第23章解直角三角形 总结提升

本章总结提升本章知识框架本章总结提升整合拓展创新►类型之一锐角三角函数的概念本章总结提升正确理解三角函数的概念的关键是熟练掌握直角三角形中各锐角三角函数与各个边与边之间的比值关系．本章总结提升例1如图23－T－1，已知在△ABC中，点D是BC边上一点，DA⊥AB，AC＝12，BD＝7，CD＝9.(1)求证：△ACD∽△BCA；(2)求tan∠CAD的值．[解析](1)根据三角形的边长，即可证出两个三角形的两边的比对应相等，又夹角相等，则可证得两个三角形相似；(2)根据相似三角形的性质可以证得∠CAD＝∠B，又△ABD是直角三角形，根据三角函数的定义即可求解．本章总结提升解：(1)证明：∵BD＝7，CD＝9，∴BC＝16.∵AC＝12，∴CDAC＝34，ACBC＝34.∴CDAC＝ACBC.∵∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA.(2)∵△ACD∽△BCA，∴∠CAD＝∠B，ADAB＝CDAC＝34.∵DA⊥AB，∴tanB＝ADAB＝34.∴tan∠CAD＝34.本章总结提升[归纳总结]相等的角的三角函数值相等，本题利用∠CAD＝∠B，结合第1问相似三角形对应角相等，把所求角的正切转化到直角三角形中进行解答．本章总结提升►类型之二特殊锐角的三角函数值有关特殊角的三角函数的计算题，在各地中考中频繁出现，考查学生对基础知识的掌握程度．本章总结提升例2[2014·安徽淮北期末]计算：3tan60°＋|－3sin30°|－cos245°.[归纳总结]熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．[解析]进行特殊角的三角函数值的计算时，先代入数值再进行化简．解：原式＝3×3＋－3×12－222＝3＋32－12＝4.本章总结提升►类型之三解直角三角形对于直角三角形的边和角，除了直角外，还有五个元素．这五个元素中两锐角互余，三边之间满足勾股定理，边和角之间可通过三角函数联系起来，因此五个元素中只要已知两个(至少一个是边)，就能求出其余的三个．其他非直角三角形可以转化为直角三角形进行解答．本章总结提升[解析]求锐角的三角函数，根据定义首先要存在直角三角形，本题给出了三角形的三边，判定△ABC不是直角三角形，所以，过点C作CD⊥AB于点D，构造直角三角形求出各边长，再根据定义求sinB的值．例3如图23－T－2，在△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，AB＝5＋43，求BC的长和sinB的值．本章总结提升解：如图23－T－3，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴CD＝4，AD＝82－42＝43，∴BD＝AB－AD＝5＋43－43＝5.在Rt△CDB中，由勾股定理求得BC＝42＋52＝41，∴sinB＝CDBC＝441＝44141.本章总结提升[归纳总结]对于一般三角形，如果已知边和角中三个元素(至少一个是边)，我们都可转化为直角三角形求出未知的边和角．本章总结提升►类型之四运用解直角三角形知识解决实际问题例4[2014·安徽安庆期末]已知：如图23－T－3，斜坡AP的坡度为1∶2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在斜坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，求：(1)坡顶A到地面PQ的距离；(2)古塔BC的高度(结果精确到1米)．图23－T－3本章总结提升[解析](1)过点A作AD⊥PQ于点D，则利用斜坡AP的坡度为1∶2.4得出AP，AD，PD的关系式，进而可求出答案；(2)先设AC＝x，利用矩形和等腰三角形的性质，得出BC＋CE＝DE＋PD，进而可列方程求出BC.本章总结提升解：(1)过A作AD⊥PQ于点D，延长BC交PQ于点E.∵AP的坡度为1∶2.4，∴AD∶DP＝1∶2.4＝5∶12.设AD＝5k，则DP＝12k，由勾股定理，得AP＝AD2＋DP2＝13k.∵AP＝26，∴13k＝26.解得k＝2.∴AD＝10，DP＝24.答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．本章总结提升(2)设AC＝x，∵tan∠BAC＝BCAC，∴tan76°＝BCx，∴BC＝xtan76°.∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BE⊥PQ.又∵AD⊥PQ，∴AD∥CE，∴四边形ADEC是矩形，∴CE＝AD＝10，DE＝AC＝x.∵∠BPE＝45°，∠PEB＝90°，∴∠PBE＝∠BPE＝45°，∴BE＝PE，即BC＋CE＝DE＋PD.∴xtan76°＋10＝x＋24.解得x＝14tan76°－1.∴BC＝x·tan76°≈19.答：古塔BC高度约为19米．本章总结提升[点评]作垂线构造直角三角形，通过锐角三角函数关系把未知转化为已知，步步为营，水到渠成．