自动控制原理作业4参考答案

自动控制原理作业4参考答案 1、已知某系统的开环传递函数为  试绘制系统开环对数幅频特性和开环对数相频特性图，用对数判据分析闭环稳定性，求出相位裕量和增益裕量。 解：由题目给定的传递函数可知，系统的转折频率依次为0.023，0.053，1.48，1.6，2.27，30.3和50。低频段渐近线为水平线，高度为24dB。系统相频特性为   ω和φ(ω)对照表如下：  开环对数颇率特性如图1所示。由图可知，在L(ω)0的频段内，φ(ω)对–180o线有1次正穿越，而系统开环传递函数有两个位于右半s平面的极点；即p = 2。正负穿越次数之差为  图1 故闭环系统稳定。可算得ωc= 7. 243rad/s，相位裕量γ = 53o，相位穿越频率ωg =32. 3rad/s，增益裕量Kg = 13. 5dB。  2、已知某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如题2图所示，试确定系统的开环传递函数，并求出相角稳定裕量，画出对应的对数相频特性，分析闭环系统的稳定性。  题2图 解：(1) 由题2图可知，低频段渐近线斜率为 –40dB/dec，表明系统有两个s= 0的极点；并可以确定各转角频率对应的典型环节类型：在ω= 2处，斜率变化20dB/dec，为一阶徽分环节；在ω= 10处，斜率变化 –20dB/dec，为惯性环节；在ω= 0. 1处，L(ω) = 60dB，斜率为 –40dB/dec，据此可得到系统的开环增益K。因为  所以K= 10。系统的开环传递函数为  (2) 求穿越频率和相位裕量：   系统的相位裕量为  (3) 相频特性为  根据不同频率计算相角，可以画出对数相频特性曲线，如图2所示。  图2 (4) 开环传递函数无右半s平面极点；在L(ω)0的频段内，φ(ω)对–180o线没有穿越；故闭环系统稳定。  3、已知某最小相位系统的开环传递函数为  其中ω1ω2ω3ω4， K*=ω4ωc2，ωc为系统开环对数幅频特性的幅值(增益)穿越频率。试绘制该系统的开环对数幅频特性曲线。 解：由开环传递函数可知，系统开环对数幅频特性的基本形状应如图3所示，图中给出了各种可能情况。现需要根据K*=ω4ωc2确定ωc的具体位置。  图3 依题意，系统开环放大倍数K、增益穿越频率ωc和各转折频率的关系为  数值上它等于低频段渐近线或其延长线与0分贝线交点的角频率，并且在ω=1时有L(ω)= 20lgK。ωc的位置有以下几种可能情况： (1)ωc≤ ω1，如图中曲线(a)所示。K= ωc，与式(A)矛盾。 (2)ω1＜ωc≤ ω2, 如图中曲线(b)所示。ω1处的幅值为  K=ωc2/ω1，与式(A)矛盾。 (3)ω2＜ωc≤ ω3，如图中曲线(c)所示。ω1处的幅值为  K=ω2ωc/ω1，与式(A)矛盾。 (4)ω3＜ωc≤ ω4，如图中曲线(d)所示。ω1处的幅值为 K=ω2ωc2/(ω1ω3)，与式(A)一致。 (5)ωc＞ ω4，如图中曲线(e)所示。ω1处的幅值为  K=ω2ωc3/(ω1ω3ω4)，与式(A)矛盾。 所以，L(ω)必在ω3和ω4之间穿越0分贝线，对给定的转折频率及K*，对数幅频特性应为图3中的曲线(d)。  4、已知某控制系统的开环传递函数为  试绘制该系统的极坐标图，并利用奈魁斯特稳定判据判定系统的闭环稳定性。 解：(1) 系统的开环频率特性函数为  为绘图方便，可将频率特性函数写成如下两种形式之一： 幅相形式：   实部虚部形式：   计算起点和终点：ω= 0时，05050)(o180ojejGj；ω→∞ 时，01010)(o0ojejGj。 计算与坐标轴的交点：254.17/11时，交实轴于–13.33；ω= 2.77时，交虚轴于6.4。 极坐标图的变化趋势是：当ω 1. 254时，虚部为负；当ω 1. 254时，虚部为正。据此并考虑到上述计算出的特征点，可绘制出ω=0 →∞时的图形，然后依对称性画出ω= – ∞→0时的部分，如图4所示。  图4 (2) 系统开环传递函数有一个右半s平面的极点(p = 1)，极坐标图顺时针包围(–1, j0)点一圈(N = 1)；故闭环系统不稳定，有z = p + N = 2个右半s平面的极点。  5、 设某控制系统的开环传递函数为  试对K*0和K*0绘制系统的极坐标图，并求出使系统闭环稳定的K*值范围。 解：(1) 系统的开环频率特性函数为  ω= 0时，曲线起点为：09*25)(ojKjG；ω→∞时，曲线终点为：00)(ojjG。 ω= 3.08时，曲线交虚轴于3.42K*；ω= 1.9和5.4时，曲线交实轴于– 0.47K*和2.33K*。系统的极坐标图如图5所示。  (a)K*0                              (b)K*0 图5 (2) 开环系统有两个位于右半s平面的极点(p = 2)。要使闭环稳定，极坐标图应逆时针包围(–1, j0)点两圈，即应有N = –2。由图5(a)可知，当K*0时，若 – 0.47K* –1，即K*2.13，极坐标图可以逆时针包围(–1, j0)点两圈，闭环稳定。而当K*0时，无论K*为何值，极坐标图将不会逆时针包围(–1, j0)点两圈，所以闭环不可能稳定。可见使闭环稳定的取值范围为K*2.13。  6、已知三个控制系统的开环频率特性函数的极坐标图如题6图所示，图中负实轴上的黑点坐标为–1。对应的开环传递函数分别为  试用奈魁斯特稳定性判据讨论这三个系统的闭环稳定性。   题6图 解：(1) 系统开环稳定(p = 0)，题6图(a)的极坐标图顺时针包围(–1, j0)点两周(N = 2)，z = N + p = 2，故闭环系统不稳定，有两个右半s平面的极点； (2) 系统开环稳定(p = 0)，题6图(b)的极坐标图顺时针和逆时针各包围(–1, j0)点1圈(N = 0)，z = N + p = 0，故闭环系统稳定； (3) 系统开环传递函数有一个右半s平面的极点(p = 1)，题6图(c)的极坐标图逆时针包围(–1, j0)点1圈(N = –1)，z = N + p = 0，故闭环系统稳定。  7、设某反馈控制系统开环频率特性函数的极坐标图如题7图所示，开环放大倍数为K=500，右半s平面无开环传递函数的极点和零点。试确定使系统闭环稳定的K值范围。  题7图 解：(1) 设该系统的开环传递函数为ssKGsGp)()(o,其中K为开环放大系数，γ为系统型数，Gp(s)为有理分式，分子分母都是常数项为1的s多项式，1)(lim0sGps。由题7图可知，γ=2。记极坐标图与负实轴交点处对应的频率为ω1、ω2和ω3，且ω3＞ω2＞ω1，则有    当K变化时，极坐标图与负实轴交点的各个角频率不变，但交点位置沿负实轴移动。设K=K1时，极坐标图在ω1处与实轴交于–1 (即题7图中与负实轴相交于–50的点向右移到–1)，则有  同理可得极坐标图在ω2与实轴交于–1的增益为K2 =25，极坐标图在ω3处与实轴交于–1的增益为K3 =10000。图6表示K变化时的4种极坐标图。  图6 上述各种情况下的闭环稳定性分析如下： (a) K10000时，N = 2，z = 2，闭环系统不稳定，有两个右半s平面的极点； (b) 25 K  10000时，N = 0，z = 0，闭环系统稳定； (b) 10  K  25时，N = 2，z = 2，闭环系统不稳定，有两个右半s平面的极点； (d) 0 K  10时，N = 0，z = 0，闭环系统稳定。 综上所述，使闭环系统稳定的K值范围为：0 K  10和25 K  10000。  8、设某单位反馈控制系统的开环传递函数为2o)1(100)(sssG,试绘制该系统的极坐标图，并确定使相位裕量等于45o时的τ值。 解：(1) 开环频率特性函数为：1o180(22222o1100)1(100)()1(100)(tgjejjjjG ω= 0+ 时，jejGjo180o)(；ω→+∞时，000)(o90ojejGj。 曲线与坐标轴无有限值交点．极坐标图如图7所示。 图7 (2）以原点为圆心作单位圆，则极坐标图与单位圆交点处的幅值为：11100)(222ccA；即 224110000cc                     （A） 相位裕量要求：o1oo45180180ctg；即：    145otgc               （B） 联立式(A)和(B)并解之，即得： ssradc084.0,89.112104