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一、四边形与特殊四边形的关系四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形性质：1.平行四边形的对角相等。（邻角互补）2.平行四边形的对边相等。（且平行）3.平行四边形的对角线互相平分。4.中心对称图形判定：定义：两组对边都平行的四边形叫平行四边形1.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2.两组对边相等的四边形是平行四边形。3.两组对角相等的四边形是平行四边形。4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。平行四边形定义：两组对边都平行的四边形叫平行四边形ABCDO知识联系：1.平行线的性质与判定。2.全等三角形（四对）3.等积三角形：⊿ABO，⊿BCO，⊿CDO，⊿DAO矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。性质：矩形具有平行四边形的一切性质。1。矩形的四个角都是直角。2。矩形的对角线相等。（互相平分）3。轴对称、中心对称判定：定义判定法：90°+平行四边形=矩形1、有三个角是直角的四边形是矩形。2、对角线相等的平行四边形是矩形。ABCDO知识联系：1。等腰三角形2。直角三角形菱形定义：一组邻边相等的平行四边形叫菱形。性质：菱形具有平行四边形的一切性质1。菱形的四条边都相等。2。菱形的对角线互相垂直（平分）且一条对角线平分一组对角。3。轴对称图形、中心对称图形判定：定义判定法：一组邻边相等+平行四边形=菱形1。四条边都相等的四边形是菱形。2。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。ABCDO知识联系：等腰三角形，直角三角形正方形定义：一个角为直角+一组邻边相等+平行四边形=正方形。性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。1、正方形四个角都是直角，四条边都相等。2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。3。轴对称图形、中心对称图形判定：1、一组邻边相等+矩形=正方形2、一角为90°+菱形=正方形ABCDO知识联系：等腰直角三角形二、几种特殊四边形的性质平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四条边都相等对边平行，四条边都相等两底平行，两腰相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角同一底上的两个角相等对角线两条对角线互相平分两条对角线互相平分且相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角两条对角线相等对称性中心对称轴对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心对称轴对称三、特殊四边形的常用判定方法平行四边形（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等矩形（1）有三个角是直角；（2）有一个角是直角的平行四边形；(3)两条对角线相等的平行四边形。菱形（1）四条边都相等；（2）有一组邻边相等的平行四边形；(3)两条对角线互相垂直的平行四边形。正方形(2)有一组邻边相等的矩形；（3）有一个角是直角的菱形。等腰梯形（2）在同一底上的两个角相等的梯形；(3)两条对角线相等的梯形。平行且相等;（1）有一个角是直角的有一组邻边相等的平行四边形；(1)两腰相等的梯形；平行四边形矩形菱形正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系1.对角线互相平分的四边形是平行四边形2.对角线相等的平行四边形是矩形ABCDADBCABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD四、对角线与特殊四边形的关系ABCDDDDDDDDDD3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDDABC4.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDCABD五、其他重要定理1.四边形的内角和等于360°.2.n边形的内角和等于(n–2).180°.3.任意多边形的外角和等于360°.4.关于中心对称的两个图形的性质：（1）是全等形；（2）对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分。六、三角形中位线定理如图，三角形ABC中，AD=DB，AE=EC，则有；。DE//BCDE=BC12ABCDE试证明三角形中位线定理七、巩固练习（一）判断题：1.平行四边形的对角线相等；（）2.矩形的四个角都相等；（）3.菱形的对角线互相垂直平分；（）4.有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形；（）5.一组对边平行的四边形是梯形；（）6.有两个角相等的梯形是等腰梯形；（）7.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（）8.对角线相等的四边形是矩形；（）9.在梯形中上面的底叫做上底，下面的底叫做下底；（）10.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。（）（二）选择题：(A)一组对边平行，另一组对边也平行；(B)一组对角相等，另一组对角也相等；1.下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（）。(C)一组对边平行，一组对角相等；(D)一组对边平行，另一组对边相等D2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）。(A)对角线互相平分。(B)对角线相等。（C）对角线平分一组对角。(D)对角线互相垂直。B3.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形一定是（）(A)矩形。(B)正方形。(C)菱形。(D)平行四边形D4.内角和等于外角和的多边形是（）(A)三角形。(B)四边形。(C)五边形。(D)六边形。B5.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）(A)对角相等。(B)邻角互补。(C)对角互补。(D)内角和是360°。C6.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）(A)一组对角相等。(B)两条对角线互相平分。(C)两条对角线互相垂直。(D)一对邻角的和为180°。B7.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）(A)等边三角形。(B)平行四边形。(C)菱形。(D)等腰梯形。CD9.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）//(A)AB=CD,AD=BC。(B)BCAD。(C)AB//DC,AD//BC。(D)AB=CD，AD//BC。D8.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）(A)(B)(C)(D)（三）填空题：相等2.两条对角线的四边形是矩形。互相平分且相等3.两条对角线的平行四边形是菱形。互相垂直4.两条对角线的四边形是菱形。互相垂直平分5.两条对角线的矩形是正方形。互相垂直6.两条对角线的菱形是正方形。相等7.两条对角线的平行四边形是正方形。互相垂直并相等8.两条对角线的四边形是正方形。互相垂直平分并相等9.一个多边形的每一个外角都等于40°，这个多边形的边数是，它的内角和是。91260°1.两条对角线的平行四边形是矩形。11.如图(1)，ABCD中，∠1=∠B=50°,则∠2=。ABCD12(1)80°8㎝12.如图（2），菱形有一个内角是120°，有一条对角线长是8㎝，ABCDO(2)那么菱形边长是。13.已知：正方形的边长是4㎝，则它的对角线的长是，面积是。4√2162㎝㎝14.已知，正方形的对角线的长是6㎝，则它的边长是，面积是。3√2㎝18㎝215.已知：正方形的面积是12㎝，则它的边长是，对角线的长是。22√3㎝2√6㎝或38√3㎝八、几种常见的平行四边形辅助线的画法：1.对角线ABCD2.构建新的平行四边形ABCDABCDEABCDE3.构建全等三角形ABCDEFABCDEF4.构建等腰三角形ABCDEABCDE九、几种常见的梯形的辅助线画法：1.构建平行四边形(平行一腰)ABCDFABCDF2.平移一条对角线(若对角线垂直或相等)ABCDEABCDE3.构建全等三角形(取一腰的中点)ABCDE.FABCDF4.构建矩形(作底的垂线)ABCDFABCDEFEE.四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形典例1(2009双柏）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：BE与DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明ABCDEFABCDEF证法1：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD，∠1=∠2在△BCE与△DAF中BC=AD∠1=∠2CE=AF∴△BCE≌△DAF∴BE=DF，∠3=∠4∴BE∥DFABCDEF1234猜想：BE∥DF,BE=DF证法2：连接BD，交AC于点O，连接DE,BF∵四边形ABCD是平行四边形∴BO=OD,AO=CO又∵AF=CE∴AE=CF∴EO=FO∴四边形BEDF是平行四边形∴BE=DF，BE∥DFo2、如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接EF、GH。试说明：EF与GH互相平分。ABCDEFOGH1、四边形的内角和等于，外角和等于。n边形的内角和等于，外角和等于。360°360°（n-2）180°360°2、梯形的中位线于两底，且等于。平行两底和的一半3.过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线，必过第三边的中点。条件：在△ABC中，AD=BD，DE∥BC结论：AE=ECABCDE4.过梯形一腰的中点，且平行于底边的直线，必过另一腰的中点。条件：在梯形ABCD中，AE=DE，AB∥EF∥DC结论：BF=FCABFEDC3.填空题例4：如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。BADCE注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边等。解：延长AD，BC交于点E，∵在Rt△ABE中，∠A=60°，∴∠E=30°又∵AB=2∴BE=√3AB=2√3∵在Rt△CDE中，同理可得DE=√3CD=√3∴S四边形ABCD=SRt△ABE-SRt△CDE=AB·BE-CD·DE1212=×2×2√3-×1×√31212=√33221例5：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF=7cm，对角线AC⊥BD，∠BDC=30°，求梯形的高线AHABCHDFEM解：过A作AM∥BD，交CD的延长线于M又∵AB∥CD∴四边形ABDM是平行四边形，∴DM=AB，∠AMC=∠BDC=30°又∵中位线EF=7cm，∴CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm又∵AC⊥BD，∴AC⊥AM，∵AH⊥CD，∠ACD=60°∴AC=CM=7cm12∴AH=AC·sin60°=√3(cm)726．（2011•徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．7．（2011•泸州）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．