§11-2、3 毕奥―萨伐尔定律

同同学学们们好好PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion*一、毕奥—萨伐尔定律(电流元在空间产生的磁场)02sin4IdldBrmqp=034IdlrdBrmp×=真空磁导率270AN10π4--⋅×=mlIdBd034IdlrBdBrmp×==∫∫任意载流导线在点P处的磁感强度磁感强度叠加原理qrlIdrBd§11-2毕奥—萨伐尔定律PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversiond例判断下列各点磁感强度的方向和大小.R+++1、5点：0d=B3、7点：20π4ddRlIBm=02045sinπ4ddRlIBm=2、4、6、8点：034IdlrdBrmp×=毕奥—萨伐尔定律PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion*例：载流长直导线的磁场.Bd解02sin4IdzdBrmqp=02sin4CDIdzBdBrmqp==∫∫00cot,/sinzrrrqq=-=20/sindzrdqq=方向均沿x轴的负方向Bd1qr二、毕奥---萨伐尔定律应用举例2qq2100sin4IBdrqqmqqp=∫zzdPDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion=-（）的方向沿x轴的负方向.B2100sin4IBdrqqmqqp=∫无限长载流长直导线的磁场.π021→→qq00π2rIBm=0120coscos4IBrmqqp=-（）1q2qPCDyxzoIB+PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion=电流与磁感强度成右螺旋关系半无限长载流长直导线的磁场04PIBrmp=无限长载流长直导线的磁场r*PIoπ2π21→→qqIBXPDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion真空中,半径为R的载流导线,通有电流I,称圆电流.求其轴线上一点p的磁感强度的方向和大小.解根据对称性分析∫==jsindBBBx20dπ4drlIBm=j例：圆形载流导线的磁场.rBdBBlIdpRo*PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion*20dcosπ4drlIBxam=∫=lrlIB20dcosπ4am222cosxRrrR+==a∫=RlrIRBπ2030dπ4m2322202）（RxIRB+=m20dπ4drlIBm=jjaoBdrlIdPDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion）（RxIRB+=mRIB20m=3）0=x30320π22xISBxIRBmm==，4）Rx2）的方向不变(和成右螺旋关系）0xBIB1）若线圈有匝N2322202）（RxIRNB+=m讨论x*BxoRIPDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion（5）*Ad（4）*o（2R）I+R（3）oIIRo（1）RIB200m=RIB400m=RIB800m=1010200π444RIRIRIBmmm--=dIBAπ40m=x0BPDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion三、磁偶极矩neISm=mne3202xIRBm=mISnen30π2exmBm=30π2xmBm=说明：只有当圆形电流的面积S很小，或场点距圆电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子.例2中圆电流磁感强度公式也可写成PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion*例：载流直螺线管的磁场如图所示，有一长为l,半径为R的载流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I.设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.2/322202）（RxIRB+=m解由圆形电流磁场公式oxxdxPDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion()2/32220d2dxRxInRB+=mcotxRb=b2222cscRxR=+()∫∫+==212/32220d2dxxxRxRnIBBmbbdcscd2Rx-=∫-=21dsin20bbbbmnI∫-=21dcscdcsc233230bbbbbbmRRnIBb2b1bPDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion()120coscos2bbm-=nIB讨论（1）P点位于管内轴线中点21πbb-=()2/1220204/2cosRllnInIB+==mbm()2222/2/cosRll+=b21coscosbb-=nIB0m=Rl若PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion(2)无限长的螺线管nIB021m=（3）半无限长螺线管0,2π21==bb或由代入0,π21==bb()120coscos2bbm-=nIBnI021mxBnI0mOnIB0m=PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion练习：练习：半径R,无限长半圆柱金属面通电流I，求轴线上。BIPR0d==∫yyBB由对称性：解：通电半圆柱面Þ电流线(无限长直电流)集合00220sinsin2xIdIBBdBRRpmqqmqpp====∫∫x-沿方向IdBdRP⊗⊗I′d'dBqxπddπdqqIRRII=⋅=RIRIB200π2dπ2ddqmm==qdyPDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion电流电荷运动形成磁场激发激发四、运动电荷的磁场PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion034IdlrdBrmp×=毕—萨定律vlqnSlSjlIddd==034nSdlqvrdBrmp×=lnSNdd=034dBqvrBdNrmp×==运动电荷的磁场实用条件cv+BvqqvrBSjldq-PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion==rrIBd22dd00swmm==B,0s向外例：半径为的带电薄圆盘的电荷面密度为,并以角速度绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，求圆盘中心的磁感强度.wRsrrd2d2000RrBRswmswm==∫,0s向内BPDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion=rrqdπ2ds=rw=vrBd2d0swm=2d2000RrBRswmswm==∫wRorrdsPDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion例题：亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹线圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由一对相同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的距离等于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。RO1RQ1PO2Q2R解设两个线圈的半径为R，各有N匝，每匝中的电流均为I，且流向相同（如图）。两线圈在轴线上各点的场强方向均沿轴线向右，在圆心O1、O2处磁感应强度相等，大小都是PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion处，磁感应强度大小为()RNIRNIRRNIRRNIB002/3222000677.02211222mmmm=÷øöçèæ+=++=RNIRNIRRNIRBP002/32220716.02211558222mmm=÷øöçèæ+=úúûùêêëé÷øöçèæ+=PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion此外，在P点两侧各R/4处的O1、O2两点处磁感应强度都等于RNIRNIRRNIRRRNIRBQ0332/3302/322202/32220712.054174243242mmmm=÷÷øöççèæ+=úúûùêêëé÷øöçèæ++úúûùêêëé÷øöçèæ+=PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介乎B0、BP之间。由此可见，在P点附近轴线上的场强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。图中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加曲线。O1Q1PQ2O2PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion例题：在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相当于一个圆电流，具有相应的磁矩，称为轨道磁矩。试求轨道磁矩μ与轨道角动量L之间的关系，并计算氢原子在基态时电子的轨道磁矩。2eeLmm=2ISnermp==222eeeLmvrmrnrmnrpp===解为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆的半径为r，转速为n。电子的运动相当于一个圆电流，电流的量值为I=ne，圆电流的面积为S=πr2，所以相应的磁矩为PDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion角动量和磁矩的方向可分别按右手螺旋规则确定。因为电子运动方向与电流方向相反，所以L和μ的方向恰好相反，如图所示。上式关系写成矢量式为2eeLmm=－这一经典结论与量子理论导出的结果相符。由于电子的轨道角动量是满足量子化条件的，在玻尔理论中，其量值等于（h/2π）d的整数倍。所以氢原子在基态时，其轨道磁矩为LmPDFcreatedwithFinePrintpdfFactorytrialversion⎛⎞==⎜⎟⎝⎠2429.27310BAmm-=×⋅它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。将e=1.602´10-19C，me=9.11´10-31kg，普朗克常量h=6.626´10-34J·s代入，可算得原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量，电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。PDFcreatedw