§12.2-正项级数-数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

收敛性是级数研究中最基本的问题,本节将对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.§12.2正项级数数学分析第十二章数项级数*四、拉贝判别法三、积分判别法一、正项级数收敛性的一般判别原则二、比式判别法和根式判别法*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同,则称为同号级数.对于同号级数,只须研究各项都是由正数组成的级数(称正项级数).由级数与其部分和数列的关系，得：后退前进目录退出正项级数收敛性的一般判别原则数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法定理12.50(1,2,),iui由于证所以{Sn}是递增数列.单调数列收敛的充要条件是定理).仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不容易的，敛性判别法则.nu正项级数收敛的充要条件是:{}nS有界,.nSM即存在某正数M,对一切正整数n有而这就证明了定理的结论.该数列有界(单调有界正项级数收敛性的一般判别原则部分和数列因此要建立基于级数一般项本身特性的收数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法定理12.6（比较原则）nnuv设和是两个正项级数如果存在某正数N,对一切nN都有(1)nnuv则(i),;nnvu若级数收敛则级数也收敛(ii),.nnuv若级数发散则级数也发散证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.nnnnSSuv现在分别以和记级数与的部分和.散性,正项级数收敛性的一般判别原则数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法由(1)式可得,对一切正整数n,都有(2)nnSS,lim,nnnvS若收敛即存在则由(2)式对一切n有limnnnSS，nu{}nS即正项级数的部分和数列有由定理12.5级数nu收敛,(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.(1)nnuv界,这就证明了(i).正项级数收敛性的一般判别原则数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法例121.1nn考察的收敛性解2,n由于当时有因为正项级数21(1)nnn收敛(§1例5的注),比较原则和定理12.3,级数211nn也收敛.nnnn22111.11nn故由正项级数收敛性的一般判别原则数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法22,,0,nnnnuvuv收敛且0.例2若级数220nnnnuvuv证因为,根据比较原则,得到正项级数nnuv收敛.在实际使用上,下面给出的极限形式通常更方便.nnuv则级数收敛.22,nnuv而级数均收敛，正项级数收敛性的一般判别原则数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法推论（比较原则的极限形式）,nnuv设是两个正项级数,若lim,(3)nnnulv则(i)0,;nnluv当时级数,同敛散(ii)0,;nnlvu当且级数收敛时级数也收敛(iii),.nnlvu当且级数发散时级数也发散数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法(i)0,;nnluv当时级数,同敛散证(i)由(3),l对任给正数存在某正数N,当nN时,恒有nnulv或()().(4)nnnlvulv正项级数收敛性的一般判别原则lim,(3)nnnulv由比较原则及(4)式得,与nv同时收敛或同时发散.这就证得了(i).0l当nu级数时,数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法(ii)当l=0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,nvnu级数收敛,则级数也收敛.(iii),l若则对于正数1,当nN时,都有于是由比较原则知道,若级数nv发散,则级数nu也发散.若存在相应的正数N,1nnvu.nnvu或正项级数收敛性的一般判别原则lim,(3)nnnulv()().(4)nnnlvulv数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法例3级数12nn是收敛的,以及等比级数12n收敛,式,因为nnnn2121limnnnn22limnnn211lim1根据比较原则的极限形正项级数收敛性的一般判别原则12nn级数也收敛.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法例4正项级数111sinsin1sinsin2nn是发散的,1sinlim1,1nnn根据比较原则的极限1n形式以及调和级数发散,散.因为正项级数收敛性的一般判别原则1sinn也发得到级数数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法*例5判断正项级数12sin1nnn的敛散性.1sinlim1,1nnn解因为12sin1nnn21n故可将与进行比较.12(1sin)lnlime,nnnn212sinlimnnnnnnnnn1sin12lim正项级数收敛性的一般判别原则由于12211sinlimnnnnn数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法注意到1lim1sinlnnnnn所以12(1sin)lnlime1.nnnn根据比较原则,原级数收敛.nnnonnln1lim22,0正项级数收敛性的一般判别原则12sin1nnn级数的收敛性12(1sin)lnlimennnn极限211lim1lnnnonnn数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法比式判别法和根式判别法本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的,特征就能作出判断，不需要与已知级数进行比较.比式判别法和根式判别法但在使用时只要根据级数一般项本身的数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法定理12.7（达朗贝尔判别法，或比式判别法）则级数nu收敛.0(ii),nN若对一切成立不等式11,(6)nnuu.nu则级数发散1,(5)nnuqu0(i),nN若对一切成立不等式0nuN设为正项级数，且存在某正整数及常数01.qq（）比式判别法和根式判别法数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法把前n-1个不等式按项相乘后,得到132121,nnnuuuquuu11.nnuuq或者由于当0q1时,1,nq等比级数收敛根据比较原则及上述不等式可得.nu级数收敛证1(i)1nnuqnu不妨设不等式对一切成立,于是有,12quu,23quu,.,1quunn比式判别法和根式判别法0nN因为,当时(ii)1nnuu1nu00Nu从而因此所以级数发散.00lim,nnuN数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法推论1（比式判别法的极限形式）若nu为正项级数，且1lim,(7)nnnuqu则(i)1,;nqu当时级数收敛(ii)1,.nqqu当或时级数发散证由(7)式,对任意取定的正数(1),q存在正数当nN时,有1.nnuqquN,比式判别法和根式判别法数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法1nnuqqu1,1,qq当时根据的取法,有由上述不等式的左半部分及比式判别法的(i),得正项级数nu是收敛的.1,1,qq若则有根据上述不等式的左半部分及比式判别法的(ii),可得级数nu是发散的.11,nnuu.nu所以这时级数是发散的,q若,N则存在时有当Nn比式判别法和根式判别法数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法例6级数225258258[23(1)],115159159[14(1)]nn由于根据推论1，级数收敛.nnuunnnn4132limlim143,1比式判别法和根式判别法数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法例7讨论级数1(0)nnxx的敛散性.解因为根据推论1,当0x1时级数收敛;,n而当x=1时,所考察的级数是它显然也是发散的.的敛散性作出判断.111nnnnnxxnuunnx1,nx当x1时级数发散;若(7)中q=1,这时用比式判别法不能对级数比式判别法和根式判别法数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法*推论2211,nn和例如级数它们的比式极限都是1n而却是发散的.若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极限来判别收敛性.设nu为正项级数.1(i)lim1,;nnnuqu若则级数收敛1(ii)lim1,;nnnuqu若则级数发散,11nuunn收敛，但21n比式判别法和根式判别法数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法解由于1,,,nnbnuucn为奇数,为偶数故有于是当c1时,级数(8)收敛;但当b1c时,比式判别法无法判断级数的敛散性.的敛散性,其中0bc.22211(8)nnnnbbcbcbcbcbc*例8研究级数,lim1cuunnn,lim1buunnn当b1时,级数发散;比式判别法和根式判别法数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法定理12.8（柯西判别法，或根式判别法）且存在某正数0,Nl及常数0(i),nN若对一切成立不等式1,(9)nnul;nu则级数收敛0(ii),nN若对一切成立不等式1,(10)nnu.nu则级数发散nu为正项级数,设比式判别法和根式判别法数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和