第23讲 主应力及主切应力

金属塑性变形理论Theoryofmetalplasticdeformation第二十三讲LessonTwenty-Three张贵杰ZhangGuijieTel：0315-2592155E-Mail：[e-mail]河北理工大学金属材料与加工工程系DepartmentofMetalMaterialandProcessEngineeringHebeiPolytechnicUniversity,Tangshan063009Lesson232020/3/62第十章应力状态分析主要内容MainContent应力状态基本概念斜面上任一点应力状态分析求和约定和应力张量主应力及主切应力球应力及偏差应力Lesson232020/3/6310.4主应力及主切应力10.4.1主应力的概念通过坐标变换可以找到只有正应力的坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力称为主应力，该坐标面为主平面。Lesson232020/3/64Lesson232020/3/65Lesson232020/3/66主应力的求解如果取微分面ABC为主微分面，即该微分面上只有主应力而没有切应力。这时，作用在此面上的全应力就是主应力。用表示主应力，则它在各坐标轴上的投影为nSmSlSnznynxLesson232020/3/67代入到斜面应力方程中有nmlnSnmlmSnmllSzyzxznzzyyxynyzxyxxnx000nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx整理后可得又有1222nml（*）（**）Lesson232020/3/68由上面四个方程可求出主应力及其方向余弦l、m、n。显然，前三个方程构成一个齐次方程组，显然不能有l=m=n=0这样的解。如要方程组有其他解时，必须取该方程组的系数行列式为零，即0zyzxzzyyxyzxyxxLesson232020/3/69展开此行列式，得2)(zyx3)(1zyxI)(222zxyzxyxzzyyx02222xyzzxyyzxzxyzxyzyx令)(2222zxyzxyxzzyyxI22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI则有032213IIILesson232020/3/610三次方程式称为应力状态特征方程。此方程的三个根就是三个主应力，而这三个主应力均为实根。由因式分解可知0321032113322123213由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此该式与应力状态特征方程全等。有展开后得Lesson232020/3/611应力张量不变量zyxI13212222zxyzxyxzzyyxI13322122232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI321对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐标系改变。那么I1、I2、I3是不随坐标系改变的，分别称为一次、二次和三次应力常量，或称为应力张量不变量。Lesson232020/3/612主应力的特点三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的将主应力1代入（*）式中的任何两个方程，并与（**）式联立，可以求解出主应力1的方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主应力2及3的方向余弦l2、m2、n2及l3、m3、n3。每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系0212121nnmmll0323232nnmmll0131313nnmmllLesson232020/3/613三个主应力均为实根主应力具有极值性质三个主应力中的最大值赋给1，最小值赋给3，并按大小顺序排列1≥2≥3，则过该点任意微分斜面上的正应力中，1为最大值，3为最小值。Lesson232020/3/614主坐标系因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴与主应力方向一致，则构成主坐标系，其坐标轴称为主轴。212(y)3(z)1(x)3Lesson232020/3/615在主坐标系下斜面上的应力为nnmlSmnmlSlnmlSnnn333222111000000nmlSSSnnn321321000000或232221nmln正应力321000000T为主应力张量Lesson232020/3/61610.4.2主切应力和最大切应力主切应力任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。极值切应力又称为主切应力。在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力上式中消去n，得到n与l、m的函数关系2221322232222212lnnmmln232322312322322223212mlmlnLesson232020/3/617当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求的是，当l、m、n为何值时，微分面上的切应力取极值。由二元函数f(x,y)求极值的方法可求得微分面上的切应力的极值。020232323223123223132322312321mmlmmflmlllf232322312322322223212),(mlmlmlfnLesson232020/3/618对此方程组求解分不同情况当1≠2≠3时，1），此解指主微分面上切应力为零2）时，3）时，4）时，此种情况不可能成立。5）若方程中消去m，则有1,0nml0,0ml21021nml0,0ml21210nml0,0ml02121nmlLesson232020/3/619l＝0m＝0n＝0Lesson232020/3/620当1＝2＝3时，则切应力在通过该点的任何微分面上为零。主切应力最大切应力22112232232311323113maxLesson232020/3/621l000m000n000切应力000正应力112121123222123112323222123121212121主平面和主切平面上所作用的应力Lesson232020/3/622练习已知变形体内某点的应力状态80027060027050TN/mm2试求该点的主应力大小和主应力的方向余弦。Lesson232020/3/623解：80027060027050T（1）=60MPa为一主应力。y面y向缩减应力张量的维数80272750TLesson232020/3/624080272750写出该张量的特征方程展开并求解027)80)(50(20327113022327141301302∴MPa9.95)2(MPa1.34)3(Lesson232020/3/625按大小顺序排列后，得到求1的方向余弦。将1代入到（*）式中MPa9.951MPa1.343MPa602080270275011nlnl与联立求解，因m=0，所以有1222nml1588.022nlnl解得：862.00507.0nml862.00507.0nml或Lesson232020/3/626同理可求得2、3的方向余弦23010nml010nml或507.00862.0nml507.00862.0nml或xz13Lesson232020/3/627课后作业Homework习题集P6习题19、23、26习题集P6习题36写在作业纸上，下周四交。