永磁同步电机常用公式大全

永磁同步电机模型推导December15,2016永磁同步电机是一个多输入，强耦合，非线性的系统，为了得到电机的动态数学模型，假设：1）电机定子绕组Y型接法，三相绕组对称分布，各绕组在空间上互差120°；2）转子上的永磁体在气隙中产生主磁场，转子没有阻尼绕组；3）忽略定子绕组的齿槽对气隙磁场分布的影响；4）忽略定子铁芯与转子铁芯的涡流损耗和磁滞损耗；5）忽略电机参数（绕组电阻、绕组电感和永磁体磁动势）的变化。1三相静止坐标系1.1电压方程uaubuc=Rs000Rs000Rsiaibic+ddtψaψbψc式中，ddt为微分算子，ua、ub、uc分别为三相定子绕组电压，ψa、ψb、ψc为三相绕组磁链，Rs为定子绕组电阻。1.2定子绕组自感与互感的磁链方程(ψ1(θ，i))=(ψ11(θ，i))+(ψ12(θ))11三相静止坐标系2Figure1:永磁同步电机三相定子绕组示意图永磁体匝链到定子绕组上的磁链(ψ12(θ))=ψfa(θ)ψfb(θ)ψfc(θ)式中，ψfa(θ)、ψfb(θ)、ψfc(θ)分别为永磁体磁场交链到三相定子绕组的分量，与定子电流无关。ψaψbψc=LaaLabLacLbaLbbLbcLcaLcbLcciaibic+ψfcosθcos(θ−23π)cos(θ+23π)式中，Laa、Lbb、Lcc为各绕组自感系数，Lxy(x=a，b，c和y=a，b，c且x̸=y)为绕组x对绕组y的互感系数。1.2.1定子绕组自感定子绕组自感=漏自感+气隙自感1三相静止坐标系3Laa=Lbb=Lcc=Ls+Lm1La=ψaia=L1气隙磁链ψa(θ)=K·Fa·λ(θ)λ(θ)=12(λd+λq)+12(λd−λq)cos2θLaad=K·Na·λdLaa=L1+12(Laad+Laaq)+12(Laad−Laaq)cos2θ=(Ls0−Ls2cos2θ)式中，ψa(θ)为a相定子绕组气隙磁链，引入气隙磁导λ(θ)，为距离d轴角度为θ的点处的单位面积气隙磁导，K为气隙磁链和磁动势、气隙磁导的比例系数。Laa=Ls0−Ls2cos2θLbb=Ls0−Ls2cos2(θ−120°)Lcc=Ls0−Ls2cos2(θ+120°)1.2.2定子绕组互感Fad=NA·iacos2θFaq=NA·iasin2θ式中，Fad、Faq为a相绕组通入电流后，产生磁动势分解的直轴磁动势分量和交轴磁动势分量。直轴磁动势与交轴磁动势分别产生各自的磁链分量为ψad(θ)=K·Fad·λdψaq(θ)=K·Faq·λq1三相静止坐标系4由于d轴与b相定子绕组相差（θ−120°），ψad(θ)与b相绕组交链的部分为ψad(θ)cos(θ−120°)；ψaq(θ)与b相绕组交链的部分为ψaq(θ)sin(θ−120°)；因此，a相定子绕组通电后经过气隙与b相定子绕组交链的磁链ψba(θ)可表示为ψba(θ)=ψad(θ)cos(θ−120°)+ψaq(θ)sin(θ−120°)ψba(θ)=−ia[14(Laad+Laaq)+12(Laad−Laaq)cos2(θ+30°)]Lab=Lba=ψba(θ)ia=−Ms0+Ms2cos2(θ+30°)Lab=Lba=−Ms0+Ms2cos2(θ+30°)式中，Ms0为a相、b相定子绕组互感平均值的绝对值；Ms2为为a相、b相互感的二次谐波的幅值。Lab=−Ms0−Ms2cos2(θ+30°)Lac=−Ms0−Ms2cos2(θ−90°)Lcb=−Ms0−Ms2cos2(θ+150°)Lab=Lba=Lac=Lca=Lbc=Lcb=−12Lm11.2.3定转子互感(ψ12(θ))=ψfa(θ)ψfb(θ)ψfc(θ)=Maf(θ)Mbf(θ)Mcf(θ)if1.3电机转矩方程Te=dWmechdθm=∂Wm∂θm|[i]=const（注意机械角度与电气角度转化）1三相静止坐标系5Te=−np·[iaibic]·−Ls2sin2θMs2sin(θ+30°)Ms2sin(θ+150°)Ms2sin(θ+30°)−Ls2sin2(θ−120°)Ms2sin(θ−90°)Ms2sin(θ+150°)Ms2sin(θ−90°)−Ls2sin2(θ+120°)·iaibic+npω[iaibic]·era(θ)erb(θ)erc(θ)（电磁转矩可以看成是定子励磁磁场和转子磁场间相互作用的结果，转矩的大小和方向决定于两个正弦分布磁场的的幅值和磁场轴线间的相对位置（永磁里面的负载角or转距角），定子磁场与转子磁场相互作用，导致气隙磁场畸变，产生电磁转矩。s=Lsis+fte=pf⊗is=p1Lsf⊗(Lsis)te=p1Ls(f+Lsis)⊗Lsiste=p1Lss⊗(Lsis+f)te=p1Lsψfψssinδ）正弦波分布的永磁电机满足ψ12(θ)=ψfa(θ)ψfb(θ)ψfc(θ)ψfcos(θ)cos(θ−120°)cos(θ−240°)Te=−np·[iaibic]·−Ls2sin2θMs2sin(θ+30°)Ms2sin(θ+150°)Ms2sin(θ+30°)−Ls2sin2(θ−120°)Ms2sin(θ−90°)Ms2sin(θ+150°)Ms2sin(θ−90°)−Ls2sin2(θ+120°)·iaibic−nψf[iaibic]·era(θ)erb(θ)erc(θ)2坐标变换6Figure2:坐标变换电机转矩方程Te−T1=Jnpdωdt式中，J为整个机械负载折算到电动机轴端的转动惯量(kg·m2)，T1为折算到电动机轴端的的转矩(N·m)。2坐标变换电机坐标变换的根本前提是总的磁动势不变，这样才能保证在变换过程中气隙磁场不会变化，机电能量转化在坐标变化过程中才不会受影响。保证电流幅值不变即一相功率不变f3s2s=N3(iA+iBej23+iCej43)+f2s2s=N2(i+iej2)3两相静止坐标系7Figure3:两相静止坐标系到两相旋转坐标系的转换C3s!2s=23[1−12−120p32−p32]C2s!3s=10−12p32−12−p32保证总的功率不变C3s!2s=√23[1−12−120p32−p32]f2s2s=N2(i+iej2)=f2s2r=N2(idej+iqej2·ej)C2s!2r=[cosθsinθ−sinθcosθ]C2r!2s=[cosθ−sinθsinθcosθ]3两相静止坐标系u=Rsi+ddtu=Rsi+ddt4两相旋转坐标系8[uu]=[Rs00Rs][ii]+ddt[ψψ]ψ=Lsi+ψfcoθψ=Lsi+ψfsinθ[ψψ]=[LdLq][ii]+ψf[cosθsinθ]转矩方程Te=32pψs⊗is=32p(ψi−ψi)4两相旋转坐标系ud=Rsid+pψd−ωψquq=Rsiq+pψq+ωψd[uduq]=[Rs00Rs][idiq]+ddt[ψdψq]+ω[−ψqψd]ddt[idiq]=[−RLdωLqLd−ωLqLd−RLq][idiq]+[LqLduqLq−! fLq]ψd=ψf+Ldidψq=Lqiq[ψdψq]=[LdLq][idiq]+[−ψf0]转矩方程Te=32np(ψdiq−ψqid)=1.5npiqψf=1.5npisψfsinδ5复矢量95复矢量在电磁能量转换中，dq轴分量只参与能量转换而零轴分量只产生损耗。所以，如果只关注机电能量之间的转换，那么就可以只用dq分量来分析电机。在这种情况下，复式量仅用两个相互正交的分量（实部和虚部）就能表示三相电气系统。这里的d轴分量用实部来表示，q轴分量用虚部来表示。三相坐标下的空间矢量的定义为：fabc=23(fa+afb+a2fc)式中，a=ej23,fa，fb，fc分别为a、b、c三相的变量。所以，永磁同步电机在三相坐标下的复矢量模型为：us=23(ua+aub+a2uc)s=23(ψa+aψb+a2ψc)在静止坐标系下，电机的复矢量数学模型为：us=Rsis+dsdts=Lsis+r式中，ψr=ψfej是永磁体磁链矢量。在两相旋转坐标系下，其复矢量方程为：udqs=Rsidqs+ddqsdtdqs=Lsidqs+f式中，上标dq表示在两相旋转坐标系下，udqs=usej。6附6.1表贴式us=Rsis+dsdts=
(us−Rsis)dt=
t0(us−Rsis)dt+s06附10Figure4:表贴式永磁同步电机等效电路s0定子初始磁链，由转子永磁体位置和永磁体强度决定。s=Lsis+fus=Rsis+dsdtus=Rsis+Lsdisdt+dfdtus=Rsis+Lsdisdt+jωrfus=Rsis+jωsLsis+jωrfTe=npψs⊗is=np(Lsis+f)⊗is=npψf⊗is6.2内置式对于内置式永磁电机，由于电动机气隙不均匀，在幅值相等的is作用下，因相角的不同，产生的电枢反应磁场也不同，等效励磁电感不再是常值，随负载角的变化而变化，在电机学中通常采用双反应（双轴）理论来分析凸极同步电机问题，对于内置式永磁电机也可以这种分析方法。is=id+jiqψd=Ldid+ψfψq=Lqiq6附11Figure5:同步旋转d、q坐标系udqs=Rsidqs+ddqsdt+jωrdqsdqs=Ldid+ψf+jLqiqus=udqsejris=idqsejrs=dqsejrud=Rsid+dddt−ωrψquq=Rsiq+dqdt+ωrψdus=Rsis+jωsLdid−ωsLqiq+ωrψf电机的电磁功率方程为6附12Figure6:内置式永磁同步电机d、q轴等效电路Pe=32UsIscosφ=32(udid+uqiq)Pe=32[(−ωeLqiq)id+ωe(Ldid+ψf)iq]=32npωr[ψf+(Ld−Lq)id]iq电磁功率与机械角速度和电磁转矩之间的关系Te=Pe/ωrTe=1.5np[ψfissinδ+12(Ld−Lq)i2ssin2δ]Te=1.5np[ψfiq+(Ld−Lq)idiq]Te=nps⊗is