控制工程基础

第二章控制系统的动态数学模型控制工程基础二、控制系统的运动微分方程三、非线性系统数学模型的线性化四、拉氏变换和拉氏反变换五、传递函数以及典型环节的传递函数六、系统函数方框图和信号流图七、控制系统传递函数推导举例九、小结一、系统数学模型的基本概念第二章控制系统的动态数学模型八、系统数学模型的MATLAB实现本章要熟悉下列内容：第二章控制系统的动态数学模型建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统、电路网络和电机）的数学模型及模型的线性化重要的分析工具：拉氏变换及反变换经典控制理论的数学基础：传递函数控制系统的图形表示：方块图及信号流图建立实际机电系统的传递函数及方块图系统数学模型的MATLAB实现建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。2.1数学模型的基本概念2.1数学模型的基本概念系统的数学模型数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间变化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。对于给定的动态系统，数学模型表达不唯一。工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。2.1数学模型的基本概念数学模型的形式时间域：微分方程差分方程状态方程（一阶微分方程组）复数域：传递函数结构图频率域：频率特性经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。建立数学模型的方法解析法实验法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。2.2基本环节数学模型质量—弹簧—阻尼系统机床进给传动装置示意图及等效力学模型组合机床动力滑台及其力学模型抽象后的力学模型机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：质量mfm(t)x(t)v(t))()()(22txdtdmtvdtdmtfm弹簧kfk(t)fk(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)1212()()()()()()()kttftkxtxtkxtkvtvtdtkvtdt对于弹簧，受力相同，变形量不同。阻尼1212()()()()()()()DftDvtvtDvtdxtdxtDdtdtdxtDdtDfD(t)fD(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)机械平移系统22()()()()()()()()iDkokoDodftftftmxtdtftkxtdftDxtdtmmfi(t)kDxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fk(t)机械平移系统及其力学模型fD(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响22()()()()oooiddmytDytkytftdtdt式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。弹簧－阻尼系统（质量m=0）xo(t)0fi(t)kD弹簧-阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程。()()()ooidDxtkxtftdt()()()iDkftftft()ift()Dft()kft机械旋转系统ki(t)o(t)00Tk(t)TD(t)D粘性液体齿轮JJ—旋转体转动惯量；k—扭转刚度系数；D—粘性阻尼系数柔性轴22()()()()()()()()kioDookDTtkttdTtDtdtdJtTtTtdt22()()()()oooiddJtDtktktdtdt电路系统电阻()()utRit电路系统三个基本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)电容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t)电感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)()()dCutitdt01()()()()1()(),()=()iodutRitLititdtdtCdutitdtitCutCdtR-L-C无源电路网络LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo若L=0，则系统简化为：)()()(tututudtdRCioo01()()()()1()(),()=()iodutRitLititdtdtCdutitdtitCutCdt)()(0)(21tititua有源电路网络+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：电枢控制式直流电动机tedttdiLtiRtemaaaaitiKtTaTdttdKteoem22dttdJdttdDtToo电磁感应定律基尔霍夫定律牛顿第二定律磁场对载流线圈作用的定律3200032()()()()aaaaTeTidtdtdtLJLDRJRDKKdtdtdtKet当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程可简化为2002()()()aaTeTidtdtRJRDKKKetdtdt建立数学模型的一般步骤分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列小结物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元件（惯性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元件，其内部就多一层能量（信息）的交换。系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数，与系统的输入无关。补充知识：线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：)()()(2121xfxfxxf可加性：)()(xfxf齐次性：)()()(2121xfxfxxf或：1122()()xfxxfx；设输入：2.3数学模型线性化用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。线性系统微分方程的一般形式式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm为由系统结构参数决定的实常数，m≤n。111110111()()()()()()()()nnoonononnmmiimimimmdddxtaxtaxtaxtdtdtdtdddbxtbxtbxtbxtdtdtdtLL三、数学模型线性化线性化问题的提出线性化：在一定条件下作某种近似缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。在某平衡工作点连续可微非线性系统数学模型的线性化泰勒级数展开法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：3003320022000)()(!31)()(!21)()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy000()()()dfxyfxxxdxxx略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：0)(xxdxxdfK或：y-y0=y=Kx，其中：上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y0=f(x0)称为系统的静态方程；由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点。0xy=f(x)y0x0xy’y非线性关系线性化A000()()()dfxyfxxxdxxx000()-()=()dfxyfxxxdxxx0yyyKx)()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110xKxKyyy增量方程：),(20100xxfy静态方程：2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK其中：对多变量系统，如：y=f(x1,x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。系统线性化微分方程的建立步骤确定系统各组成元件在平衡态的工作点；列出各组成元件在工作点附近的增量方程；消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；在点附近泰勒展开实例：单摆运动线性化解：根据牛顿第二定律：(t)0o将非线性项..2()sin()()iooTtmgltmltsin()ot..2()()()ooimltmgltTtsin,'0yyy实例：阀控液压缸)(0L0L0,xpfQLppxxLLppxxL0L0Lpp,xpfxx,xpf,xpfQL0L0L0L0)(LcqLpKxKQL0L0L0L0ppxxLLcppxxLqp,xpfKx,xpfK,dtydAQ)(dtydDdtydMAp22L)()()()()(xKdtydAADKdtydAMKqc22c)()()(