[,]xxx+D，横截面积＝24lp；侧表面积dslxp=D。（1）经截面P流入微元的热量为2(,)4PluxtdQkdtxp¶=-¶经截面P’流出微元的热量为'2(,)4PluxxtdQkdtxp?D=-¶经微元侧表面热交换出去的热量为11()dQkuulxdtp=-D9（2）另一方面，在[,]ttdt+时刻内，微元温度变化所需的的热量为21[(,)(,)]4ldQcxuxtdtuxtpr=D+-能量守恒：'1PPdQdQdQdQ=--2211[(,)(,)]4(,)(,)()4lcxuxtdtuxtluxxtuxtkdtkuulxdtxx利用微分中值定理，令0,0dtx瓺?取极限得114()txxkkuuuucclrr=-?或2211()txxuauauu=--其中22114,kkaacclrr==?7－14解：（1）泛定方程：杆内无热源的热传导方程2(0,0)txxuauxlt=；（2）初始条件：(,0)0.5()(0)uxxlxxl=-；（3）边界条件：xxx+DPP’10①一端（0x=）处温度为0(0,)0ut=，②一端（xl=）处恒定热量q流入；此题的定解问题：2(,)(,)(0,0)(0,)0,(,)(0)(,0)0.5()(0)txxxuxtauxtxltqutulttkuxxlxxlìï=ïïïïï==íïïïï=-ïïî7－16用分离变量法解下列振动问题初始条件如下：（1）两端固定，初始速度为零，初始位移如图；（2）两端固定，003..sin,()tttICuxuxlxlp====-（3）..(0,)0,(,)0..(,0),(,0)0xtBCutulthICuxxuxl====解：（1）定解问题23(0,0)(0,)(,)0(0)64(,0)()(),(,0)0(0,0)32ttxxtuauxltutultthluxxxlxuxxltlìïïï=ïïï==íïïïï=--=ïïî略。（2）定解问题(,)xxluqkqultxk22222(0,0)uuaxlttx112(0,0)(1)(0,)(,)0(0)(2)3(,0)sin,(,0)()(0,0)(3)ttxxtuauxltutulttuxxuxxlxxltlpìïïï=ïïï==íïïïï==-ïïî1°分离变量令uXT=?，代入方程（1）得2XTaXT=2XTXaTl==（为常量）（4）20TaTl-=（5）由边界条件（2）得0(6)(0)()0(7)XXXXllìï-=ïíï==ïî2°求固有值l①当0l时，（6）的通解为()xxXxAeBell-=+代入边界条件（7）得00llABAeBell-ì+=ïïíï+=ïî解得0,0AB==，不合题意，舍去；②当0l=时，（6）的通解为()XxABx=+代入边界条件（7）得0000AABlB祆==镲镲Þ眄镲==镲铑，不合题意，舍去；③当0l时，令2lb=-，方程（6）的通解为()cossinXxAxBxbb=+由边界条件（7）得120sin0ABlbì=ïïíï=ïî∵0B¹∴sin0lb=即2(1,2,)(1,2,)()sin(1,2,)nnnnnlnnlnXxxnlpbplp==骣÷ç=-=÷ç÷ç桫==3°求(),(,)nnTtuxt将nl代入方程（5）得2()()()0(1,2,)nnnaTtTtnlp+==通解为()cossin(1,2,)(,)cossinsin(1,2,)nnnnnnnanaTtCtDtnllnananuxtCtDtxnlllppppp=+=骣÷ç=+=÷ç÷ç桫4°确定系数nnDC,，求),(txu由叠加原理11(,)(,)cossinsinnnnnnnananuxtuxtCtDtxlllpppゥ==骣÷ç==+÷ç÷ç桫邋由初始条件（3）113(,0)sinsin(,0)sin()nntnnnuxCxxllnanuxDxxlxllpppp¥=¥=====-åå01323sinsin(1,2,)03lnnnCdnnlllppxxxì=ïï===íï¹ïîò∴000200223002()sin22()sin()cos22()cos(2)cos()220(2)sinsin2()()lnlllllllnDldnallnlnldldnalnanllnlnlldnanlnalllnlnldnanlnal3334440344444cos1cos1(1)()()()21(1)08(1,2,)(21)211(1)2lnnnlnllnnalnananklkkanknn133441334[1(1)](21)(21)(,)cossinsinsinnkalkakuxttxtxllanl