载流子的统计分布

半导体中载流子的统计分布（1）一、状态密度二、分布函数三、载流子浓度四、本征半导体载流子浓度主要内容一、状态密度1.热平衡状态EcEvED在一定温度下，存在：产生载流子过程—电子从价带或杂质能级向导带跃迁；复合过程—电子从导带回到价带或杂质能级上。复合产生数＝复合数即热平衡状态产生途径：半导体中,允许的量子态按能量如何分布—求状态密度g(E)+载流子在允许的量子态上如何分布—讨论分布函数f(T),从而得到载流子浓度n(T)及p(T)问题：热平衡时，如何求半导体中的载流子浓度?对确定的材料,载流子浓度与温度有关,与掺杂有关；分别讨论本征半导体和杂质半导体讨论：半导体中,允许的量子态按能量如何分布—求状态密度g(E)(1)状态密度公式(2)态密度有效质量2.状态密度假设在能带中能量E与E+dE之间的能量间隔dE内有量子态dZ个，则定义状态密度g(E)为：dEdZEg)(推导状态密度函数方法：a.求出k空间上k取值点密度（等于半导体的体积V）。b.求dE对应的k空间上的体积dV*。c.dZ=2dVdV*。（1）（1）定义根据周期性边界条件，k空间中电子的每个k为：K的取值点分布由此，可知k取值点密度为V。则电子在k空间中的量子态密度是2×V。k空间上k取值点密度：yynkL(0,1,2,)ynzznkL(0,1,2,)znxxnkL(0,1,2,)xn假设导带底在k=0处，且（2）球形等能面情况*222)(nCmkhEkE（2）31*222323(2)2(4)()82nCmVVdZkdkEEdEh则量子态数：（3）31*2223(2)()()2nCCmdZVgEEEdEh导带底状态密度：（4）同理，可推得价带顶状态密度：（5）3*12223(2)()()2pVVmdZVgEEEdEh导带底附近：价带顶附近：态密度与有效质量相关态密度随能量的变化:21)(CCEEg21)(EEgVV3*12223(2)()()2pVVmVgEEEh31*2223(2)()()2nCCmVgEEEh则，其中若导带底有s个能谷，可设这里s(Si)=6,s(Ge)=4mdn被称为导带底电子态密度有效质量。（3）旋转椭球等能面情况)(2)(2332212ltCmkmkkhEkE21323*2)()2(2)(CnCEEhmVdEdZEg31232*)(tldnnmmsmm（6）（7）（8）312*)(tlnmmmSi、Ge价带顶状态密度：gV(E)与上页gC(E)具有相同的形式。322323*])()[(hplpdppmmmm（9）但，mdp为价带顶空穴态密度有效质量。由此可知：状态密度gC(E)和gV(E)与能量E的抛物线关系，还与有效质量有关，有效质量大的能带中的状态密度大。练习：试计算能量到之间单位体积中的量子态数。cEE2*2100()8cnhEEmL导带底Ec附件的状态密度为：213232)()2(2)(CdnCEEhmVEg在dE范围内单位体积中的量子态数：1()cdZgEdEVV22*21312100()2823(2)11()2cnhEEdnmLCEEcmZdZEEdZVh33223223*2(2)12(100)1000/3238dnnmhLhmL解：在热平衡条件下,载流子在允许的量子态上如何分布—分布函数f(T)1.费米分布函数2.玻尔兹曼分布函数讨论：二、分布函数电子遵循费米-狄拉克（Fermi-Dirac）统计分布规律。能量为E的一个独立的电子态被一个电子占据的几率为：1、费米（Fermi）分布函数与费米能级（1）费米分布函数TkEEnFeEf011)(式中k0为波尔兹曼常数。上式即为电子的费米分布函数。系统粒子数守恒：∑f（Ei）=N。EF—费米能级，是决定电子在各能级上的统计分布的一个基本物理参量。（2）费米能级EF的意义T=0K：当EEF时，fF(E)=0;当EEF时，fF(E)=1。T0K：当EEF时，1/2fF(E)1;当E=EF时，fF(E)=1/2;当EEF时，0fF(E)1/2。TkEEnFeEf011)(01/21EFEf(E)费米分布函数与温度关系曲线300K500K0K1000K强p型弱p型本征型弱n型强n型ECEiEVEF关于费米能级①费米能级即为系统的化学势。处于热平衡的电子系统有统一的EF。②热平衡条件下,系统EF的位置必须满足电中性条件--EF是电子填充水平的一个标志。③费米分布函数f(E)是温度的函数。在EF上下几个kT的范围内,费米分布函数(电子占有几率)有很大的变化。讨论：当E-EF为k0T、2k0T、4k0T、8k0T时，试用费米分布函数计算电子占据该能级的几率？TkEEnFeEf011)(解：费米分布函数为：E-EF为电子占据该能级的几率为11069.211)(eEfnk0T121019.111)(eEfn2k0T4k0T8k0T241079.111)(eEfn481035.311)(eEfn当E-EFk0T时，2、波耳兹曼（Boltzmann）分布函数10TkEEFe此时可将费米分布简化成波耳兹蔓分布。TkEEFFeEf011)(TkEEBFeEf0)(所以，3、空穴的分布函数TkEEpBTkEEnFpFFFeEfeEfEf00)(11)(1)(小结：①服从Boltzmann分布的电子系统为非简并系统。导带中电子和价带中空穴均服从Boltzmann分布的半导体称为非简并半导体。②只服从Fermi分布的电子系统为简并系统。相应的半导体称为简并半导体。当EF-Ek0T时，可将费米分布简化成波耳兹蔓分布。空穴的费米分布函数空穴的波耳兹曼分布函数三、载流子浓度导带电子浓度和价带空穴浓度电子和空穴的浓度乘积导带底附近电子能态密度为gC(E),导带电子分布函数f(E)价带顶附近空穴能态密度为gV(E),价带空穴分布函数1-f(E)单位体积,单位能量间隔内的导带电子dn/dE=(1/V)gC(E)f(E)价带空穴dp/dE=(1/V)gV(E)[1-f(E)]1.导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度2.导带电子浓度()()BcdNfEgEdE在能量E到E+dE间的电子数dN为：3/21/2230(2*)1exp()()2nFmEEdNdnEEcdEVhkT在能量E到E+dE间单位体积的电子数dn为：''3/21/20230(2*)1exp()()2ccccEEnFEEmEEdnndndEEEcdEdEhkT热平衡状态下非简并半导体的导带电子浓度n0为：3/23/21/2002300(2*)1()exp()2xxncFmEEnkTxedxhkT0/cxEEkTEc’为导带顶能量。令，则*3/200202()exp()2ncFmkTEEnhkT*3/2022()2ncmkTNh00exp()cFcEEnNkT导带电子浓度为：令则得到0()exp()cFcEEfEkT而导带的有效状态密度电子占据能量为Ec的量子态的几率3.价带空穴浓度*3/200202()exp()2nvFmkTEEphkT价带空穴浓度为：*03/222()2pvmkTNh00exp()vFcEEpNkT令则得到0()exp()vFvEEfEkT而0000exp()exp()gcvcvcvEEEnpNNNNkTkT4.载流子浓度乘积n0p03**3/23000204()()exp()2gnpEknpmmThkT**313/23002002.3310()exp()npgmmEnpTmkT载流子浓度乘积Nc,Nv表达式带入得：把h,k0的值带入并引入电子质量m0得：意义：载流子乘积n0p0与费米能级无关；对一定半导体材料，乘积只决定于温度，与所含杂质无关；在一定温度下，对不同的半导体材料，因禁带宽度不同，乘积n0p0不同；该关系式不论是本征半导体还是杂质半导体，只要是在热平衡状态下的非简并半导体，都普遍适用；对一定半导体材料，在一定的温度下，乘积n0p0是一定的；5.本征半导体载流子浓度本征半导体满足：n0=p0=ni。本征载流子浓度是温度T的函数。在热平衡状态下，半导体是电中性的：n0=p0而，将（2）、（3）式代入（1）式，得即得到：将（4）式代回（2）或（3）式就得到本征载流子浓度：TkEEVTkEECVFFCeNpeNn0000（2）（3）（1）TkEEVTkEECVFFCeNeN00)ln(2)ln(2)(2100CViVCVCFNNTkENNTkEEETkEVCigeNNpnn0200（4）200inpn（5）1、温度一定时，Eg大的材料，ni小。2、对同种材料，ni随温度T按指数关系上升。本征载流子浓度和样品温度的关系本征载流子浓度和样品温度的关系（1）Ei一般可以认为在禁带中心位置。（2）n随温度变化极为灵敏。（3）可通过实验测得本征载流子浓度和样品温度的关系，求得禁带宽度。讨论：作业：P90-91习题7、8